خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي
1-1- تاريخچه
لئوناردو دا پيزا يا به عبارت مشهورتر فيبوناچي يكي از بزرگترين رياضي دانان اروپا در سال 1175 در شهر پيزا متولد شد . وي به علت حرفه پدريش كه بازرگاني بود به كشورهاي بسياري از جمله مصر و سوريه و … مسافرت نمود . فيبوناچي در سال 1200 به زادگاه خود يعني شهر پيزا در ايتاليا مراجعت نمود.
معرفي سيستم اعداد اعشاري به عنوان جايگزيني بسيار كارآمدتر به جاي سيستم اعداد رومي كه استفاده از آن زمان امپراطوري روم رايج بوده است از جمله مهمترين كارهاي اين رياضيدان بزرگ در طول حياتش بوده است . وي در ابتداي اولين بخش از كتاب خود به نام Liber abci در مورد اين سيستم چنين مي گويد :
« نه رقم هندي وجود دارد : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 كه به وسيله آنها و همچنين‌علامت . كه در عربي صفر ناميده مي شود مي توان هر عددي را به شيوه هايي كه توضيح داده خواهد شد نوشت » .
موارد قابل توجه زيادي در مورد زندگي اين رياضيدان وجود دارد كه شايد در مختصر نوشته اي در آينده با نام معرفي فيبوناچي به آنها اشاره خواهيم نمود.
اما آنچه در اينجا موردبحث قرار خواهد گرفت دنباله اي از اعداد مي باشد كه همه ما در دوران دبيرستان با اين دنباله به عنوان يكي از مصاديق دنباله هاي بازگشتي آشنا شده‌ايم . هرچند كه اين دنباله در نگاه اول بسيار ساده و معمولي به نظر مي رسد ولي روابط و نكات قابل توجهي در مورد اين دنباله ساده وجود دارد كه ساليان است توجه بسياري از متخصصين نظريه اعداد را به خود معطوف كرده و آنها را به شگفتي واداشته است .
2-1- دنباله فيبوناچي چيست :‌
در دوران حيات فيبوناچي مسابقات رياضي در اروپا بسيار مرسوم بود . در يكي از همين مسابقات كه در سال 1225 در شهر پيزا توسط امپراطور فردريك دوم برگزار شده بود مسئله زير مطرح شد .
فرض كنيم خرگوشهايي وجود دارند كه هر جفت ( يك نر و يك ماده ) از آنها كه به سن يك ماهگي رسيده باشند به ازاء هر ماه كه از زندگيشان سپري شود يك جفت خرگوش متولد مي كنند كه آنها هم از همين قاعده پيروي مي كنند . حال اگر فرض كنيم اين خرگوشها هرگز نمي ميرند و در آغاز يك جفت از اين نوع خرگوش ها در اختيار داشته باشيم كه به تازگي متولد شده اند حساب كنيد پس از n ماه چند جفت از اين نوع خرگوش خواهيم داشت .
فرض كنيم Xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد ، مي دانيم كه X2=1,X1=1 ، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+1 ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهايي كه در اين ماه متولد مي شوند با تعداد جفت خرگوشهاي موجود (Xn ) . اما چون هر جفت خرگوش كه از دو ماه قبل موجود بوده هم اكنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زاد و ولد رسيده اند تعداد جفت خرگوشهاي متولد شده برابر خواهدبود با Xn-1 پس خواهيم داشت :
X1 = 1 , X2=1 , Xn+1=Xn+Xn-1
كه اگر از قواعد مذكور پيروي كنيم به دنباله زير خواهيم رسيد كه به دنباله فيبوناچي مشهور است .
1,1,2,3,4,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,…
فيبوناچي با حل اين مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان رياضيات معرفي كرد كه خواص شگفت انگيز و كاربردهاي فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر رياضيدانان بلكه دانشمندان بسياري از رشته هاي ديگر را به خود جلب كرده است .
3-1- عدد طلايي چيست :‌
پيشينه توجه به اين عدد نه به زمان فيبوناچي بلكه به زمانهاي بسيار دورتر مي رسد. اقليدس در قضيه سي ام جلد ششم از سيزده جلد كتاب مشهور خود كه در آنها هندسه اقليدسي را بنا نهاد اين نسبت را مطرح كرده است .
لوكا پيشولي (Luca Pacioli ) در سال 1509 پس از ميلاد كتابي با عنوان نسبت الهي (The Divine Propotion ) تاليف كرد . وي در آن نقاشي هايي از
لئوناردو داوينچي آورده است كه پنج جسم افلاطوني را نمايش مي دهند و در آنها نيز به اين نسبت اشاره شده است .
در اين نوشته نماد يوناني (Phi ) Ф را براي عدد طلايي برمي گزينيم . هرچند بعضي از رياضيدانان از نمادهاي ديگري مانند ( Tau ) نيز براي نمايش اين عدد استفاده نموده اند .
4-1- تعريف عدد طلايي :
عدد طلايي عددي مثبت است كه اگر به آن يك واحد اضافه كنيم به مربع آن خواهيم رسيد و يا عددي كه يك واحد از معكوس خود بزرگتر باشد را عدد طلايي مي ناميم. در اثر هر دو تعريف به يك معادله درجه دوم دست خواهيم يافت .
Phi2 = Phi + 1
Phi = 1 + 1/Phi
اگر طرفين را در Phi ضرب كنيم خواهيم داشت :‌ Phi2 = Phi +1
عبارت فوق از ساده ترين تعاريف براي عدد طلايي مي باشد .
براي پيداكردن مقدار اين عدد كافي است معادله درجه دوم (1) را حل كنيم . مي توان اين معادله را از روش عمومي حل معادلات درجه دوم به آساني حل كرد و يا از راه حل زير براي آن استفاده كرد :‌
داريم )

از آنجا كه عدد موردنظرما مثبت است‌عدد طلايي برابر خواهد بود با ، اما ريشه ديگر معادله نيز از بابت كاربرد براي ما حائز اهميت مي باشد كه آن را با نمايش مي دهيم .

اگر نگاه دقيق تري به دو ريشه حاصل از معادله داشته باشيم به روابط جالبي بين آنها دست خواهيم يافت كه به راحتي قابل اثبات مي باشند ، به عنوان مثال :‌

5-1- ارتباط عدد طلايي با دنباله فيبوناچي :‌
روشهاي متفاوتي براي بيان رابطه بين عدد طلايي و دنباله فيبوناچي وجود دارد كه ما در اينجا به چند نمونه اشاره مي كنيم .
1- اگر معادله خط را در نظر بگيريم چون Phi كه به عنوان شيب اين خط در نظر گرفته شده عددي است گنگ و نمي توان آن را به صورت حاصل تقسيم دو عدد صحيح نوشت خط از هيچ نقطه اي با مختصات (i , j ) به طوريكه j ,i هر دو عدد صحيح باشند نخواهد گذشت به استثنا نقطه مبداء با مختصات (0,0 ) كه در تمام خطوط با معادلي كلي y=ax مشترك مي باشد.
حال اگر نمودار اين خط را رسم كنيم نكته اي كه قابل توجه مي باشد نزديكترين نقاط با مختصات ( i , j ) به طوريكه i , j هر دو صحيح باشند به اين خط است . در حال حاضر فرض بر آن است كه اين خط براي تعريف شده هرچند كه اين مطلب تاثير چنداني روي استدلال نخواهد داشت اما چون بحث را بر روي اعداد مثبت آغاز كرده ايم اينطور فرض مي نمائيم .
براي يافتن نقاط نزديك به اين خط با مختصات صحيح از نقطه ( o , o ) خط را مورد بررسي قرار مي دهيم . اگر از نقطه ابتدايي
كه همانطور كه در فوق آمد استثنا ميباشد صرف نظر نمائيم . به نظر مي رسد نزديكترين نقطه (1,1 ) مي باشند . نقطه بعدي( 2,1) است . پس از آن نقطه (3,2 ) به خط نزديك مي باشد و به ترتيب زير ادامه خواهديافت .
(1,l), (2,l),(3,2),(5,2) , (8 ,5) , (13,8) , (21,13) , (34,21) , (55,34),…
صحت مطالب فوق به راحتي قابل بررسي مي باشد، باكمي دقت در مختصات اين نقاط در خواهيم يافت كه اين مختصات از الگوي دنباله فيبوناچي پيروي مي كند . اين نقاط را نقاط فيبوناچي مي نماميم .
2- دومين مطلبي كه در زمينه ارتباط Phi با دنباله فيبوناچي قابل ذكر است به اين قرار است :‌
به نظر مي رسد كه دنباله همگرا به عددي بين 6/1 تا 7/1 مي باشد اما هيچكدام از اين مطالب دليل همگرايي نمي باشد . بايد حد دنباله محاسبه شود :‌
براساس ضابطه دنباله فيبوناچي اگر n را به اندازه كافي بزرگ درنظر بگيريم ميتوان نوشت :‌

