معادلات فرد هولم

1- معادلات فرد هولم
شباهت ها با جبر ماتريسي: سه معادله انتگرال زير را در نظر بگيريد

حدود تغييرات انتگرال گيري و تعريف توابع شامل است. حدود انتگرال گيري را تا لازم نباشند ذكر نمي كنيم. قبل از اينكه جواب، اين معادلات را مطرح كنيم بهتر است كه تقريب هايي ساده براي آنها بدست آوريم، سپس تقريب ها را مورد بحث قرار دهيم. براي اين كار مي توانيم ايده اي از خواص معادلات انتگرال را بدست آوريم، هر چند عموماً اين خواص را به جاي اثبات فقط معين مي كنيم. در اينجا فرض مي كنيم كه معادلات ناتكين هستند.
فرض كنيد يك عدد صحيح باشد و q,p اعداد صحيح مثبت كمتر از باشند. قرار مي دهيم: .
با ميل به سمت بي نهايت و h به سمت صفر، به درستي انتظار داريم كه تقريب بهتر و بهتر شود.

اكنون ، تقريبي براي است و در نتيجه مجموعه معادلات زير
(4-2)
(5-2)
(6-2)
به ترتيب تقريب هايي براي معادلات انتگرال (1-2)، (2-2)و(3-2) هستند.
معادلات (4-2)،(5-2)و(6-2) را مي توان به ترتيب، به صورت ماتريسي بازنويسي كرد.

كه در آن K ماتريس مربعي با درايه هاي به ترتيب ماتريس هاي ستوني با درايه , هستند.
اكنون رفتار اين معادلات ماتريسي را در نظر بگيريد. معادله (7-2) يك جواب يكتا دارد
مشروط براينكه K يك ماتريس وارون پذير باشد. در هر حال اگر Kوارون پذير باشد، رتبه K از مرتبه آن كوچكتر است و برخي سطرهاي آن به طور خطي مستقل خطي از سطرهاي ديگر هستند. اگر همين رابطه بين درايه هاي متناظر در برقرار باشد، تعداد نامتناهي از جوابهاي نايكتا موجود است. اگر اين چنين نباشد، معادلات ناسازگارندو جوابي وجود ندارد. بنابراين امكان دارد معادله (1-2) يا جواب يكتا داشته باشد، يا بي نهايت جواب، يا بدون جواب.
اكنون معادله (8-2) را به صورت زير بازنويسي مي كنيم

اگر K وارون پذير باشد، اين معادله بردار ويژة و مقدار ويژه غير صفر وابسته به آن دارد. ممكن است فرض شود كه همه مقادير ويژه با هم متفاوت باشند. وقتي نباشند تعديل مناسبي را مي توان بر نظريه اعمال كرد. اگر ماتريس وارون ناپذير باشد و رتبه باشد و n-m بردار ويژه متناظر با يك مقدار ويژه صفر وجود دارد. بايد توجه شود كه در حالت كلي بردارهاي ويژه ، كه با جوابهاي بيان مي شوند با يكي نيستند مگر اينكه ماتريس Kمتقارن باشد(در عبارت اخير،
انديس T كه در بالا قرار دارد ترانهاده را نشان مي دهد). در هر حال، مقادير ويژه هميشه مشابه خواهند بود. برخي روابط تعامد را مي توان به صورت زير اثبات كرد: فرض كنيم بردارهاي ويژه و متناظر با مقادير ويژه غيرصفر، نابرابر و باشند،

كه فقط در صورتي ممكن است كه اگر
(10-2)
با انجام فرآيند متعامد سازي معمولي مي توان اين نتيجه را براي حالتي كه مقادير ويژه با هم برابر باشند بدست آورد. علاوه بر اين هميشه ممكن است با تغيير مقياس، رابطه زير ساخته شود

وقتي كار نرمال سازي انجام شد، واضح است كه

فرض كنيم يك ماتريس ستوني دلخواه با n درايه باشد.
فرض كنيم

پس

و همين طور

به عبارت ديگر

جواب مجموعه معادلات (9-2) را در نظر بگيريد

اگر مقدار ويژه مجموعه معادلات نباشد

يعني
(13-2) (I ماتريس يكه از مرتبه است) پس مجموعه معادلات (6-2) يك جواب يكتا دارد.
مي توان ديد كه دترمينان از مرتبه n است و مي توان آن را به صورت يك چند جمله اي درجه n ام بر حسب بسط داد كه مقدار ثابت در آن يك است. همچنين وقتي كه يك مقدار ويژه دستگاهي باشد كه با معادله (8-2) تعريف شده است صفر مي شود. بنابراين

كه در آن ها مقادير ويژه دستگاه هستند. مناسب‌تر است كه فرض كنيم:

