نامعادلات

فصل اول
معادلات گويا، اصم و نامعادله
بخش اول:
تعيين علامت چندجمله‌اي‌ها
تعريف: منظور از تعيين علامت چندجمله‌اي، آن است كه بدانيم آن چندجمله‌اي به ازاي چه مقاديري براي متغير آن (x) مثبت يا منفي يا صفر است.
الف) تعيين علامت دو جمله‌اي درجه اول:
ابتدا ريشه آن را بدست مي‌آوريم. سپس در جدول زير علامت آن را تعيين مي‌كنيم.
مثال) تعيين علامت كنيد.
P=10-5x P=-0.1x+7
P=2x+8 p=1-1/2x
ريشه ساده: ريشه‌اي كه فرد دفعه در معادله تكرار شود.
ريشه مضاعف: ريشه‌اي كه زوج دفعه در معادله تكرار شود.
تذكر 1) در جدول تعيين علامت، در دو طرف ريشه مضاعف يك علامت تكرار مي‌شود.
تذكر 2) عبارت داخل قدر مطلق و عبارت داخل پرانتز با توان زوج داراي ريشه مضاعف مي‌باشند.
مثال) تعيين علامت كنيد.
P=|2x-10| P=-|2x+3| P=(4-3x)8
P=(5-3x)7 P=-7×2
تعيين علامت عبارات حاصلضرب يا تقسيم
پس از ريشه‌يابي، ريشه‌ها را به ترتيب از كوچك به بزرگ در يك سطح و هر عبارت را جداگانه تعيين علامت مي‌كنيم. از حاصل‌ضرب عمودي علائم هر ستون علامت عبارت بدست مي‌آيد. ضمن اينكه اگر ريشه‌اي مخرج كسر را صفر كند، در سطر پايين جدول «ن» مي‌نويسيم.
مثال) تعيين علامت كنيد.
P=4x(x+3)(2-x) P=(3x+6)(1-2x)
P=[(1-x)3(2x+1)4]/[(-5x|x+2|)] P=[x2(1-2x)]/[(|x+3|)]
P=[x(3x-1)]/[(2-5x)(-x+1)] P=[(3-6x)]/[2x(-x-5)]
ب) تعيين علامت سه جمله‌اي درجه دوم:
ابتدا عبارت را ريشه‌يابي مي‌كنيم و با توجه به حالت‌هاي زير، در جدول مربوط به تعيين علامت مي‌شوند.
حالت اول: معادله دو ريشه حقيق متمايز دارد (Δ>0)
حالت دوم: معادله يك ريشه مضاعف دارد (Δ=0)
حالت سوم: معادله ريشه ندارد
مثال) تعيين علامت كنيد.
P=-2×2+5x P=2×2+3x-5
P=4×2+4x+1 P=x2-2x-3
P=1-x+x2 P=2×2-x-x
P=[(x2-7x+12)]/(|x|(1-2x))] P=[(x2-4)]/[(x2-2x)(1-x2)]
ج) تعيين علامت به كمك رسم نمودار:
ابتدا نمودار داده شده را رسم مي‌كنيم. سپس:
به ازاي مقاديري كه نمودار بالاي محور xها قرار مي‌گيرد، علامت آن مثبت؛
به ازاي مقاديري كه نمودار روي محور xها قرار مي‌گيرد، مقدار آن صفر؛
به ازاي مقاديري كه نمودار زير محور xها قرر مي‌گيرد، علامت آن منفي است.
مثال) به كمك رسم نمودار، عبارات زير را تعيين علامت كنيد.
y=-1/2x+1
y=3x-3
y=x2-4x+4
نكته:
شرط آنكه سه جمله‌اي درجه 2 همواره مثبت باشد: a>o, Δo, Δ=o؛
شرط آنكه سه جمله‌اي درجه 2 همواره منفي باشد: a<o, Δ<o؛
شرط آنكه سه جمله‌اي درجه 2 همواره نامثبت باشد: a<o, Δ=o؛
مثال) نشان دهيد عبارت –x2+2x-3 به ازاي جميع مقادير x منفي است.
مثال) حدود m را طوري بيابيد كه عبارت (1-m)x2+3x-4 همواره مثبت است.
مثال) حدود m را طوري بيابيد كه عبارت A=x2+mx+1^2 همواره تعريف شده باشد.
مثال) حدود m را طوري بيابيد كه عبارت P=mx2-3x+15 همواره مثبت باشد.
مثال) حدود m را طوري بيابيد كه عبارت P=(m-1)x2-2mx+(m-2) همواره منفي باشد.
مثال) حدود m را طوري بيابيد كه عبارت P=-x2+2x+2m-3 همواره مثبت باشد.
تعيين علامت هر عبارت از هر درجه در يك سطر
ابتدا ريشه‌يابي و ساده يا مضاعف بودن آن را معلوم و در يك سطر از چپ به راست در جدول قرار مي‌دهيم. سپس از هر عبارت علامت ضرب بزرگترين جمله را درنظر گرفته و در يكديگر ضرب مي‌كنيم تا اولين علامت جدول از سمت راست معلوم شود. بعد از هر ريشه ساده، علامت را تغيير مي‌دهيم و بعد از هر ريشه مضاعف علامت را تغيير نمي‌دهيم.
مثال) عبارت زير را در يك سطر تعيين علامت كنيد.
P=-x3+x P=[(4×2-x4)]/[(3-x)]
P=[(x2-4)(x-1)2]/[(x2-7x+12)(x2-25)2]
P=[(x2-1)]/[(3-3x)(-x2+2x-3)]
نامعادله
نامعادلات درجه اول مانند معادلات درجه اول حل مي‌شوند. ضمن اينكه در انتها اگر ضريب x منفي باشد، جهت نامعادله عوض مي‌شود.
نامعادلات درجه دوم و بالاتر به كمك تعيين علامت حل مي‌شوند.
در نامعادلات كسري، اگر در مخرج كسر متغير نباشد، اجازه داريم آنرا از حالت كسري خارج كنيم.
در حالت كلي، براي حل نامعادله بخصوص زماني كه از درجه اول نباشد، ابتدا نامعادله را به صورت Po درآورده، در حالت P>o نواحي مثبت و با فرض P<o نواحي منفي جواب مي‌باشند.
مثال) نامعادلات زير را حل كنيد.
x2o
مثال) حوزه تعريف عبارات زير را بيابيد.