حال اگر حد دنباله را هنگامي كه n به بينهايت ميل مي كند L فرض كنيم خواهيم‌داشت :

و با حل معادله فوق به حد دنباله دست خواهيم يافت . توجه كنيد كه معادله حاصل در واقع همان معادله ايست كه در ابتدا براي بدست آوردن عدد طلايي مطرح شد .
با حل اين معادله خواهيم داشت :
چون مي دانيم كه حد دنباله مثبت است ( چون تمام جملات دنباله مثبت هستند) پس حد دنباله ساخته شده برابر با عدد طلايي مي باشد . L=Phi
البته مطلب فوق مختص سري فيبوناچي نيست . براي هر دنباله اي كه از قاعده فيبوناچي پيروي كند ، با هر مقدار دلخواه براي دو جمله ابتدايي ، صادق است .
6-1- نمايش كسري عدد طلايي :
اگر تعاريف مطروحه براي عدد طلايي را به خاطر بياوريد حتماً رابطه زير را نيز به ياد خواهيد آورد . Phi = 1 + 1/Phi
اين رابطه بدين معناست كه ما مجاز به جايگزيني Phi با 1+1/Phi در روابط ميباشيم . حال اگر در خود رابطه اين جايگزيني را اعمال نمائيم خواهيم داشت :
Phi = 1+1/Phi = 1+1/(1+1/Phi)=1+1/(1+1/(1+1/Phi))= …
در نتيجه Phi را مي توان به صورت يك كسر نامتناهي به شكل زير نوشت :‌
Phi = 1+1/(1+1/(1+1/(1+… )))
متوقف كردن اين كسر در مراحل گوناگون ما را به تقريبهايي براي Phi ميرساند كه هرچه توقف درمرتبه بالاتري صورت پذيرد تقريب به Phi نزديكتر خواهدبود . به چند نمونه از اين تقريبها دقت كنيد :‌
Phi =1,Phi=1+1/1=2,Phi=1+1/(1+1/1)=3/2 , Phi=1+1/(1+1/(1+1/1))=5/3
مشاهده مي كنيم كه اولين عدد ( 1 ) برابر است با Fib (2) /Fib(1) همانطور كه از رابطه نمايش كسري Phi مشخص است كافي است به معكوس اين عدد يك واحد بيافزاييم تا تقريب بعدي به دست آيد
1+1/(Fib(2)/Fib(1))=1+(Fib(1)/Fib(2))=(Fib(2)+Fib(1))/Fib(2)=Fib(3)/Fib(2)
خواهيم ديد كه اين اعداد در حقيقت جملات دنباله Phi(n) ميباشنى كه همانطور كه در قبل نشان داده شد در بي نهايت به Phi ميل مي كنند.
7-1- عدد طلايي ، گنگ يا گويا :
با كمي دقت به آساني درخواهيم يافت عدد طلايي يكي از اعضاء مجموعه اعداد گنگ مي باشد اما براي اثبات اين ادعا استدلال جالب توجهي وجود دارد كه بيان آن خالي از لطف نيست :
براي اثبات درنظر داريم از برهان خلف استفاده كنيم . در ابتدا فرض كنيم Phi يك عدد گنگ نيست
( خلاف حكم ) ، اگر اين فرض را قبول كنيم بايد پذيرفت كه عدد Phi گوياست و لذا مي توان آن را به صورت كسر دو عدد صحيح نمايش داد . فرض كنيم كسر موردنظر A/B باشد ، مي توان اين كسر را تا آنجا ساده كرد كه صورت و مخرج آن نسبت به هم اول باشند ( هيچ عامل اول مشتركي نداشته باشند ) ، پس داريم :
Phi = A/B = p/q
به طوريكه p , q نسبت به هم اول مي باشند ، حال به تعريف Phi رجوع مي كنيم :‌

مي دانيم كه چون q در مخرج كسر قرار گرفته پس ، پس با ضرب طرفين (*) در q2 خواهيم داشت :

همانطور كه ملاحظه مي كنيد سمت چپ معادله داراي عامل p مي باشد پس p عامل q2 هم خواهد بود ، اما چون p,q نسبت به هم اول هستند پس p=1 خواهد بود.
از طرف ديگر از رابطه (**) خواهيم داشت :
باز هم مانند استدلال قبل چون q از عوامل سمت راست معادله است پس بايد عامل سمت چپ معادله هم باشد پس q عامل P2 است و چون p,q نسبت به هم اول هستند q=1 خواهد شد ، در نتيجه :
Phi = p/q=1/1=1
ولي عدد يك در تعريف Phi صدق نمي كند ، اين تناقض مبين باطل بودن فرض است ، يعني Phi گويا نيست پس ثابت شد كه Phi گنگ است .
8-1- دواثبات براي رابطه عمومي جملات دنباله فيبوناچي
در اينجا دو اثبات براي رابطه عمومي اعداد طلايي را مطرح مي كنيم . روش اول ساده ترين اثباتي است كه تاكنون براي اين رابطه مطرح شده و در روش دوم با استفاده از ماتريس ها به اثباتي براي اين رابطه دست خواهيم يافت .
اثبات اول ( ساده ترين روش مطرح شده ) :‌
از آنچه در مطلب خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي آمده داريم :
Phin = Fib(n-1)+Fib(n)Phi
(-Phi)n = Fib(n-1)-Fib(n)Phi
از تفريق دو رابطه (1) و (2) خواهيم داشت :‌

از آنجا كه :‌
خواهيم داشت :

حال براي بدست آوردن رابطه مطلوب از رابطه حاصل شده از رابطه : Phi = 1/Phi
كه در قبل درستي آن نشان داده شده استفاده مي كنيم ، خواهيم داشت :

همانطور كه ملاحظه كرديد به سادگي با استفاده از روابطي كه در گذشته اثبات نموديم رابطه عمومي دنباله اعداد فيبوناچي اثبات شد .
اثبات دوم ( با استفاده از ماتريسها ) :
آنچه در اينجا بيان مي شود روش اثبات رابطه عمومي دنباله اعداد فيبوناچي با استفاده از ماتريس ، جبر ماتريس و كاربرد مقادير ويژه آن مي باشد .
با رجوع به مسئله ابتداي بحث كه به پيدايش دنباله فيبوناچي منجر شد و توجه به تعداد خرگوشهاي بالغ و نابالغ در هر ماه مي توان چنين گفت :‌
باتوجه به جدول فوق و ماهيت مسئله اين توضيح صحيح مي باشد اگر بگوئيم :‌
تعداد جفت خرگوشهاي بالغ در هر ماه برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهاي بالغ و نابالغ ماه قبل ( تعداد كل خرگوشهاي ماه قبل ) و همچنين تعداد جفت خرگوشهاي نابالغ هر ماه برابر خواهد بود با تعداد جفت خرگوشهاي بالغ ماه قبل ، لذا خواهيم داشت .
تعداد جفت خرگوشهاي بالغ ماه n+2 ام Fib(n+1)=Fib(n)+Fib(n-1)
تعداد جفت خرگوشهاي نابالغ ماه n+2 ام Fib(n)
مي توان دو رابطه حاصل شده در فوق را در قالب ماتريس به شكل زير نوشت :

با جايگزيني n-1 به جاي n در رابطه فوق خواهيم داشت :

رابطه به دست آمده را در رابطه اول جايگزين مي كنيم :‌

مي توان مجدداً با جايگزيني n-2 به جاي n در رابطه اول نوشت :
و مجدداً اين رابطه را در رابطه ما قبل خود جايگزين كرد . به اين ترتيب خواهيم داشت:
مي توان اين جايگزيني ها را تا n-1 بار تكرار كرد و در نهايت خواهيم داشت :

در رابطه فوق بدست آوردن Mn كار دشواري است اما باتوجه به جبر ماتريس ها اگر ماتريس M را به صورت حاصلضرب سه ماتريس به شكل M=QDQ-1 بنويسيم كه در آن D يك ماتريس قطري باشد آنگاه خواهيم داشت :‌
Mn = M M M … M M M = (QDQ-1) (QDQ-1) (QDQ-1) … (QDQ-1) (QDQ-1) (QDQ-1) = QDnQ-1
و همچنين در مورد توان n ام ماتريس هاي قطري هم داريم :