متناظر با نامساوي هاي بالا داريم:

از اين به بعد، اين قرارداد در متن پيش رو رعايت مي شود.
جوابي به صورت را بيابيد، كه در آن ها بردارهاي ويژة دستگاه همگن هستند. اكنون كه در آن است.
و همين طور

كه از آنجا

و همين طور

بنابراين
(14-2)
مي بينيم كه اين رابطه را مي توان به صورت زير نوشت
(15-2)
كه در آن چند جمله هايي از مرتبه بر حسب هستند. اگر يك مقدار ويژه مثلاً باشد، آنگاه عبارت بي نهايت مي شود مگر اينكه صفر شود، كه در اين صورت، رابطه قبل به صورت مبهم در مي آيد. پس از رفع ابهام جواب آن برابر مي شود با كه در آن C يك اسكالر ثابت دلخواه است،و از اينرو نامعين است. راه ديگري براي حل معادله وجود دارد

دنباله بردارهايي تعريف شده با

را در نظر بگيريد. به سادگي مي توان ديد كه

اكنون

و اگر اين آخرين كميت به صفر ميل كند دنباله به سمت جواب معادله

ميل مي كند و همچنين

و همچنين

و عبارت فوق به سمت صفر ميل خواهد كرد، اگر

بنابراين، اگر ، يك جواب به صورت زير خواهد بود

كه رسماً با رابطه زير هم ارز است

يك بيان ديگر

كه در آن

براي اينكه ببينيم چه رفتاري را از جوابهاي معادلات انتگرال انتظار داشته باشيم تفسير
زير را مي توان مورد بهره برداري قرار داد. درايه هاي ماتريس ستوني با hAB تعريف شده اند.
كه Aيك ماتريس مربعي و B يك ماتريس ستوني است.

مقدار تابع A(x,y) در است و مقدار تابع B(y) در است، B(y),A(x,y) توابع مناسب هستند.بنابراين عبارت (19-2) يك تقريب براي

است. از اين تفسيرها و آنچه قبلاً آمد خواص زير براي جوابهاي معادلات انتگرال پيشنهاد شده اند:
(الف) معادله

جواب يكتا دارد مشروط بر اينكه تابعي مانند وجود نداشته باشد به طوري كه
(20-2)
(ب)تعداد نامتناهي از توابع ويژه و مقادير ويژه وابسته با K وجود دارند به طوري كه

(22-2)
اگر K در y,x متقارن باشد مشابه هستند،و را بتوان به گونه اي نرمال كرد كه

كه در آن
ممكن است تعدادي از ها صفر باشند.
معادلات (10-2)،(11-2)و(12-2) تقريب هايي از معادلات (23-2) و (24-2) هستند.
(پ) معادله انتگرال

يك جواب يكتا به صورت
(25-2)
دارد. مگر اينكه يك مقدار ويژه باشد. به صورت

است كه در آن
‌
كه در آن ها مقادير ويژه هستند. (.λ ; x,y)D را مي توان به صورت يك سري تواني از بيان كرد. معادله (15-2) يك تقريب به معادله (25-2) مي باشد.
اگر يك مقدار ويژه باشد، آنگاه فقط يك جواب وجود دارد اگر

و اين حالت جواب با يك مقدار نامعين است كه در آن Cيك ثابت دلخواه است.
يك بيان ديگر از جوابي كه همگراست وقتي است كه ، كه در آن كوچكترين مقدار ويژه است ، عبارتست از

كه در آن با

تعريف مي شود. معادله (16-2) تقريبي به معادله (27-2) است.
2-2 هسته هاي تباهيده
هسته اي به صورت را در نظر بگيريدكه در آن متناهي است و توابع
مستقل خطي را تشكيل مي دهند. (اگر اين توابع مستقل خطي نباشند، اتفاقي رخ نمي دهد مي توان تعداد جمله ها را كاهش داد.)هسته اي با اين مشخصه، هستة تباهيده ناميده مي شود.
اكنون معادله انتگرال نوع اوّل را در نظر بگيريد:

بي درنگ ، ميتوان دو گزاره ساخت:
الف) جوابي وجود ندارد، بجز f (x) كه مي توان آن را به صورت زير نوشت

اين موضوع براي خود – سازگار بودن معادله امري اساسي است.
(ب) جواب با هر تابع كه بر تمام ها در محدوده انتگرال گيري عمود است، نامعين مي باشد. چنين تابعي را موقعي مي توان ساخت كه n متناهي باشد.
بنابراين لازم است نشان دهيم كه معادله خود – سازگار است ، و وقتي كه دنبال جواب هستيم بهتر است دنبال ساده ترين راه بگرديم.
مثال 1-2 معادله انتگرال

فایل : 13 صفحه

فرمت : Word