معادلات و نامعادلات قدرمطلق‌‌دار
در حالت كلي براي حل معادلات و نامعادلات كافي است كه دو طرف را به توان 2 برسانيم و با حذف قدرمطلق آن را حل كنيم.
مثال) معادلات و نامعادلات زير را حل كنيد.
|x+3|=2 |x+5|=|3-x| |2x+1|4 |x+3|≥5 |1-x|>|2x-5|
تذكر: براي حل معادلات و نامعادلات قدر مطلقي مي‌توان از ويژگي‌هاي قدرمطلق نيز استفاده كرد كه به چند ويژگي مهم بيان مي‌شود.
|u|=k, k>o ( u=±k
|u|=k, K>o ( امكان ندارد
|u|=o ( u=o
|u|=|k| ( u=≥k
|u|o ( -k<u<k
|u|<k, kk, k>o ( u>k or uk, k<o همواره برقرار
|u|≤|k| ( u2≤k2
|u|≥|k| ( u2≥k2
مثال) معادلات و نامعادلات زير را حل كنيد.
|2x-1|=3 |x2-1|=0 |2x-1|=-1
|3x+1|=|2x-1| |3x+2|4
|5x-2|>-2 |3x-4|<9 |1-2x|<|x+3|
25≥(1-2x)2
بخش دوم
حل معادلات شامل عبارات گويا و اصم
الف) حل معادلات شامل عبارات گويا
ابتدا دامنه معادله داده شده را تعيين مي‌كنيم:
اگر در دو طرف معادله تنها يك كسر باشد، با طرفين وسطين كردن، معادله را از حالت كسر خارج مي‌كنيم و پس از حل، با توجه به دامنه جواب‌هاي قابل قبول را مي‌پذيريم.
اگر در يك معادله بيش از يك كسر باشد، كل اين معادله را در ك.م.م مخرج‌هاي ضرب مي‌كنيم تا معادله از حالت كسر خارج شود. پس از حل معادله، جواب‌هاي قابل قبول را مي‌پذيريم.
مثال) معادلات زير را حل كنيد.

تذكر: اگر در معادله‌اي دو متغير وجود داشته باشد و مجموعه جواب معادله داده شده باشد، براي حل آن و يافتن يكي از متغيرها، مجموعه جواب داده شده را به جاي متغيري كه مقدار
آن خواسته نشده، قرار مي‌دهيم. به اين ترتيب در معادله تنها يك مجهول وجود دارد كه مي‌توانيم آن را بدست آوريم.
مثال) مقدار m را طوري تعيين كنيد كه معادله 2mx-4=7m-x داراي مجموعه جواب {2-} باشد.
مثال) اگر معادله زير داراي جواب 3 باشد، مقدار a را بيابيد.

ب) حل معادلات اصم:
عبارت اصم شامل متغير در زير راديكال مي‌باشد. براي حل آن، ابتدا دامنه عبارت را تعيين مي‌كنيم.
1. اگر در معادله‌اي يك راديكال باشد، عبارت راديكالي در يك طرف و بقيه جملات در طرف ديگر نوشته مي‌شود. سپس طرفين را به توان فرجه رسانده تا راديكال حذف شود.
مثال) معادلات زير را حل كنيد.

2. اگر در معادله بيش از يك راديكال داشته باشيم، ابتدا يك راديكال را در طرف اول و راديكال دوم و بقيه جملات را در طرف دوم نوشته، سپس طرفين را به توان 2 رسانده تا

فایل : 10 صفحه

فرمت : Word