مقاله در مورد روش عددی مرتبه بالا برای معادله گرمای کسری با شرایط مرزی دیریکله و نئومان

دانشگاه آزاد اسلامي
واحد علوم و تحقيقات (اردبیل)
Science and Research Branch, Islamic Azad University, Ardabil
فرم پيشنهاد تحقيق
پايان‏نامه‌ی كارشناسي ارشد
عنوان تحقيق به فارسي:
روش عددی مرتبه بالا برای معادله گرمای کسری با شرایط مرزی دیریکله و نئومان
نام دانشجو: مریم دانشکده:
نام خانوادگی دانشجو: علی اکبرپورشلمانی گروه تخصصی: ریاضی کاربردی
رشته تحصيلي: ریاضی کاربردی_آنالیزعددی گرايش:آنالیزعددی
نيمسال ورود به مقطع جاري: اول91-90 نيمسال شروع به تحصيل : اول91-90
نام و نام خانوادگی استاد راهنما: نام و نام خانوادگی استاد (اساتيد) مشاور:
1- دکتر ناصرمیکائیل وند 1-
2-
تاريخ تصويب در شوراي گروه تخصصي: تاريخ تصويب در شوراي پژوهشي واحد علوم و تحقیقات اردبیل :
تأیید کارشناس پژوهشی تائيد مدير پژوهشي تائيد رئيس
واحد علوم و تحقیقات اردبیل: واحد علوم و تحقیقات اردبیل: واحد علوم و تحقیقات اردبیل:
تاريخ ارسال به حوزه پژوهشي واحد علوم و تحقیقات(تهران):
تاريخ بررسي وتاييد امور پژوهشي واحد: تأييد مديركل پژوهشي:
تأييد معاون پژوهشي واحد:
توجه: لطفاً اين فرم با مساعدت و هدايت استاد راهنما تكميل شود.
اطلاعات مربوط به دانشجو:
نام: مریم نام‏خانوادگي:علی اکبرپور شلمانی شماره دانشجويي:900853795 مقطع:کارشناسی ارشد رشته تحصيلي: ریاضی کاربردی_آنالیزعددی گروه تخصصي:ریاضی کاربردی گرایش:آنالیز عددی نام‌دانشكده: سال ورود به مقطع جاري: نیمسال اول 91-90 نيمسال ورودي:اول91-90
آدرس پستي در اردبیل: ………………………………………………………………………………………………………………………
آدرس پستي در شهرستان: گیلان-لاهیجان-خیابان قیام-قیام10- تلفن ثابت محل سكونت:2210678-0141 تلفن همراه:09112414035 تلفن محل كار:2234780-0141 دورنگار:…………………………… پست الكترونيك:m.akbarpour64@gmail.com
اطلاعات مربوط به اساتید راهنما و مشاور:
تذكرات:
دانشجويان دوره كارشناسي ارشد می‌توانند يك استاد راهنما و حداكثر دو استاد مشاور و دانشجويان دوره دكتري حداكثر تا دو استاد راهنما و دو استاد مشاور مي‏توانند انتخاب نمايند.
در صورتي كه اساتيد راهنما و مشاور مدعو مي باشند، لازم است سوابق تحصيلي، آموزشي و پژوهشي كامل ايشان (رزومه كامل) شامل فهرست پایان‌نامه‌های کارشناسی ارشد و رساله‏هاي دكتري دفاع شده و يا در حال انجام كه اساتيد مدعو، راهنمايي و يا مشاوره آنرا بر عهده داشته‏اند، به همراه مدارك مربوطه و همچنين آخرين حكم كارگزيني (حكم هيأت علمي) ضميمه گردد.
اساتيد راهنما و مشاور موظف هستند قبل از پذيرش پروپوزال، به سقف ظرفيت پذيرش خود توجه نموده و در صورت تكميل بودن ظرفيت پذيرش، از ارسال آن به دانشگاه و حوزه پژوهشي و يا در نوبت قراردادن و ايجاد وقفه در كار دانشجويان جداً پرهيز نمايند. بديهي است در صورت عدم رعايت موازين مربوطه، مسئوليت تأخير در ارائه پروپوزال و عواقب كار، متوجه گروه تخصصي و دانشكده خواهد بود.