در جبر ماتريسها دانستيم كه مقادير قطر اصلي ماتريس D مقادير ويژه ماتريس M هستند كه از حل كردن معادله زير بدست مي آيند :

معادله بدست آمده همان معادله اي است كه براي بيان اعداد طلايي حل كرديم و ريشه هاي آن عبارتند از :‌

پس خواهيم داشت :

براي بدست آوردن Q و Q-1 به ترتيب زير عمل مي كنيم :‌
اگر قرار بدهيم
a = Phi , b=-1/Phi
از روابط زير خواهيم داشت :

و از اينجا مي توان ماتريس Q را به شكل زير تعريف كرد :‌

دترمينان ماتريس Q برابر خواهد بود با :
detQ = 1/b-1/a = (a-b)/ab
كه با جايگذاري مقادير a و b خواهيم داشت :‌

پس ماتريس وارون ماتريس Q بشكل زير خواهد بود :

حال مي توان ماتريس M را به صورت Q D Q-1 نوشت :
و براساس جبر ماتريسها خواهيم داشت :

حال در رابطه اي كه از قبل به دست آورديم به جاي Mn مقدار Q DnQ-1 را جايگزين مي كنيم و با ضرب ماتريسها خواهيم داشت :

تساوي برقرار شده بين دو ماتريس در فوق مبين برابري تك تك آرايه هاي آنهاست يعني :‌

هر دو عبارت در حقيقت به يك رابطه واحد اشاره مي كنند با اين تفاوت كه اولي n+1 بجاي n در دومي نشسته است .
حال با جايگزيني مقادير فرض شده براي b و a در رابطه دوم خواهيم داشت :‌

