مقاله فارسی ديفرانسيل وانتگرال

خط مماس
بسياري از مسائل مهم حساب ديفرانسيل وانتگرال، به مسئله پيدا كردن خط مماس وارد بر منحني در يك نقطه معين روي منحني مربوط مي شوند. در هندسه مسطحه اگر منحني دايره باشد، خط مماس در يك نقطه P روي دايره، به عنوان خطي تعريف مي شود كه دايره را فقط در يك نقطه قطع مي كند. اين تعريف در حالت كلي براي همه منحنيها صادق نيست. به عنوان مثال، خطي كه مي خواهيم در نقطه P بر منحني مماس باشد، منحني را در نقطه ديگري مانند Q قطع خواهد كرد.
در اين بخش، تعريف مناسبي از خط مماس بر نمودار يك تابع در نقطه اي روي نمودار، ارائه مي دهيم. براي اين كار، ضريب زاويه خط مماس در يك نقطه را تعريف مي كنيم، زيرا اگر ضريب زاويه يك خط و نقطه اي روي آن معلوم باشند، آن خط معين مي شود.
تصور كنيد تابع f در x1 پيوسته است. مي خواهيم ضريب زاويه خط مماس بر نمودار f در نقطه P(x1,f(x1)) را به دست آوريم. فرض كنيد I بازه بازي باشد كه شامل x1 است و f بر اين بازه تعريف شده است.نقطه ديگر Q(x2,f(x2)) را روي نمودار f در نظر مي گيريم به طوري كه x2 نيز در
I باشد. خطي را كه از p و Q مي گذرد رسم مي كنيم. هر خطي كه از دو نقطه يك منحني بگذرد، خط قاطع ناميده مي شود؛ پس خط گذرنده از p و Q يك خط قاطع است. خط قاطع به موازي مقادير مختلف x2 رسم شده است . يك خط قاطع خاص نشان داده شده است. در اين شكل Q در طرف راست P قرار دارد. معهذا، Q مي تواند در طرف چپ P نيز باشد .
تفاضل طولهاي نقاط P و Q را با نشان مي دهيم. بنابراين

ممكن است مثبت يا منفي باشد. پس، ضريب زاويه خط قاطع PQ به شرطي كه PQ قائم نباشد، از رابطه زير به دست مي آيد.

چون x2=x1+ ، معادله فوق را مي توانيم به صورت زير بنويسيم.