اطلاعات مربوط به استاد راهنما:
نام و نام خانوادگي :دکترناصر میکائیل وند آخرين مدرك تحصيلي دانشگاهي/ حوزوي :دکترای تخصصی.
تخصص اصلي:ریاضی کاربردی رتبه دانشگاهي (مرتبه علمي):استادیار تلفن همراه: 09126355516
تلفن منزل يا محل كار: 0451-7724730 آدرس پست الکترونیکی(Email): Mikaeilvand@Aol.com
نحوه همکاری با واحد علوم و تحقیقات:
تمام وقت نیمه وقت (مدعو
اطلاعات مربوط به استاد مشاور اول:
نام و نام خانوادگي:………………………………………………..آخرين مدرك تحصيلي دانشگاهي/ حوزوي ……………………
تخصص اصلي:……………………… رتبه دانشگاهي (مرتبه علمي): …………………… تلفن همراه: …………………………………
تلفن منزل يا محل كار:……………………………….. آدرس پست الکترونیکی(Email): …………………………………………….
نحوه همکاری با واحد علوم و تحقیقات:
تمام وقت نیمه وقت مدعو
اطلاعات مربوط به استاد مشاور دوم:
نام و نام خانوادگي:………………………………………………..آخرين مدرك تحصيلي دانشگاهي/ حوزوي ……………………
تخصص اصلي:……………………… رتبه دانشگاهي (مرتبه علمي): …………………… تلفن همراه: …………………………………
تلفن منزل يا محل كار:……………………………….. آدرس پست الکترونیکی(Email): …………………………………………….
نحوه همکاری با واحد علوم و تحقیقات:
تمام وقت نیمه وقت مدعو
4- اطلاعات مربوط به پايان‏نامه:
الف- عنوان تحقیق
1- عنوان به زبان فارسی:
روش عددی مرتبه بالا برای معادله گرمای کسری با شرایط مرزی دیریکله و نئومان
2- عنوان به زبان انگليسي/(آلماني، فرانسه، عربي):
تذكر: صرفاً دانشجويان رشته‏هاي زبان آلماني،‌فرانسه و عربي مجازند عنوان پايان‏نامه خود را به زبان مربوطه در اين بخش درج نمايند و براي بقيه دانشجويان، عنوان بايستي به زبان انگليسي ذكر شود.
Higher-order numerical scheme for the fractional heat equation with Dirichlet and Neumann boundary conditions
ب – تعداد واحد پايان‏نامه: 6 واحد
ج- بيان مسأله اساسي تحقيق به طور كلي (شامل تشريح مسأله و معرفي آن، بيان جنبه‏هاي مجهول و مبهم، بيان متغيرهاي مربوطه و منظور از تحقيق به صورت مستند) :
در سالهای اخیر، علاقه مندی قابل ملاحظهای به معادلات دیفرانسیل جزئی ایجاد شده که ناشی ازکاربردهای متعدد آن در حیطههای فراوان علم و مهندسی است. پدیدههای مهم در علم فیزیک، سیکلواستاتیک، مکانیک سیالات و تئوری کنترل را میتوان با معادلات دیفرانسیل از مرتبه جزئی توصیف کرد.