و به اين ترتيب رابطه موردنظر با استفاده از ماتريسها و جبر آنها به اثبات مي رسد .
اعداد فيبوناچي و موجودات زنده :‌
در ابتدا اعداد Fibonacci را بر مي‌شمريم و دليل اينكه چرا آنها در شجره خانوادگي متعدد و در شكلهاي مارپيچي در برگها و دانه‌ها، ظاهر مي‌شوند را مشخص مي‌كنيم. سپس در فصلهاي بعدي به اين موضوع مي‌پردازيم كه چرا بخش طلايي گياهان توسط طبيعت كه در بعضي جزئيات ذكر شده و شامل تصاويري از رشد گياهان است، مورد استفاده قرار مي‌گيرد:
بياييد در ابتدا به جدول خرگوش‌ها كه فيبوناچي آنها را نوشته و سپس در دو انطباق و سازگاري كه باعث واقع گرايانه‌تر كردن موضوع شده است، نگاهي بيندازيم. اين مطلب تعداد زنجيره‌هاي فيبوناچي و تعريف ساده‌اي از تمامي زنجيره‌هاي پايان ناپذير را به شما معرفي مي‌كند.
1-2- خرگوش‌هاي فيبوناچي
مسئله اصلي كه فيبوناچي (در سال 1202) تحقيق و بررسي كرده، در مورد اين بود كه با چه سرعت ودرچه زماني، خرگوش‌ها مي‌توانستند در شرايط ايده‌آل، زاد و ولد كنند. فرض بر اين شد كه يك جفت خرگوش تازه متولد شده، يك نر و ماده، را در يك محل ويژه قرار دهند. خرگوش‌ها قادر به جفت‌گيري در سن یک ماهگي بودند بطوري كه خرگوش ماده در پايان ماه دوم بارداري‌اش مي‌تواند يك جفت خرگوش ديگر به دنيا بياورد. فرض مي‌كنيم كه خرگوش‌هاي ما هرگز نمي‌ميرند و آن خرگوش ماده هميشه يك جفت خرگوش جديد (يك نر و يك ماده) در هر ماه از دومين ماه بارداري‌اش به دنيا مي‌آورد در جدولي كه فيبوناچي ايراد كرده ، بود… چند جفت خرگوش در يك سال متولد خواهند شد؟
در پايان اولين ماه، آنها جفت‌گيري مي‌كنند ولي هنوز فقط يك جفت هستند.
در پايان دومين ماه، خرگوش ماده يك جفت خرگوش ديگر توليد مي‌كند، بنابراين در حال حاضر دو جفت خرگوش در اين جدول، در اختيار ما قرار مي‌گيرد.
در پايان ماه سوم، خرگوش ماده اصلي (اولين خرگوش ماده) دومين جفت را توليد مي‌كند، بنابراين در اين زنجيره 3 جفت خرگوش وجود دارد.
در پايان ماه چهارم، خرگوش ماده اصلي همچنان يك جفت خرگوش جديد ديگر توليد كرده است، خرگوش ماده‌اي كه در دو ماه قبل متولد شده، اولين جفت خود را توليد مي‌كند، بنابراين تعداد خرگوش‌ها 5 جفت مي‌شود.
به تصوير توجه فرمائيد. تعداد جفتهاي خرگوش‌ها در اين زمينه در آغاز هر ماه به اين صورت مي‌باشد:
34-21-13-8-5-3-2-1-1
با توجه به مطالبی که بیان شد تحت شرایطی که فیبوناچی برای خرگوشها قائل شد میتوانیم زنجیره ای را که برای شجره ی خانوادگی خرگوشها ایجاد شده را ادامه دهیم و به سوال مورد نظر پاسخ دهیم مشاهده می کنیم که در پایان سال 124جفت خرگوش خواهیم داشت
نمايي ديگر از شجره خانوادگي خرگوش‌ها را مشاهده فرمائيد:
با کمی تامل متوجه می شویم که مسائل خرگوش‌ها زياد واقع‌گرايانه نيست،
بنظر مي‌رسد كه برادر و خواهري كه با هم جفت‌گيري مي‌كنند. از نظر ژنتيكي منجر به بروز بعضي مشكلات براي آنها خواهد شد. ما مي‌توانيم اين قضيه را با گفتن اينكه خرگوش ماده هر جفت با هر خرگوش نري مي‌تواند جفت‌گيري كند و يك جفت خرگوش جديد توليد كنند، حل نمائيم. مشكل ديگري كه دوباره در روند طبيعت
نمي‌تواند كاملا درست باشد اين است كه در هر تولد دقيقا دو خرگوش به دنيا مي‌آيدو آنهم يكي نر و يكي ماده.
گاوهاي دودني
محقق و شجره شناس انگليسي، آقاي هنري دودني (در سال 1857 تا 1930) چندين كتاب عالي و برجسته در مورد جدول‌هاي شجره‌اي نوشته است.
در يكي از آنها، اوخرگوش‌هاي فيبوناچي را با گاوهاي سازگار مي‌كند كه اين امر مسائل و مشكلاتي را كه بالا مشاهده كرديم واقع‌گرايانه‌تر مي‌كند. او اين مشكلات را با متذكر شدن اينكه در واقع، تنها ماده‌ها هستند كه جالب و مفيد مي‌باشند- منظور تعداد ماده‌ها ! – كمي اصلاح كرد. او در روال كاري خودش، ماهها را سالها و خرگوش‌ها را به گاوهاي نر و گاوهاي ماده تغيير داد. اين موارد در مسئله شماره 175 اين كتاب كه- 536 جدول و مشكلات عجيب و غريب نام دارد- ذكر شده است. (اين كتاب در سال 1967، توسط انتشارات يادگاري به چاپ رسيده است.)
اگر يك گاو ماده اولين گوساله ماده خود را در سن دو سالگي به دنيا آورد و بعد از آن هر ساله يك گوساله ماده به دنيا آورد، بعد از 12 سال چند تا گوساله ماده متولد شده است، با فرض اينكه هيچ كدام از آنها نمرده‌اند اين روش ، يك روند آسان‌سازي بهتر براي اين مسائل به شمار مي‌رود و در حال حاضر كاملا واقعي مي‌باشد. اما فيبوناچي كاري را انجام داد كه اغلب رياضي‌دانان در ابتداي كار انجام مي‌دهند، مسائل را ساده كرد و بعد ديد كه چه اتفاقي براي آنها افتاده است و مي‌توان گفت كه زنجيره‌هاي توليد مثلي كه بر طبق نام خودش تبيين شده- همانطوري كه بعدا خواهيم ديد- جذابيت و كاربردهاي عملي ديگري را به همراه دارد. پس بياييد نظاره‌گر يك وضعيت واقعي در زندگي باشيم كه دقيقاً توسط زنجيره‌هاي زنبور عسل فيبوناچي شكل گرفته است.
2-2- زنبورهاي عسل و شجره خانوادگي
بالغ بر 30000 گونه زنبور عسل در دنيا وجود دارد كه اكثر انها بصورت منفرد و منزوي زندگي مي‌كنند. يكي از بيشترين نوع اين زنبورها كه براي عموم آشنا مي‌باشد، زنبورهاي عسل هستند كه بطور غير معمول با زنبورهاي ديگر هم لانه مي‌شوند و
زندگي مي‌كنند.لانه هاي آنها كندو نام دارد و مي‌توان گفت كه اين زنبورها شجره خانوادگي غير عادي دارند.در حقيقت، ويژگيهاي غير عادي زيادي در مورد زنبورهاي عسل وجود دارد. در اين بخش نشان خواهيم داد كه چگونه اعداد فيبوناچي ، اجداد و نياكان اين زنبورها را محاسبه مي‌كند.( در اين بخش منظور از « زنبور» ، « زنبورهاي عسل» مي‌باشند.
به تصوير موجود در صفحه توجه كنيد. در ابتدا بعضي واقعيتهاي غير عادي در مورد زنبورهاي عسل وجود دارد: از قبيل اينكه: همگي آنها دو والد ندارند.
در جمعيت‌ زنبورهاي عسل، يك زنبور ماده مخصوص بنام “ ملكه” وجود دارد.
در ميان آنها، زنبورهاي كارگر بسياري وجود دارد كه بيشتر آنها ماده هستند اما برخلاف زنبور ملكه، هيچ تخمي از خود توليد نمي‌كنند.
در ميان آنها، تعدادي زنبور نر وجود دارد كه كار نمي‌كنند. زنبورهاي نر توسط تخم هاي بارور نشده زنبور ملكه متولد مي‌شوند. بنابراين زنبورهاي نر تنها يك والد دارند يعني فقط مادر دارند و پدر ندارند.
تمامي زنبورهاي ماده هنگامي متولد مي‌شوند كه زنبورهاي ملكه با يك زنبور نر جفت گيري كرده باشد پس بنابراين مي‌توان گفت كه زنبورهاي ماده دو والد دارند، يعني هم پدر دارند وهم مادر. زنبورهاي ماده معمولاً به عنوان زنبورهاي كارگر درمي آيند اما بعضي از انها از مواد مخصوصي بنام “ ژله پادشاهي” تغذيه مي كنند. اين مواد باعث مي‌شود كه آنها رشد كرده و تبديل به زنبورهاي ملكه گردند و امادگي اين را پيدا كنند كه از گله زنبورها جدا شوند و كندوهاي خود را ترك كنند و در جستجوي يك مكان جديد براي ساختن لانه جديد باشند.
بنابراين ، نتيجه‌ مي‌گيريم كه زنبورهاي ماده دو والد دارند، يك نر و يك ماده، در حاليكه زنبورهاي نر فقط يك والد دارند و آن هم ماده است.
در اينجا، ما از تركيب شجره خانوادگي بطوري پيروي مي‌كينم كه والدين در بالاي فرزندانشان ظاهر مي‌شوند بنابراين، آخرين نسل ها در پائين نمودار قرار مي‌گيرند و هرچه بالاتر رويم به نسل بزرگ‌تر و مسن‌تر برخورد مي‌كنيم. چنين شجره‌هايي تمامي نسل‌ها واجداد انسان را در پائين نمودار نشان مي‌دهند. اگرهمانند كارهاي كه در مورد مسائل مربوط به خرگوش‌ها انجام شده و تمامي نسل‌هاي بعدي جفت اصلي نشان داده شد، بخواهيم تمامي نسل هاي بعدي (والدين و فرزندان نسل بعد) يك فرد را فهرست كنيم،كاملاً يك شجره متفاوت با شجره‌هاي ديگر خواهيم داشت.
بياييد به شجره‌ خانوادگي يك زنبور نر نگاهي بيندازيم.
1ـ اين زنبور تنها يك والد دارد،آنهم زنبور ماده است.
2ـ اين زنبور (زنبور نر) دو والد بزرگ(يعني پدربزرگ و مادربزرگ) دارد، به اين دليل كه مادر او دو والد دارد يك نر و يك ماده.
3ـ اين زنبور 3 والد بزرگتر (پدر و مادر مادر بزرگ) دارد: به اين دليل كه ماردبزرگش دو والد داشته اما پدربزرگش تنها يك والد داشته.
4- چند تا والد (يعني پدرو مادرِ مادرِ مادر بزرگ) اين زنبور دارد؟
دوباره تعداد و اعداد شمارشي فيبوناچي را با هم مرور مي‌كنيم:
و بيشتر..989 ،610 ،377 ،233 ،144 ،89 ،55 ،34 ،21 ، 13، 8، 5 ، 3 ، 2 ، 1
3-2- اعداد فيبوناچي و اندام انسانها :
انسانها هم خصوصيات فيبونانچي را در اندام خود نشان مي‌دهند. نسبت طلائي از نظر خصوصيتي در بخشهاي يك انگشت ديده مي‌شود.
دست انسان :
هر انسان دو دست دارد ، هريك ار آنها 5 انگشت دارند ، هر انگشت ار 3 بخش تشكيل شده است كه توسط دو بند از هم تفكيك مي‌شوند. تمامي اين اعداد توالي فيبونانچي است. با اين وجود اين ترتيبات به سادگي ميتواند همزمان با هم باشد.
نسبت بين ساعد و كف دست ، نسبت طلائي است رانشان می دهد
حلزون گوش موجود در گوش دروني يك مارپيچ طلائي را تشكيل مي‌دهد.
4-2- ستاره دريايي
يك ستاره دريائي 5 بازو دارد. «5 پنجمين عدد فيبونانچي است » .اگر يك پنج ضلعي منظم كشيده شود و قطر‌ها به آن اضافه گردد ،يك ستاره پنج پهلو يا پنج شاخه شكل مي گيرد. جائي كه جوانب پنج ضلعي يك واحد در طول به شمار مي‌‌روند، نسبت بين قطرها و جوانب phi يا نسبت طلائي مي‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌باشد. اين تقارن در پنج نقطه با ويژگيهاي طلائي در ستاره دريائي يافت
مي‌شود.
5-2- مستطيل‌هاي فيبوناچي و مارپيچ هاي صدفي
مي‌توانيم براي نشان دادن شمارش و اعداد فيبوناچي از تصاوير ديگري استفاده كنيم. اگر با دو مربع كوچك به اندزه يك در يك شروع كنيم. در بالاي هر دو اين مربع‌ها، يك مربع به اندزاه 2 سانتي (1+1) رسم كنيد.
حالا مي‌توانيم يك مربع جديد – در كنار دو مربع يك در يك قبلي و مربع 2 سانتي كشيده شد بر روي آن رسم كنيم،بنابراين يك مربع جديد به اندزه 3*3 خواهيم داشت [3] خواهيم داشت؛ سپس يك مربع ديگر به ضلع 5 سانتي در كنار دو مربع قبلي 3 سانتي و 2 سانتي، رسم مي‌كينم (5). مي توانيم اضافه كردن مربع‌ها را در اطراف تصوير ادامه دهيم. نكته مهم اين است كه طول هر مربع جديد برابر با مجموع دو مربع آخري مي‌باشد. اين ترتيب و چيدمان مستطيل ها كه اضلاعشان بر اساس شمارش فيبوناچي تنظيم شده است را “ مستطيل‌هاي فيبوناچي ”خواهيم ناميد.
در اينجا يك مارپيچ در مربع ها ، بطوري كه يك چهارم دايره در هر مربع را اشغال كند، كشيده ميشود. اين مارپيچ از نظر رياضيات يك مارپيچ صحيح محسوب نمي‌شود (چون اين مارپيچ از اجزايي تشكيل شده كه قسمتهايي از دايره مي‌باشد و مقياس انها كوچك وكوچكتر نمي شود) اما مي‌تواند تشبيه خوبي براي نوعي از مارپيچ ها كه اغلب در طبيعت يافت مي‌شود، باشد. چنين مارپيچ هايي به شكل صدفهاي حلزونها و صدفها دريايي ديده مي شود، و همانطوري كه بعداً خواهيم ديد، اين مارپيچ در ترتيب بندي بذرها و دانه هاي گياهان گلدار هم ديده خواهند شد. مارپيچ‌هاي شكل گرفته در مربع‌ها كه باعث بوجود آمدن يك خط از مركز مارپيچ مي‌شوند توسط يك فاكتور عدد طلايي در هر مربع افزايش پيدا مي‌كند. بنابراين نقاط موجود بر روي مارپيچ ها، اغلب بعد از