حال فرض نقطه P ثابت باشد، و نقطه Q را در طول منحني به طرف P حركت دهيم، يعني Q به سمت P ميل كند.اين عمل معادل است با اينكه را به سمت صفر ميل بدهيم. ضمن انجام اين عمل، خط
قاطع حول نقطه ثابت P گردش مي كند. اگر اين خط قاطع داراي يك وضعيت حدي باشد، همين وضعيت حدي است كه ما مي خواهيم خط مماس بر نمودار در نقطه P باشد. از اين رو، مي خواهيم ضريب زاويه خط مماس بر نمودار در P، برابر با حد mPQ باشد وقتي كه به سمت صفر ميل مي كند، البته چنانچه اين حد وجود داشته باشد. اگر يا ، آنگاه به صفر ميل مي كند و خط PQ به سمت خطي كه از P مي گذرد و موازي محور Y هاست، ميل مي كند. در اين حالت، مي خواهيم خط مماس بر منحني در P همان خط x=x1 باشد.
رسم نمودارهايي سهمي Y=x2-4x+7
براي رسم نمودار 7، چند نقطه و قطعه اي از خط مماس در چند نقطه را رسم مي كنيم. مقادير x را به طور دلخواه اختيار مي كنيم و مقدار متناظر y را از معادله داده شده محاسبه مي كنيم. همچنين مقدار m را از معادله (2) به دست مي آوريم. پيدا كردن نقاطي كه در آنها خط مماس بر نمودار افقي است، واجد اهميت است. چون ضريب زاويه خط افقي صفر است، اين نقاط را از معادله m(x1)=0 مي توان به دست آورد. اگر اين محاسبات را براي اين مثال انجام دهيم، داريم
2×1-4=0 كه به دست مي دهد x1=2 بنابراين، در نقطه اي كه طول آن 2 است، خط مماس موازي محور x ها است.
تعريف خط قائم بر منحني در نقطه مفروض، عبارتست از خط عمود بر خط مماس در آن نقطه.
چون خط قائم در يك نقطه عمود برخط مماس در آن نقطه است حاصلضرب ضريب زاويه هاي آن ها برابر -1 است.
3 . 2. 1 تعريف مشتق تابع f تابعي است كه با علامت f1 نشان داده مي شود و مقدار آن در هر عدد x واقع در قلمرو f به صورت زير داده مي شود.
(2)
به شرطي كه حد فوق وجود داشته باشد.
علامت ديگري كه به جاي f1(x) به كار برده مي شود Dx f(x) است، كه خوانده مي شود «مشتق اِفِ اِكس نسبت به اِ كس».
اگر x1 عدد خاصي از قلمرو f باشد، آنگاه داريم
(3)
فرض كنيد در اين فرمول،
(4)
پس
(5) معادل است با .
از فرمولهاي (3)، (4) و (5) فرمول زير را براي محاسبه f1(x1) به دست مي آوريم
(6)
اگر y=f(x) ، آنگاه f1(x) عبارت است از مشتق y نسبت به x ؛ و گاهي نماد Dxy به جاي f1(x) به كار مي رود. همچنين نماد y1 نيز براي مشتق y نسبت به يك متغير مستقل (در صورت مشخص بودن متغير مستقل) به كار برده مي شود.
اگر تابع f به صورت y=f(x) تعريف شده باشد، فرض مي كنيم

بنابراين از فرمول (2) داريم

مشتق را گاهي با نماد dy/dx نمايش مي دهند، اما اين علامت را قبل از اينكه dx,dy را تعريف كنيم به كار نخواهيم برد.
مثال فرض كنيد
و Dxy را پيدا كنيد.
حل

F1(x) مي تواند براي بعضي از مقادير x در قلمرو f وجود داشته باشد و براي مقادير ديگري از x واقع در قلمرو f، وجود نداشته باشد.
تعريف تابع f را در x1 مشتق پذير گوييم اگر F1(x1) وجود داشته باشد.
ـ نمونه 1 از تعريف بالا نتيجه مي شود كه تابع به ازاي همه اعداد بجز صفر مشتق پذير است.
تعريف تابع f را روي بازه اي مشتق پذير گوييم اگر f به ازاي هر عدد واقع در آن بازه مشتق پذير باشد.
ـ نمونه 2 در تابع f(x)=3×2+12، و قلمرو f مجموعه همه اعداد حقيقي است. چون f1(x)=6x و 6x براي همه اعداد حقيقي موجود است، نتيجه مي شود كه f در همه جا مشتق پذير است.
مشتق پذيري و پيوستگي
تابع y=x1/3 در صفر پيوسته است ولي در آنجا مشتق پذير نيست. ولي. بر نمودار اين تابع در مبدا، محور yها مماس است. در نمونه زير، تابعي داريم كه در صفر پيوسته است ولي مشتق پذير
نيست و بر نمودارش در مبدا، خطي مماس نمي شود.
ـ نمونه 1 فرض كنيد f تابع قدر مطلق باشد. بنابراين
F(x)=|x|