چانگ و همکاران به بحث در خصوص وجود و منحصر به فردی راه حلهای دوره ای و شبه دوره ای در مجموعهای از معادلات دیفرانسیل جزیی از طریق اپراتورهای کسری پرداخته اند(1(. کاربردهای مختلف حساب دیفرانسیل و انتگرال جزء به جزء، مثل تئوری کنترل،درمرجع یافت می شوند(2(. این کاربردها در علوم بین رشته ای بر ضرورت حساب دیفرانسیل انتگرال جزء به جزء دلالت دارد. سیلوا وگوسلین، عبارات و اصطلاحات ساطع شده از معادلات انرژی دوبعدی را لحاظ کردهاند(3(. اخیرا ایدهای ظهور یافته که در آن معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی، زمانی و فضایی، از معادلهی استاندارد دیفرانسیل با مشتقات جزیی بدست میآیند که از طریق یک مشتق کسری، جایگزین یک مشتق زمانی و یا فضایی میشود و میتواند بطور دقیقتری، مسایل فیزیکی غیر از معادله استاندارد دیفرانسیل با مشتقات جزیی منطبق با آن را توصیف کند. در نتیجه، توجه فراوانی به راهحلهای معادلات انتشار کسری شده است. از نقطه نظر فیزیکی، این معادلهی انتشار گرمای کسری از قانون کسری فیک بدست میاید که جایگزین قانون فیک میشود، قانونی که توصیفگر فرایندهای برگردان با حافظهی طولانی مدت است(4(.
در این پایاننامه، ضمن مطالعهی ویژگیهای معادله انتشار گرمای کسری دوبعدی، روش عددی مرتبه بالا برای حل معادله گرمای کسری با شرایط مرزی دیریکله و نئومان ارائه شده به بررسی تواناییهای روش ارائه شده و مقایسه آن با روشهای دیگر خواهیم پرداخت.
د – اهمیت و ضرورت انجام تحقيق (شامل اختلاف نظرها و خلاءهاي تحقيقاتي موجود، ميزان نياز به موضوع، فوايد احتمالي نظري و عملي آن و همچنين مواد، روش و يا فرآيند تحقيقي احتمالاً جديدي كه در اين تحقيق مورد استفاده قرار مي‏گيرد):
گسترش کاربردهای مشتق کسری و توانایی بالای آن در مدل سازی مسائل مختلف نظیر معادله انتشار گرمای کسری با شرایط مرزی دیریکله و نئومان از طرفی و اهمیت یافتن جواب عددی با دقت بالا، بررسی و ارائه روش عددی مرتبه بالا برای حل معادله گرمای کسری با شرایط مرزی دیریکله و نئومان و بررسی تواناییهای روش ارائه شده و مقایسه آن با روشهای دیگر اهمیت بسزایی یافته است.
ه- مرور ادبیات و سوابق مربوطه (بيان مختصر پیشینه تحقيقات انجام شده در داخل و خارج کشور پيرامون موضوع تحقیق و نتايج آنها و مرور ادبیات و چارچوب نظري تحقیق با ارائه منابع):
الدهام واسپانیر، معادلهی انتشار گرمای کسری که حاوی یک مشتق مرتبه یک در فضا و یک مشتق نیم نیم مرتبه ای در زمان است را لحاظ کرده اند. آنها همچنین رابطهای بین معادلهی انتشار گرمای کسری و معادلهی انتشار گرمای معمولی یافتند. پولدلوبنی به بحث در خصوص معادلهی انتشار گرمای کسری و معادلات انتشار گرمای کسری ویس اشنایدر پرداخته است که در آن راه حل ها با کمک تبدیل های لاپلاس و فوریه همراه با تابع میتاژ لفلر بدست میآیند(6(. متزلر و کلافتر از روش تصاویر و تکنیک های تبدیل فوریه برای حل معادلهی انتشار گرمای کسری استفاده کردند که به جذب و انتشار گرما در شرایط مرزی میپردازد(7(. همچنین آنها یک روش تفکیک متغیرها را برای معادله انتشار گرمای کسری با یک پتانسیل ارایه دادند. اخیرا اگراول راه حلی کلی برای معادلهی انتشار موج کسری ارایه داده که از طریق یک سینوس متناهی و تکنیک تبدیل لاپلاس، در دامنه کراندار فضا تعریف میشود(8(. با این حال، وجود روشهای عددی در حل
معادلهی انتشار گرمای کسری، تقریبا مطلوب است. علی الخصوص در مواردی که هیچ راه حل تحلیلی وجود ندارد. لانگلاند و هنری به بررسی دقت و پایداری یک طرح عددی ضمنی در حل یک معادلهی انتشار گرمای کسری با شرایط مرزی فلوی الکتریکی صفر پرداختند(9(. لیو و همکاران از روش اختلاف متناهی در معادلات انتشارکسری متعددی استفاده کردهاند که براساس تعاریف گرنوالد_لتنیکو ازمشتقات کسری میباشد(12-10(. سان و همکاران بر گسستهسازی L1 تمرکز دارند که توسط الدهام و اسپانیه برای افزایش ارتقای زمانی بکار میرود. طرحهای عددی همگرایی از مرتبه
𝑂(
𝜏
2−𝛾
+
ℎ
4
)
دارند که درآن (، ( و h به ترتیب مرتبهی مشتق زمانی، گام زمانی و اندازهی فضایی می باشند
و – جنبه جديد بودن و نوآوري در تحقيق: (ذیل این قسمت توسط استاد راهنما امضاء شود)
ارائه روشهای عددی از مرتبه ی دقت بالا از مسائل روز ریاضی کاربردی می باشد و با توجه به کاربردهای معادلات دیفرانسیل با مشتقات کسری این مساله از اهمیت برخوردار می گردد.