گردش كه يك چهارم مربع را اشغال مي‌كند. 618/1 برابر دورتر از مركز قرار مي‌گيرند. در تمامي يك گردش، نقاط موجود بر روي شعاع خارج از مركز 854/6= 6184/1 بار دورتر از هنگامي است كه آخرين منحني از همان خط شعاعي عبور مي‌كند. رولت گاندي, ( در كتاب مدلهاي رياضياتي، تاليف دوم سال 1961 ، 70 صفحه) مي‌گويند كه اين مارپيچ‌ها در صدفهاي حلزون و بوته‌هاي گل اتفاق مي‌افتد. رشد اين گلها به مطالعات مربوط به تامسون ارجاع داده مي شود. در اينجا تامسون نه تنها در مورد صدفهايي كه عامل گشترش «في» بهمراه دارند صحبت مي‌كند بلكه در مورد سطح مارپيچ هاي همراه با عامل گسترش دائمي در امتداد يكخط مركزي،توضيحي مي‌دهد. در شكل تصاوير از برش‌هاي عرضي يك صدف دريايي متعلق به ناتيلوس نشان داده مي شود. آنها منحني مارپيچي صدف و محفظه‌هاي دروني اين حيوان كه با استفاده از ان به رشد خود ادامه‌ميدهد، را نشان مي‌‌دهند. يك خط از مركز آن به خارج در هر مسيري بكشيد و دو مكاني را پيدا كنيد كه صدف از آن عبور كند. نقاط عبوري خارجي حدوداً 6/1 برابر دورتر از مركز به عنوان نقطه دروني بعد بر روي خطي كه صدف از آن عبور مي‌كند، خواهد بود. اين نشان مي‌دهد که اين صدف توسط يک عامل «نسبت طلايي» در يک گردش، رشد کرده است.
بر مبناي شکل نمايش داده شده در اينجا اين عامل (يعني نسبت طلايي) از 6/1 تا 9/1 تنوع پيدا مي کند و ممکن است به واسطه اينکه اين صدف دقيقاٌ در امتداد مرکز بريده نمي شود، برش عرضي ايجاد مي شود. يعني توسط اين برش بتوان به ميزان دقيق محاسبات پرداخت.
منحني اين صدف «هم زاويه» يا «مارپيچ هاي لگاريتمي» ناميده مي شود. اگرچه «عامل رشد» ممکن نيست که هميشه «نسبت طلايي» باشد، ولي اين نوع منحني ها در طبيعت معمول و متداول مي باشند.
يك برش از ميان صدف يك حلزون ناتيلوس.
در اينجا منحني‌اي وجود دارد كه از محور X در اعداد فيبونانچي مي‌گذرد. بخش مارپيچ از نقاط… ،13،5،2،1 بر روي محور مثبت و از نقاط … ،8،3،1،5 بر روي محور منفي مي‌‌‌گذرد.بخش نوسازي از0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، … بر روي محور مثبت مي‌‌‌گذرد. اين منحني بطور عجيبي ، يادآور صدفهاي حلزون ناتيلوس و حلزون معمولي است. اين امر به اين علت كه منحني‌ها تمايل به مارپيچهاي لگاريتمي دارند، تعجب بر انگيز نيست.
اعداد فيبوناچي و گياهان
1-3- مقدمه
داستان اعداد فيبوناچي درگياهان ، يك داستان هيجان انگيز مي‌باشد. آن مي‌تواند به عنوان سمبلي براي تعداد زيادي از پديده‌هايي كه در فرم‌هاي زندگي بايد اتفاق بيافتد ، تلقي شود. آن امتياز دارد كه بيشتر ما مي‌توانيم دليل پايه‌اي آنرا بفهميم ، جايي كه حتي چيزي به مشخص پرواز حشرات معمول هنوز حتي بوسيله‌ي متخصصان ، خوب فهميده نشده است .
شبيه بسياري ديگر از موضوعات ديگري كه ما همه‌ي آنها را جالب مي‌دانيم طبيعت داراي بسياري از سطوح مي‌باشد . حتي در ساده ترين شكل حيات ، بسياري از تركيبات براي ايجاد چيزي كه بهترين انتخاب قديمي بين بسياري از نيازمندي‌هاي توافق ، باز مي‌شوند، بنابراين چيزهايي كه ما مي‌توانيم براحتي مشاهده كنيم‌، فقط تركيب‌هاي ظاهري مي‌باشند . امّا ما مي‌توانيم مطمئن باشيم كه طبيعت در همه‌ي راهها ، پاك و زيبا مي‌باشد .
در يك مجموعه‌ي شكل‌هاي زندگي، هزاران تركيب مختلف ، در طي ميليون‌ها سال براي ايجاد چيزي كه اخيراً مي‌بينيم ، خلاصه شده‌اند. با توجه به اينكه احتمالاً دهها ميليون گونه وجود داشته‌اند، دانشي كه ما داريم ، مي‌تواند فقط حاكي از همه‌ي آنها باشد.
آن شبيه وقتي است كه ما در گالري هنري تاريك و عظيمي در حال تماشاي تصاوير بسيار بزرگ ، فقط با يك بسته كبريت براي روشنایي هستيم . تفاوت اين است كه ما باور داريم كه همه‌ي نظرهاي اجمالي ما ، مي‌تواند به طور عمده بوسيله‌ي چند ايده‌ي ساده شرح داده شود، حتي با وجود اينكه در بساري زمينه‌ها ما هرگز نمي‌دانيم كه چگونه اتفاق افتاده است .
اينها ، اعداد تصادفي نيستند ، آنها اعضايي از توالي پيوسته هستند .
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
233 377 610 987 1597 2584 4181 و غيره.
اين توالي تحت عنوان در سري هاي فيبوناچي شناخته شده‌اند و درعلم رياضيات معروف مي باشند .
هر عدد ، حاصل جمع دو عدد قبلي است. نسبت جفت‌هاي متوالي به طرف‹مرحله طلايي› (GS)گرايش مي‌يابد . 618033989/1 كه متقابلاً 618033989/0 مي باشد ، كه بنابراين داريم : .
گياهان اين موضوع را نمي دانند ، آنها فقط تا حد كافي رشد مي كنند . گياهان ، اعداد فيبوناچي را در نظم و ترتيب برگهايشان روي ساقه نشان مي دهند . بيشتر ميوه‌هاي مخروطي شكل ، اين اعداد را نشان مي دهند ، همانطوري كه گل آفتابگردان و گل مرواريد نشان مي‌دهند .گل هاي آفتابگردان مي توانند عدد 89 و حتّي 144 را دارا باشند. بسياري از گياهان آبدار و شاداب ديگر مانند سبزيجات و صيفي جات نيز اعداد را نشان مي‌دهند . بسياري از درختاني كه ميوه‌ي مخروطي دارند ، اين اعداد را در اثر ضربات شديد روي تنه‌شان نشان مي دهند ونخل هاي خرما اين اعداد را روي نوارهايي روي تنه شان نشان مي دهند .
چرا اين نظم و ترتيب وجود دارد ؟ در زمينه‌ي ترتيب قرارگيري برگ و آرايش برگي ، بسياري از زمينه ها ممكن است با حداكثر كردن فضا براي هر برگ و يا ميانگين پهنا و وزن ، مربوط باشد در مورد برگهاي به هم پيچيده شده در كلم و صيفي جات و سبزيجات ، يك نظم درست ممكن است براي وجود فضا بسيار تهديد كننده و سفت باشد .
اين موضوع در كتاب‹ الگوهاي طبيعت › از پيتر استيونس ، و همچنين جديداً در كتاب ‹رازهاي ديگر طبيعت› از يان استيووارت، به خوبي شرح داده شده است . شما مي توانيد به كتاب قديمي تر ‹راجع به رشد و كشاورزي› از دي آركي تامبسون ، در اين زمينه مراجعه كنيد .
بنابراين طبيعت در حال تلاش براي استفاده از اعداد فيبوناچي نمي باشد . آنها بوسيله‌ي توليد و ايجاد پروسه هاي فيزيكي عميق تر در حال نمايش آن مي‌باشد . آن دليل كامل نبودن چرخش‌ها مي باشد . گياه در حال پاسخگويي به اضطرارهاي فيزيكي مي باشد نه به قوانين رياضي .
2-3- مخروط هاي کاج
مخروط هاي کاج بطور واضح مارپيچ هايفيبوناچي را نشان مي دهند. در اينجا تصور از يک مخروط کاج معمولي وجود داد بطوري که اين تصوير قسمت پايه کاج که دم آن در اين محل به درخت متصل مي شود را نشان مي دهد.مي توان گفت: خط هاي موجود بر روي کاج، خط هايي مي باشند که در اتصال با مرکز هر بخش مخروط کاج، قرار مي گيرند.
با وجود اندازه الگوهاي كاجهاي مخروطي شكل و الگوهاي دانه گلهاي آفتابگردان و حتي با وجود برآمدگيهاي موجود بر روي آناناسها ، چيزي نسبتاً متفاوت داريم.
اندازه موقعيت دانه‌هاي يك كاج مخروطي شكل ، واقعاً برگها، انباشتگي آنها روي هم و تماس آن با يك ساقه كوتاه را به مقدار كم تعديل مي‌‌دهد. در اينجا نسبتها را همانند آنچه كه در برگهاي حقيقي شبيه به آن اتفاق
افتاد ،يافت نمي‌كنيم. بهر حال ،مي‌توانيم دو آرايش و ترتيب بندي چشمگير را در زمينه بالا رفتن رشد مارپيچها به سمت بالا از نقطه‌اي كه به شاخه متصل مي‌‌‌شود را مورد بررسي قرار دهيم.
در كاج مخروطي شكل ، هشت مارپيچ مي‌تواند به شكلي ديده شود كه به سمت بالاي مخروط و در جهت عقربه‌هاي ساعت در حال بالا رفتن هستند.
در حاليكه 13 مارپيچ به حالت شيب دارتري در خلاف جهت عقربه‌هاي ساعت به سمت بالا مي‌‌‌‌روند.
مطالب مربوط به امارهاي فيبوناچي در گياهان مخروطي فصل نامه فيبوناچي جلد 7 منتشر شده در سال (1969) – تعداد صفحات بين 525 تا 532.
گهگاه کاج هاي مخروطي را خواهيد يافت که عدد فيبوناچي مربوط به مارپيچ ها در يک يا هر دو جهت آن بکار نرفته است. گاهي اوقات، اين گياه به واسطه بيماري يا شته ها و حشرات دچار از ريخت افتادگي مي شود، اما در بعضي مواقع هم اين مخروط ها بسيار معمولي و سالم بنظر مي رسند. اين مقاله تحقيقات و مطالعات مربوط به اين مطلب و مطلبهاي ديگر، در يک مجموعه بزرگ از انواع مختلف مخروطهاي کاج کاليفرنيائي را گزارش مي دهد. اين مولف همچنين دريافته است که مخروطهاي زيادي هم وجود داشته اند که مارپيچ هاي آن در جهت چپ بيشتر از راست آن شکل گرفته اند.
اعداد فيبوناچي مخروطها:
بيشتر… 987- 610- 377- 233- 144- 89- 55- 34- 21- 13- 8- 5- 3- 2- 1- 1- 0
3-3- آناناس
اندازه‌هاي آناناس هم بر حسب مارپيچها ، الگوبندي مي‌شود
و چونكه آنها از نظر شكل ، بصورت شش ضلعي‌ها زبر و خشن هستند ، از نظر مارپيچي ،سه نوع چيدمان متمايز ممكن است در آن مشاهده شود.
يك چيدمان به اين صورت است كه 5 مارپيچ در يك زاويه كم عمق به سمت راست به طرف بالا مي‌‌‌‌‌روند
و دومين چيدمان به اين صورت است كه 8 مارپيچ بطور شيب دارتري به سمت
چپ بطرف بالا مي‌‌روند
و سومين چيدمان به اين صورت است كه 13 مارپيچ خيلي شيب دار به سمت راست بطرف بالا مي‌روند.
4-3- موز و سيب :
مي‌‌‌توانيم حضور نظم و ترتيب اعداد فيبونانچي را در درون ميوه بسياري از گياهان مشاهده كنيم. موزي را از وسط برش زديم وهمانطوركه مشاهده مي‌كنيد داري سه بخش مي‌باشد ‌‌و همين كار را براي سيب انجام مي‌دهيم مشاهده مي‌كنيم كه داراي 5 بخش مي‌باشد.
5-3- كلم و كلم بروكلي
اين عكس تصويري از يك گل كلم معمولي است. توجه كنيد كه اين گل كلم تقريباٌ به شكل يك پنج ضلعي در آمده است. اگر با دقت به تصوير نگاه كنيد ، مي توانيد نقطه مركزي آنرا كه گلهاي كلم به كوچكترين حد مي رسند را مشاهده كنيد. دوباره نگاه كنيد ، خواهيد ديد كه اين گل ها به شكل مارپيچ در اطراف اين مركز و در هر دو جهت آن ، نظم يافته اند. آيا مي توانيد بگوئيد كه تعداد اين مارپيچ ها در گل كلم چندتا است ؟ همانطوري كه در شكل مي بينيد اگر در جهت عقربه هاي ساعت حركت كنيم تعداد مارپيچ ها 5 مي باشد و اگر در خلاف جهت عقربه هاي ساعت حركت كنيم تعداد مارپيچها8 مي باشد.
همان طور كه مشاهده مي كنيد اينها اعداد تصادفي نيستند اينها اعداد فيبونانچي هستند.
اين تصوير شكل يك نوع كلم است كه بنظر مي رسد از پيوند گل كلم با كلم بروكلي بوجود آمده ، همچنين طعم اين كلم چيزي بين گل كلم و كلم بروكلي مي باشد. هر يك از گلهاي (كلم) اين گياه به شكل نوك تيز در مي آيند و بسيار عيني و مشهود مي باشند اما مدل آنها در تمامي قسمتهاي كلم كوچك مي باشد يعني اينكه اندازه تمامي گلها يكسان است. در نتيجه اين امر باعث مي شود كه مارپيچ هاي بوجود آمده در آن به آساني ديده شود. آيا مي توانيد بگوئيد تعداد مارپيچ هاي اين گل كلم در هر جهت چند تا است ؟
همانطوريكه كه در تصوير مي بينيد تعداد مارپيچ ها21 مي باشد.
6-3- بخش فوقاني گلهاي تخمدار
تصوير بعدي ، هر دانه( برگ )را بوسيله‌ي يك دايره نمايش مي‌دهد .
هر مركز بعدي بوسيله‌ي يك خط قرمز متصل شده است . رنگها همراه بزرگ شدن اعداد تغيير مي‌كنند، البته براي نشان دادن توالي ، اگر ما مراكز بيشتري را اضافه كنيم ، چه اتفاقي مي‌افتد؟ مي‌توانيد حدس بزنيد تصوير بعدي را نگاه كنيد،
اگر اين اتفاق بيفتد ، شما براي جواب دادن محدود هستيد .
بنابراين در دو نمودار بعدي، زاويه‌ي بين برگهاي متوالي از زاويه‌ي طلايي بوسيله بعلاوه 1/0% و منهاي 1/0 به ترتيب ، يابوسيله ي فاكتورهاي 001/1 و 999/0 تغيير كرده است .
به طور مشخص تصویر اولی بیشتر شبیه میانه ی یک گل مروارید یا یک گل افتابگردان می باشد. گياهان از زاويه‌ي طلايي ، نه براي اينكه يك فيلسوف ، يك رياضيدان يا يك مجال پرست هستند ، بلكه بدليل اينكه آنها را در كوچكترين فضا بسته بندي مي‌كند ، استفاده مي‌كنند .
نمودار بعدي ، بيشتراعدادي كه به ما اجازه‌ي شمردن و حساب كردن دانهها( برگها) را تا جائي كه امكان دارد ، شامل مي‌شود .
براي مثال از 200 شروع كنيد و دايره‌وار آنها را پي بگيريد .