و

چون نتيجه مي شود كه حد دو طرفه وجود ندارد. بنابراين f1(0) وجود ندارد و لذا f در صفر مشتق پذير نيست.
چون توابع مذكور در نمونه فوق در يك عدد پيوسته اند اما در آن عدد مشتق پذير نيستند، مي توان نتيجه گرفت كه پيوستگي يك تابع در يك عدد، مشتق پذيري آن تابع در آن عدد را ايجاب نمي كند. ولي مشتق پذيري قطعاً مستلزم پيوستگي است.
تابعي چون f مي تواند به يكي از دلايل زير در عددي مانند c مشتق پذير نباشد.
1ـ تابع f در c پيوسته نباشد.
2ـ تابع f در c پيوسته باشد، و خط قائمي بر نمودار f در نقطه به طول x=c مماس شود .
3ـ تابع f در c پيوسته باشد، ونمودار تابع f در نقطه به طول x=c خط مماسي نداشته باشد. در نمودار تابعي آمده است كه در اين شرط صدق مي كند. ملاحظه كنيد كه نمودار در x=c «گوشه اي » دارد.
مشتق يك طرفه
اگر تابع f در x1 تعريف شده باشد، آنگاه مشتق راست f در x1 با f1+(x1) نمايانده مي شود و به صورت زير تعريف مي گردد

به شرطي كه اين حد وجود داشته باشد.
اگر تابع f در x1 تعريف شده باشد، آنگاه مشتق چپ f در x1 با f1-(x1) نمايانده مي شود و به صورت زير تعريف مي شود

به شرطي كه اين حد وجود داشته باشد.
چند قضيه در مورد مشتق گيري از توابع جبري
عمل يافتن مشتق يك تابع را مشتق گيري مي نامند كه مي تواند با استفاده از تعريف انجام شود. ولي، اگر بخواهيم فقط از آن تعريف استفاده كنيم، اين عمل نسبتاً طولاني خواهد بود؛ لذا اكنون چند قضيه بيان مي كنيم، كه به كمك
آنها پيدا كردن مشتق بعضي از توابع آسانتر مي شود.
قضيه 1) اگر c يك عدد ثابت باشد، و براي هر x داشته باشيم f(x)=c آنگاه داريم
F1(x)=0
(1) Dx(c)=0
بنابراين، مشتق يك عدد ثابت برابر صفر است.
قضيه 2) اگر n يك عدد صحيح مثبت باشد، و داشته باشيم f(x)=xn آنگاه
F1(x)=nx n-1
(2) Dx(xn)=nx n-1
(3) Dx [c.f(x)]= c.Dxf (x).
قضيه 3) مشتق حاصلضرب يك عدد ثابت در يك تابع، برابر است با حاصلضرب عدد ثابت در مشتق تابع، به شرطي كه اين مشتق وجود داشته باشد.
از تركيب قضاياي 2 و 3 نتيجه زير به دست مي آيد : اگر f(x)=cxn كه n عددي صحيح و مثبت و c يك عدد ثابت است، داريم
F1(x)=cnx n-1
قضيه 4) مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقهاي آن دو، به شرطي كه اين مشتقها وجود داشته باشند.
نتيجه قضيه قبل را مي توان براي هر تعداد متناهي از توابع تعميم داد؛ كافي است از قضيه قبل و استقراي رياضي استفاده كنيم.
قضيه 5) مشتق مجموع تعدادي متناهي از توابع برابر است با مجموع مشتقهاي آن توابع، به شرطي كه اين مشتقها وجود داشته باشند.
با استفاده از قضيه هاي قبل مي توان مشتق هر تابع چند جمله اي را به سادگي محاسبه كرد.
قضيه 6) يعني ، مشتق حاصلضرب دو تابع برابر است با تابع اول ضربدر مشتق تابع دوم به علاوه تابع دوم ضربدر مشتق تابع اول، به شرطي كه اين مشتقها وجود داشته باشند.
قضيه 7) مشتق خارج قسمت دو تابع عبارت است از كسري كه مخرج آن، مربع مخرج كسر اصلي است و صورت آن، مخرج كسر اصلي ضربدر مشتق صورت منهاي صورت كسر ضربدر مشتق مخرج است، به شرطي كه اين مشتقها وجود داشته باشند.
قضيه 8) اگر f(x)=x-n كه در آن -n يك عدد صحيح منفي است و آنگاه
F1(x)= -nx -n-1
قضيه 9)
Dx(sin x)=cos x.
براي پيدا كردن مشتق توابع كسينوسي مانند مشتق تابع سينوسي عمل مي كنيم.
قضيه 10)
Dx(cos x)= -sin x.
چون Dx(sin x) = cos x، و cos x براي تمام مقادير x تعريف شده است، پس تابع سينوسي همه جا مشتق پذير و در نتيجه همه جا پيوسته است. به طور مشابه تابع كسينوسي نيز همه جا مشتق پذير و
پيوسته است. چون بيشترين مقداري كه هر يك از دو تابع مي تواند داشته باشد 1 و كمترين مقدار شان 1- است با توجه به قضيه مقدار مياني، برد هر يك از دو تابع [-1,1] است.
مثال 3 معادله خط مماس بر نمودار تابع كسينوسي در نقطه را پيدا كنيد.
حل اگر f(x)=cos x = f(x) آنگاه f1(x)= -sin x . بنابراين