ز- اهداف مشخص تحقيق (شامل اهداف آرماني، کلی، اهداف ويژه و كاربردي):
حل عددی معادله ی گرمای کسری با شرایط مرزی دیریکله و نيومان با دقت مرتبه بالا.
ح – در صورت داشتن هدف كاربردي، نام بهره‏وران (سازمان‏ها، صنايع و يا گروه ذينفعان) ذكر شود (به عبارت دیگر محل اجرای مطالعه موردی):
دانشجویان و محققان گروه های ریاضی کاربردی و مهندسی علی الخصوص مهندسی برق و مکانیک
ط- سؤالات و فرضيه‏هاي تحقیق(مطابق با اهداف تحقیق):
سوالات : روش عددی با مرتبه دقت بالا برای حل معادله ی گرمای مرزی با شرایط مرزی دریکله دارای چه مزایا و معایبی است؟
فرضیه : سرعت و دقت بالا از جمله مزایای روشهای عددی از مرتبه بالا است
ی- تعريف واژه‏ها و اصطلاحات فني و تخصصی (به صورت مفهومی و عملیاتی با استناد به منابع کاربردی)
معادله ی گرمای کسری:
(Heat equation) یک معادله دیفرانسیل پاره‌ای خطی است. در حالت یک‌بعدی و با زمان، این معادلهٔ کلاسیک به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:
/
که در این‌جا، /دما به صورت یک‌بعدی، و /ضریب مثبت و ثابتی است، که میزان ضریب نفوذ هدایتی گرما را نشان می‌دهد.
مشتق کسری :
تابع مشتق کاپوتوبصورت زیرتعریف می شود
𝐷
𝛼
𝑓
𝑡
=
𝐽
𝑚+𝛼
𝐷
𝑚
=
1
ℾ(𝑚−𝛼)
0
𝑡
(𝑡−𝜏)
𝑚−𝛼−1
𝑓
(𝑚)
(𝜏)d𝜏
برای
شرایط مرزی نيومان :
شرطی مرزی که در نظریه پتانسیل روی ماساله نیومان گذاشته میشود.
مساله نئومان:
تعیین تابع همسازی در درزن ناحیه ای متناهی از فضای سه بعدی که محصور در رویه ای بسته است هرگاه مشتق های قائم آن تابع روی آن تابع مشخص باشد.
شرایط مرزی دیریکله :
برای اینکه تابع f(x) دارای سری فوریه باشد
1-متناوب باشد
2-انتگرال آن در یک دوره محدود باشد
3-پیوسته باشد
شرایط دیریکله،شراط کافی برای داشتن سری فوریه هستند نه شرایط لازم.ممکن است تابعی شرایط دریکله را نداشته باشد ولی سری فوریه را داشته باشد.