اگر ما از دايره‌ي 200 شروع كنيم ، و به سوي دايره‌هاي آشكار در دو موقعيت برويم، سري‌هاي زير را مي‌بينيم :
اينها به ترتيب توالي‌ها حسابي با پله‌هاي 34و21 هستند ، كه هر دوي آنها ، اعداد فيبوناچي مي باشند.
شمارش فيبوناچي در آرايش و ترتيب بندي دانه ها بر روي بخش فوقاني گل ها هم کاربرد دارد يعني اينکه اين شمارش در آرايش بندي دانه هاي گلها هم تاثير دارد. تصويري که در اينجا نشان داده مي شود عکس گل
مخروطي شکل زيبائي از تام استون مي باشد در اينجا، به منظور بررسي، مورد استفاده قرار مي گيرد. اين بخش از گل نشان داده شده در تصوير، در اين شماء حدودا 3 سانتي متر مي باشد. اين گل عضوي از خانواده گل مينا با اسم علمي Echinacea purpura است و بومي دشتهاي ايالت ايلينويز امريکا مي باشد و در آنجا زندگي مي کند.

در اين گل مي توانيد ببينيد که شکل مارپيچ گلبرگ هاي نارنجي آن، در هر دو سمت گل، يعني هم به طرف راست و هم به طرف چپ، حالت منحني پيدا مي کند. در لبه هاي عکس، اگر آن مارپيچها را از سمت راست گل، همانطوري که بطرف خارج آن مي رويد، بشمريد، 55 مارپيچ وجود دارد. اگر کمي بيشتر به طرف مرکز گل نگاه کنيد، تعداد اين مارپيچها 34 تا مي شود. حال اين سوال به وجود مي آيد که از جاهاي ديگر گل و به روش هاي ديگر مارپيچ ها را شمارش کنيد، چند مارپيچ در اين گل وجود خواهد داشت؟ البته خواهيد ديد که جفت از اين تعداد ( با احتساب منحني سمت چپ و منحني سمت راست) مارپيچ ها نزديک و در مجاور عددهاي فيبوناچي ميباشد.
در يك نماي بسته آرايش گلهاي كوچك در مركز يك غنچه گل مينا را مشاهده مي‌كنيد.
مي‌‌توانيم اين پديده را تقريباً در شكل دو بعدي آن ببينيم.
21 مارپيچ در خلاف عقربه‌هاي ساعت ديده مي‌شود.
34 مارپيچ لگاريتمي يا هم زاويه در اين جهات ديده مي‌شوند. در هر گل مينا ، تركيب مارپيچهاي جهت عقربه‌هاي ساعت ، عموماً مركب هستند از توالي مربوط به اعداد فيبونانچي.
ا- لبه هاي يک گل آفتابگردان
2- در واقع در سمت چپ اين گل 55 و 89 مارپيچ قرار دارد.
همين پديده در بسياري از گلها و گياهان ديگر در طبيعت هم اتفاق مي افتد. دليل اينکه به اينصورت به نظر مي رسد اين است که اين قرارگيري و آرايش يک شکل بهينه و مساعد براي دانه ها به شمار مي رود، بطوري که هيچ مشکلي وجود ندارد که اندازه بخش فوقاني بزرگ باشد يا کوچک، بلکه آنها يک گروه متحدالشکل و يکساني هستند که در يک مکان در کنار هم آرايش مي يابند. تمامي دانه ها به يک اندازه بوده و به اينصورت نيست که در مرکز يا در لبه هاي بخش فوقاني گل بيشتر متمرکز شده باشند بلکه بطو يکسان در همه جاي آن پراکنده مي شوند. اين مارپيچ ها الگوهايي هستند که با چشم ديده مي شوند، همچنين مارپيچ هاي
منحني تر در نزديک مرکز ظاهر مي شوند و مارپيچ هاي صافتر (و بيشتر مارپيچ هاي ديگر) هر چه از مرکز دور شويم، و به لبه هانزدیک شویم بيشتر نمايان مي گردند.
بنابراين تعداد مارپیچها( حلقه هايي) که ما مي بينيم، در هر راستا، در بخش هاي فوقاني گل هاي بزرگتر متفاوت از گلهاي کوچکتر مي باشد. بر روي بخش فوقاني گل بزرگ هر چه از مرکز دور مي شويم يعني در لبه ها مارپيچ هاي بيشتري را نسبت به مرکز اين بخش مشاهده مي کنيم. تعداد مارپيچ ها در هر راستا يا مسير (تقريبا هميشه) نزديک به اعداد فيوبانچي مي باشد.
اندازه هر دانه جديد از آخرين دانه در طي يک چرخش فقط (618/0 في) مي باشد. (يا از نظر معادلاتي، 618/1 في در هر چرخش دانه وجود دارد). اين نشان مي دهد که هيچ مشکلي وجود نداد که بخش فوقاني گل چه اندازه است بلکه مهم اين است که دانه ها هميشه بطو مساوي در کنار هم قرار داده مي شود. در تمامي اين مراحل، مارپيچ هاي تشکيل شده بر مبناي اعداد فيبوناچي مي تواند ديده شود.
همين الگوي ارائه شده توسط کله ها (دانه ها) ادامه پيدا مي کند، مشروط بر اينکه اين کله ها به برگها يا شاخه ها و يا گلبرگ ها گسترش پيدا کند. هر کله تنها به طور مستقيم از مرکز ساقه در امتداد يک خط راست خارج شده و تغيير مکان مي دهد.
اين فرآيند هنگامي که راس رويش دانه ها را در يک مدل مارپيچي توليد مي کند، آنچه که در طبيعت اتفاق مي افتد را سرمشق قرار داده و آنرا مدل سازي مي کند. تنها منطقه فعال گياه، منطقه راس رويش محسوب مي شود و همچنين دانه ها هنگاميکه بزرگتر شدند. بهتر نمايان مي شوند.
توجه فرمائيد که شما هميشه اعداد فيبوناچي را در تعداد گلبرگ ها يا مارپيچ ها بر روي بخش فوقاني دانه‌دار گل ها و غيره پيدا نخواهيد کرد. اگر چه تعداد آنها اغلب نزديک به اعداد فيبوناچي مي باشد ولي هميشه تعداد آنها برابر با اعداد فيبوناچي نيست.
7-3- ترتيب بندي در شاخه ها
گياهان شاخه دار و انشعابي هم اعداد فيبونانچي را نشان مي‌‌دهند.اين طرح بهترين هم سازي فيزيكي براي تعداد شاخه‌ها ، هنگاميكه در معرض نور خورشيد قرار دارند را فراهم مي‌‌‌آورد.
يک گياه به خصوص شمارش فيبوناچي را در تعداد «نقاط رشدي» که دارد، نشان مي دهد. فرض بر اين است، هنگاميکه يک گياه، جوانه جديد در آن مي رويد، آن جوانه مي بايست قبل از اينکه به اندازه کافي محکم شود و بتواند شاخه ها را تحمل کند، دو ماه بايد رشد کند. اگر اين گياه هر ماه بعد از مرحله رشد، انشعاب پيدا کرده و شاخه دار شود، تصويري همانند تصوير نشان داده شده خواهد داشت. گياه «سني زورت» گياهي است که رشدي شبيه رشد اين چنيني دارد.
رابطه بين اعداد فيبونانچي و گياهان ، محصور به تعداد گلبرگها نمي‌شود. در اينجا نمايي از يك گياه ساده بنام سني زورت نشان داده مي‌‌شود. جوانه‌هاي جديد ، بطور معمول خارج از يك محور ، در نقطه‌اي كه برگها از ساقه اصلي گياه مي‌‌رويند، رشد مي‌كنند.
اگر چند خط افقي در موازات محور رسم كنيم مي‌‌توانيم مراحل آشكار رشد را در گياه مورد بررسي قرار دهيم. ساقه اصلي در آغاز هر مرحله جوانه‌هاي شاخه‌ها را توليد
مي‌كند. جوانه‌هاي انشعابي در طي دو مرحله ابتدايي به استراحت مي‌‌پردازندو سپس ، جوانه‌هاي انشعابي جديد را در آغاز هر مرحله بعدي توليد مي‌كنند. همين قانون براي تمامي شاخه‌ها و انشعابات كاربرد دارد.
از آنجائي كه اين الگوي رشد ، رشد خرگوشها در شكل قديمي فيبونانچي را منعكس مي‌كند، در نتيجه مي‌تواند زياد تعجب برانگيز باشد بنابراين تعداد شاخه‌ها و انشعابات در هر مرحله رشد يك عدد فيبونانچي اطلاق مي‌شود.
علاوه بر اين تعداد برگها در هر مرحله يك عدد فيبونانچي خواهد بود.
همانطور كه مشاهده مي‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌كنيد در ابتدا يك شاخه داريم ،در مرحله اول دو شاخه داريم ،در مرحله دوم 3 شاخه و در مرحله سوم 5 شاخه داريم و به همين صورت دنباله‌اي از اعداد فيبوناچي ايجاد مي‌شود.
نوع رشدي كه در درخت سني زورت نشان مي‌دهد ،در رشد درخت ساده هم اتفاق مي‌افتد،هر مرحله رشد به مدت يكسال بطول مي‌انجامد. همانطور كه مشاهده مي‌‌كنيم در مرحله اول تنه اصلي يا شاخه اصلي وجود دارد و در مرحله دوم اولين شاخه جديد ايجاد مي‌شود كه در كل 2 شاخه داريم و در مرحله سوم 3 شاخه و به همين صورت دنباله‌هايي از اعداد فيبوناچي ايجاد مي‌شود.
8-3- نخل خرما