با استفاده از صورت نقطه ـ ضريب زاويه اي، معادله خطي با ضريب زاويه 1 كه از نقطه بگذرد، چنين است.

قضيه 11) (قاعده زنجيري) فرض كنيد y تابعي از u است كه به صورت y=f(u) تعريف شده است، و Duy وجود دارد؛ و نيز فرض كنيد u تابعي از x است كه به صورت u=g(x) تعريف شده است، و Dxu وجود دارد؛ در اين صورت، y تابعي از x است و Dxy وجود دارد و از رابطه زير به دست مي آيد.
Dxy=Duy.Dxu.
اگر نماد تابع مركب را به كار بريم قاعده زنجيري بصورت زير نوشته مي شود
Dxf (g(x)=f1(g(x).g1(x)
مشتق گيري ضمني
اگر ، آنگاه معادله
(1) y=3×2+5x+1
تابع F را به طور صريح تعريف مي كند. ولي، هر تابعي را نمي توان به طور صريح تعريف كرد. به عنوان مثال، در معادله
(2) x6-2x=3y6+y5-y2
نمي توانيم y را بر حسب x به دست آوريم
با فرض اينكه معادله (2) ، y را به عنوان حداقل يك تابع مشتق پذير از x تعريف كند، مي توانيم مشتق y نسبت به x را با فرآيندي موسوم به مشتق گيري ضمني پيدا كنيم، كه اكنون اين كار را مي كنيم.
طرف چپ معادله (2) تابعي از x و طرف راست آن تابعي از y است. فرض كنيد f تابعي باشد كه به وسيله طرف چپ معادله (2) تعريف مي شود، و G تابعي باشد كه به وسيله طرف راست آن تعريف مي شود. بدين ترتيب داريم
(3) F(x)=x6-2x
و
(4) G(y)=3y6+y5-y2
كه در آن y از x مثلاً به صورت زير است
y=f(x).
بنابراين، معادله (2) را به صورت زير مي توان نوشت
(5) F(x)=G(f(x)).
معادله (5) به ازاي تمام مقادير x واقع در قلمرو f كه براي آنها G[f(x)] وجود داشته باشد، برقرار است.
در اين صورت، براي تمام مقادير x كه به ازاي آنها تابع f مشتق پذير باشد، داريم
(6) Dx[x6-2x]=Dx[3y6+y5-y2]
(7) Dx[x6-2x]=6×5-2
با استفاده از قاعده زنجيري، مشتق طرف راست معادله (6) را پيدا مي كنيم.
(8) Dx[3y6+y5-y2]=18y5. Dxy+5y4. Dxy-2y . Dxy
اگر مقادير مربوطه را از (7) و (8) در معادله (6) قرار دهيم، داريم
6×5-2=(18y5+5y4-2y)Dxy.
معادله (2) نوع ويژه اي از معادله شامل x و y است زيرا مي توان آن را طوري نوشت كه تمام
جملات شامل x در طرف چپ و تمام جملات شامل Y در طرف راست معادله قرار داشته باشند.
مشتقهاي مراتب بالاتر
اگر f1 مشتق تابع f باشد، آنگاه f1 نيز خود يك تابع است، و مشتق اول f ناميده مي شود. اگر مشتق f1 وجود داشته باشد، آن را مشتق دوم f مي ناميم و با علامت f11 نمايش مي دهيم (كه خوانده مي شود اف زِ گوند). به طور مشابه، مشتق سوم f را به عنوان مشتق اول f11 ، در صورت وجود، تعريف كرده و با علامت f111 نشان مي دهيم (و مي خوانيم اف تيرس).
اگر n يك عدد صحيح مثبت بزرگتر از 1 باشد، مشتق n م تابع f را به عنوان مشتق اول (n-1) م تابع f تعريف مي كنيم و آن را با علامت f(n) نشان مي دهيم . پس مي توانيم خود تابع f را با f(0) نيز نمايش دهيم. علامت ديگري براي مشتق n م f به صورت است. همچنين، اگر تابع f به وسيله معادله y=f(x) تعريف شده باشد، n م f را با علامت نيز مي توان نشان داد.
مشتق دوم يعني f11(x) بر حسب واحد f1(x) در واحد x بيان مي شود، كه عبارت است از واحد f(x) در واحد x، در واحد x (مربع واحد). مثلاً در حركت مستقيم الخط، اگر در لحظه t (ثانيه)
فاصله ذره از مبدا f(t) سانتي متر باشد، سرعت ذره در لحظه t ، f1 (t) سانتي متر در ثانيه و آهنگ لحظه اي تغيير سرعت در t (ثانيه) ، f11(t) سانتيمتر بر مربع ثانيه مي باشد. در فيزيك، آهنگ لحظه اي تغيير سرعت را شتاب لحظه اي مي نامند. بنابراين، اگر ذره اي در امتداد يك خط مستقيم طبق معادله s=f(t) در حال حركت باشد، و در لحظه t (ثانيه)، سرعت لحظه اي برابر v سانتيمتر در ثانيه و شتاب لحظه اي a سانتيمتر بر مربع ثانيه باشد، آنگاه a برابر با مشتق v نسبت به t و يا مشتق دوم s نسبت به t خواهد بود؛ يعني