جواب عددی:
جواب عددی الگوريتم حل مسئله در رياضيات پيوسته را مورد مطالعه قرار دهد. جواب عددی اساسا به مسائل مربوط به متغيرهای حقيقی و متغيرهای مختلط و نيز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات ديفرانسيل و ديگر مسائلی که از فيزيک و مهندسی مشتق ميشود. تعدادی از مسائل در رياضيات پيوسته دقيقا با يک الگوريتم حل شوندکه به روش های مستقيم حل مسئله معروف اند.
برای مثال روش حذف گاوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نیز روش سیمپلکس در برنامه ریزی خطی مورد استفاده قرار می‌گیرد. ولی روش مستقیم برای حل خیلی از مسائل وجود ندارد.و ممکن است از روشهای دیگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود، چون این روش می‌تواند در یافتن جواب مسئله موثرتر باشد.
5-روش شناسی تحقیق:
الف- شرح كامل روش تحقیق بر حسب هدف، نوع داده ها و نحوه اجراء (شامل مواد، تجهيزات و استانداردهاي مورد استفاده در قالب مراحل اجرايي تحقيق به تفكيك):
تذكر: درخصوص تفكيك مراحل اجرايي تحقيق و توضيح آن، از به كار بردن عناوين كلي نظير، «گردآوري اطلاعات اوليه»، «تهيه نمونه‏هاي آزمون»، «انجام آزمايش‏ها» و غيره خودداري شده و لازم است در هر مورد توضيحات كامل در رابطه با منابع و مراكز تهيه داده‏ها و ملزومات، نوع فعاليت، مواد، روش‏ها، استانداردها، تجهيزات و مشخصات هر يك ارائه گردد.
با توجه به کتابخانهای بودن روش مراحل انجام تحقیق بصورت جمع آوری منابع که از طریق سایتهای معتبر علمی و یا کتابخانههای دانشگاههای معتبر کشور انجام خواهد شد و با مطالعه منابع و آشنایی با معادله معادله گرمای کسری با شرایط مرزی دیریکله و نئومان و روشهای موجود برای حل آن، به ارائه روش عددی پیشنهادی با دقت بالا خواهیم پرداخت. در نهایت نتایج تحقیق در قالب پایاننامه نگارش خواهد شد.
ب- متغيرهاي مورد بررسي در قالب یک مدل مفهومی و شرح چگونگی بررسی و اندازه گیری متغیرها:
در نظر گرفتن معادله ی گرمای کسری
0(x(L ,0(t(T
با شرایط اولیه
u(x,0) = w(x) 0 ( x ( L
و شرایط مرزی
u(0,t) = ((t( u(L,t( = ((t( ( ( t ( T
که در آن Kثابت نفوذ تعمیم ،0(((1 ، D u(x,t) نشان دهنده مشتق جزیی ریمان لیوریل از مرتبه 1(( و از تابع u(x,t)که در تعریف شده اند می باشد.
و f(x,t) ،w(x) ،((t) و ((t) عملکردهای شناخته شده توابع هستند (((((w(0) و (((((w(L).
ج – شرح کامل روش (ميداني، كتابخانه‏اي) و ابزار (مشاهده و آزمون، پرسشنامه، مصاحبه، فيش‏برداري و غيره) گردآوري داده‏ها :
این تحقیق از نوع پیمایشی است. زیرا ابتدا با مطالعه اولیه روی کارهای انجام شده سعی خواهیم کرد معادلات مورد نظر را انتخاب نموده و آنگاه روشی جهت حل آنها پیشنهاد خواهیم داد
د – جامعه آماري، روش نمونه‏گيري و حجم نمونه (در صورت وجود و امکان):
جمع آوری داده ها نخواهیم داشت
هـ – روش‌ها و ابزار تجزيه و تحليل داده‏ها:
داده نداریم
ث- منابع مورد استفاده (به ترتیب حروف الفبا):
[1]. Chang, Y.K, Zhao, Z.H , and Nieto. J. J (2011). Almost Periodic and Pseudo Almost PeriodicMild Solutions to a Partial Differential Equation via Fractional Operators, Numer. Funct.Anal. Optim., vol. 32, pp. 1219–123.