اين تصوير به طور كاملاً ابتدايي نشان مي‌دهد كه چگونه برگهاي يك نخل خرما از بالا رشد مي‌كنند و به آرامي حركت به بيرون مي‌كنند . همانطوري كه تنه رشد مي‌كند . دريك نقطه‌ي مشخص آنها مي‌ميرند، كه در تنه حلقه مي‌زنند كه قديمي ترين آنها به زمين نزديك‌تر است .
وضعيت هر برگ بوسيله‌ي يك قسمت عريض تر در ترك روي تنه ثبت مي‌شود. وضعيت اين قسمتهاي عريض تر ابتداد تصادفي به نظر مي‌رسند، امّا در معاينه شما مي‌توانيد ببينيد كه آنها تمايل دارند به دنبال هم بيايند شبيه آن نمودار از هر N مين برگي كه در بالا نشان داده شده است.
مانند زخم‌ها و شكافهاي روي تنه درخت ، اين وضعيتها هم بدون تفسير هستند. اما اثر باقيمانده از رشد برگها براي بيشترين فضا پيام مشخص دارد.
در تصوير پايين در سمت چپ ، پيام فضا گذاري 5 و 8 ثبت شده است . در تصوير سمت راستي 5 ، 8 ، 13 ، 21 ثبت شده اند . در نمودار حساب شده ، تغييرات با آنها هماهنگ مي‌باشد .