كاربردهاي ديگر مشتق دوم موارد استفاده آن در پيدا كردن اكسترمم (مينيمم يا ماكسيمم) نسبي توابع و رسم نمودار توابع است.
نكته : مشتق مرتبه چهارم y=sinx با خود y برابر است. بنابراين مشتقات مراتب بالاتر نيز مانند مشتقات مرتبه اول ، دوم و سوم و چهارم تكرار مي شوند و مشتق مرتبه پنجم با مشتق اول، مشتق مرتبه ششم با دوم و … برابر مي شوند. بنابراين براي بدست آوردن مشتق مراتب بالا مي توان مرتبه مشتق را بر عدد 4 تقسيم كرد و
باقيمانده تقسيم را بدست آورد و سپس مشتق مرتبه عدد باقيمانده را حساب كرد.
مشتق به عنوان آهنگ تغيير
ذره اي را در نظر بگيريد كه در امتداد يك خط مستقيم در حال حركت است. يك چنين حركتي را حركت مستقيم الخط مي نامند. يكي از دو جهت را به طور دلخواه مثبت، و جهت مخالف را منفي انتخاب مي كنيم. به خاطر سادگي فرض مي كنيم حركت ذره در امتداد يك خط افقي است، كه طرف راست آن جهت مثبت و طرف چپ آن جهت منفي باشد. نقطه اي را روي خط انتخاب كرده و آن را با حرف O نشان مي دهيم. فرض كنيد f تابعي باشد كه فاصله جهت دار ذره را از O در هر لحظه از زمان تعيين مي كند.
به طور مشخص، اگر فاصله جهت دار ذره از O در زمان t (ثانيه) برابر s سانتيمتر باشد، در اين صورت f تابعي است كه با معادله زير تعريف مي شود.
(1) S=f(t)
كه فاصله جهت دار ذره از نقطه O در يك لحظه خاص از زمان را نشان مي دهد.
به عنوان مثال، اگر ذره اي در امتداد يك خط مستقيم طبق معادله S=f(t) در حال حركت باشد، سرعت آن ذره در لحظه t بر حسب واحد زمان، به وسيله مشتق s نسبت به t معين مي شود. چون مي توان سرعت را به عنوان آهنگ تغيير مسافت در
واحد تغيير زمان تعبير كرد، نتيجه مي گيريم كه مشتق s نسبت به t همان آهنگ تغيير s در واحد تغيير t است.
به طريق مشابه، اگر كميتي مانند y تابعي از كميت ديگري مانند x باشد، مي توان آهنگ تغيير y در واحد تغيير x را معين كرد. بحث در اين مورد، مشابه بحثهاي مربوط به ضريب زاويه خط مماس بر نمودار، و سرعت لحظه اي يك ذره كه در امتداد يك خط مستقيم حركت مي كند، خواهد بود.
تعريف اگر y=f(x) ، آهنگ لحظه اي تغيير y در واحد x ، در x1 ، برابر است با f1(x1) و به عبارت ديگر، مشتق y نسبت به x در x1 ، به شرطي كه f1(x1) وجود داشته باشد.
آهنگ متوسط تغيير y در واحد تغيير x از كسر (3) به دست مي آيد، و اگر اين كسر را در ضرب كنيم، داريم