[2]. Voller, V. R, Paola,C, and Zielinski, D. P (2011). The Control-Volume Weighted Flux Scheme(CVWFS) for Nonlocal Diffusion and Its Relationship to Fractional Calculus, Numer.Heat Transfer B, vol. 59, pp. 421–441.
[3]. da Silva,A. K and Gosselin, L. (2011). The Numerical Optimization of a Neumann-TypeBoundary for the Graetz Problem, Numer. Heat Transfer A, vol. 59,pp. 577_593.
[4]. Gorenflo, R, Mainardi, F, M oretti. D and Paradisi. P (2002).Time Fractional Diffusion:A Discrete Random Walk Approach, Nonlinear Dyn., vol. 29, pp. 129–143.
[5]. Oldham. K and Spanier. J (1974). The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order, Mathematics in Science and Engineering,vol. 111, Academic Press, New York and London,.
[6]. Podlubny, I (1999). Fractional Differential Equations, Mathematics in Science and Engineering,vol. 198, Academic Press, New York.
[7]. Metzler, R and J(2000). Klafter, Boundary Value Problems for Fractional Diffusion Equations,Physica A, vol. 278, pp. 107–125.
[8]. Agrawal, O. P (2002). Solution for a Fractional Diffusion-Wave Equation Defined in a BoundedDomain, Nonlinear Dyn., vol. 29, pp. 145–155.
[9]. Langlands, T. A. M and Henry, B. I (2005). The Accuracy and Stability of an Implicit SolutionMethod for the Fractional Diffusion Equation, J. Comput. Phys., vol. 205, pp. 719–736, 2005.
[10]. P, Zhuang and F. Liu (2006). Implicit Difference Approximation for the Time FractionalDiffusion Equation, J. Appl. Math. Comput., vol. 22, pp. 87–99.
[11]. Chen, C. M, Liu. F, Turner. I, and Anh .V (2007). A Fourier Method for Fractional DiffusionDescribing Sub-diffusion, J. Comput. Phys., vol.227, pp.886–897.
[12]. Chen, S, Liu, F, Zhuang, P, and Anh. V (2009). Finite Difference Approximations for theFractional Fokker-Planck Equation, Appl. Math. Model., vol. 33, pp. 256–273.
[13]. Du, R, Cao. W. R, and Sun, Z. Z. (2010). A Compact Difference Scheme for the FractionalDiffusion-Wave Equations, Appl. Math. Model., vol. 34, pp. 2998–3007.
[14]. Gao, G. H and Sun, Z. Z (2011). A Compact Difference Scheme for the Fractional Sub-DiffusionEquations, J. Comput. Phys., vol. 230, pp. 586–595.
[15]. Zhao, X and Sun, Z. Z (2011). A Box-Type Scheme for Fractional Sub-diffusion Equation withNeumann Boundary Conditions, J. Comput. Phys., vol. 230, pp. 6061–6074.
6- استفاده از امكانات آزمايشگاهي واحد:
آيا براي انجام تحقيقات نياز به استفاده از امكانات آزمايشگاهي واحد علوم و تحقيقات مي‌باشد؟ بلي خير(
در صورت نياز به امكانات آزمايشگاهي لازم است نوع آزمايشگاه، تجهيزات، مواد و وسايل مورد نياز در اين قسمت مشخص گردد.
امضاء استاد راهنما: امضاء مديرگروه تخصصي:
زمان بندي انجام تحقيق:
الف- تاريخ شروع: 1/11/1392 ب- مدت زمان انجام تحقيق: 6ماه ج- تاريخ اتمام: 1/05/1393
تذكر: لازم است كليه فعاليت‏ها و مراحل اجرايي تحقيق (شامل زمان ارائه گزارشات دوره‏اي) و مدت زمان مورد نياز براي هر يك، به تفكيك پيش‏بيني و در جدول مربوطه درج گرديده و در هنگام انجام عملي تحقيق، حتي‏الامكان رعايت گردد.

فایل : 17 صفحه

فرمت : Word