كه همان تغيير واقعي y ناشي از تغيير x به اندازه است، وقتي كه نقطه (x,y) در امتداد نمودار حركت مي كند.
تعريف اگر y=f(x) آهنگ نسبي تغيير y در واحد تغيير x، در x1 برابر است با f1(x1) | f(x1) و يا Dxy|y كه در x=x1 محاسبه مي گردد.
قضيه رول
اگر تابع f روي [a,b] پيوسته و روي (a,b) مشتق پذير باشد و f(a)=f(b) آنگاه حداقل يك نقطه (a<c<b) c وجود دارد كه براي آن f1(c)=0
نقاط c در اين قضيه نقاطي هستند كه مماس بر نمودار در آنها خطوط افقي هستند. اين مطلب در نمودار مقابل نشان داده شده است.
قضيه مقدار ميانگين
هر گاه تابع f روي بازه [a,b] پيوسته و روي بازه (a,b) مشتق پذير باشد. آنگاه حداقل يك نقطه c كه a<c<b وجود دارد بطوري كه :
F1(c)
قضيه مقدار ميانگين حالت كلي تر قضيه رول مي باشد. در واقع شيب خطي است كه از نقاط ابتدا و انتهاي تابع در اين بازه مي گذرد و c نقطه اي است كه خط مماس بر نمودار در آن داراي شيبي برابر مقدار فوق است. يعني خط مماس در c موازي خط گذرا از نقاط ابتدا و انتهاي بازه است.
ضميمه :
مثال 1) معادله خط مماس بر منحني در نقطه (8 ، 5) را به دست آوريد.
حل چون ضريب زاويه خط مماس در هر نقطه (x1 , y1) از رابطه زير به دست مي آيد
M(x1) = 2×1-4
پس ضريب زاويه خط مماس در نقطه (8 ، 5) عبارت است از
M(5)=2(5)-4=6
بنابراين معادله خط مطلوب به صورت نقطه ـ ضريب زاويه اي، عبارت است از
Y-8=6(x-5)
Y=6x-22
مثال 2) فرض كنيد f(x) = 3×2 + 12 مشتق تابع f را پيدا كنيد.
حل اگر x عددي در قلمرو f باشد

مثال 3) تابع f(x)=x1/3 مفروض است. (الف) (x) را به دست آوريد؛ (ب) نشان دهيد (0) وجود ندارد

فایل : 22 صفحه

فرمت : Word