نمودار بعدي يك شبيه سازي از قسمتي از تنه‌ي يك نخل خرما مي‌باشد . جدا از اعدادي كه براي تعيين عرض تنه و فضاهاي حلقه‌ها نيازمي‌باشد ، تنها پارامترهايي كه استفاده مي شوند ، زاويه‌ي طلايي و موقعيت مارپيچ‌ها مي‌باشد . مناطق تاريك تنه درخت را نشان مي دهد و منطقه كم رنگ زخم يا اثر برگها را نشان مي دهد.
9-3- ترتيب بندي هاي برگ
همچنين، بسياري از گياهان، شمارش فيبوناچي را در ترتيب بندي برگها در اطراف ساقه هايشان، نشان مي دهند. اگر به پائين يک گياه نگاه کنيم، برگها طوري بر روي ساقه قرار مي گيرند که برگهاي بالايي، برگهاي پائيني را پنهان نمي کند. اين بدان معني است که هر گياه سهم خوبي از نور خورشيد را دريافت کرده است و اکثر بارانهاي باريده شده را جذب مي کند و به ريشه خود انتقال مي دهد. اين امر باعث مي شود که برگها کمي سر پائين شوند و منظره زيبايي به گياه بدهند. اين شکل يک تصوير ايجاد شده توسط کامپيوتر، بر مبناي يک نوع گياه بنفش آفريقايي مي باشد که برگهاي بسيار زيادي دارد.
برگها در هر چرخش
اعداد فيبوناچي زماني اتفاق مي افتد که تعداد دفعاتي را که به دور ساقه مي چرخيم، يا از يک برگ به برگ ديگرمي رويم را شمارش کنيم. و همنچنين برگهايي را که به طور مستقيم در بالاي برگ اوليه قرار مي گيرد را هم بشماريم. اگر با يک دستورالعمل ديگر ، شمارش را انجام دهيم، عدد بدست آمده از گردش برگها متفاوت خواهد شد.
نمودارهاي كلي سني زورت و درختي ارائه شده است چنانچه گوئي اين گياه‌ها صاف بودند، نمودار رشدي كه منجر به اعداد فيبونانچي مي‌شود را به تصوير مي‌كشد ، اما ويژگيهاي اكثريت گياهاني را كه برگها و جوانه‌هاي مارپيچي متوالی در اطرف ساقه اصلي ، همانند مراحل متوالي ، رشد مي‌‌كنند را سركوب مي‌‌كند. اگرتوجهمان را بر روي بعضي برگهاي موجود در پائين يك ساقه ثابت كنيم ، متوجه مي‌‌‌شويم كه در هر نقطه يك برگ وجود دارد.‌‌
اگر اولين برگ موجود بر پايه ساقه را صفر قلمداد كنيم … و برگهاي بالايي ساقه را بشمريم تا به برگي برسيم كه مستقيماً در بالاي برگ اولي قرار دارد ، شماره و تعدادي را كه بدست مي‌‌آوريم عموماً مربوط به اعداد فيبونانچي مي‌باشد.
دوباره همانطوري كه ساقه را پرورش داديم ، اجازه دهيد تعداد
دفعات تكامل آنرا شمارش كنيم.
اين عدد هم بطور كلي بر حسب توالي فيبونانچي مي‌باشد.
تعداد گردش ها در هر مسير و تعداد برگها، بر اساس 3 عدد متوالي فيبوناچي تنظيم مي شوند. براي مثال، در تصوير گياه نشان داده شده، ما 3 چرخش در جهت عقربه هاي ساعت داريم، بطوري که قبل از اينکه يک برگ بطور مستقيم در بالاي اولين برگ قرار گيرد، در مسير خود از 5 برگ عبور مي کند. اگر در جهت خلاف عقربه هاي ساعت در اين گل نگاه کنيم، تنها نياز به 2 چرخش خواهيم داشت. توجه کنيد که اعداد 2، 3 و 5 اعداد متوالي فيبوناچي هستند.
در مورد گياه نشان داده شده در اين صفحه 5 چرخش در جهت عقربه هاي ساعت داريم که از 8 برگ عبور مي کند، يا در جهت خلاف عقربه هاي ساعت تنها 3 چرخش در اين گل وجود دارد. در اين زمان، اعداد 3، 5 و 8 اعداد
متوالي و پشت سر هم در توالي فيبوناچي به شمار مي روند. مي توانيم توالي اين گل را همانطوري که براي گل قبلي ذکر شد، بنويسيم. چرخش در جهت عقربه هاي ساعت در هر برگ ( يا براي جهت عکس عقربه هاي ساعت). براي دومين گياه اين توالي يک چرخش در هر برگ ( يا ) مي باشد.
گل آفتابگردان اينجا، هنگامي که از بالاي آن ديده مي شود، همين الگو را نشان مي دهد. اين گل يک گياه مشابهي است که نماي ظاهري آن از بالا ديده مي شود. با علامت گذاي کردن «X» بر روي برگهاي اوليه، به چرخش برگهاي پائيني بعدي که در جهت عقربه هاي ساعت مي گردد، پي خواهيم برد. شمارش برگها، اين الگوها را توليد مي کند در اينجا نشان داده مي شود. خواهيد ديد که سومين برگ و پنجمين برگ نزديکترين برگهاي بعدي در زير برگ اوليه هستند و همچنين نزديکترين برگهاي بعدي بعد از اين برگها، هشتمين برگ و سپس سيزدهمين برگ مي باشد. تعداد گردش هايي که در هر برگ رخ مي دهد، چند تا مي باشد؟
اين الگو در هر ستون بر اساس اعداد فيبوناچي ادامه مي يابد.
طرز قرارگيري برگ در بعضي از گياهان معمول
يک تخمين اين است که 90 درصد تمامي گياهاني که اين الگو را در طرز قرارگيري برگ نشان مي دهند، در بردارنده اعداد فيبوناچي مي باشند.بعضي از درختان معمول با طرز قرارگيري برگ براساس اعداد فيبوناچي، عبارتند از:
توالي درخت نارون، گياه زيرفون ، ليمو ترش ، علف ها
توالي درخت راش، درخت فندق ، علف ها، توت سياه
توالي درخت کاج ، درخت توت، درخت سيب، درخت راج، درخت آلو
توالي درخت صنوبر، گل رز، درخت گلابي، درخت بيد
توالي درخت بيدمشک ، درخت بادام
گياهان 8 برگ :
ترتيب بندي برگها در نمونه‌هايي كه نشان داده شده مي‌تواند بصورت يك نسبت بيان شود. تعداد برگها در نمونه‌هاي گياهي ما“ 8“ است‌.
8 برگ ، 5 چرخش به دور محور : و تعداد چرخشها به دور محور “5“ است.‌
8 برگ ، 5 چرخش به دور محور نسبت : گفته مي‌شود نسبت چيدمان برگ است. هر گونه گياهي توسط نسبت چيدمانش شناخته مي‌شود. تقريباً هميشه اين نسبتهاي بوجود آمده نسبتهاي مربوط به توالي و تناوب اعداد فيبونانچي مي‌باشد.
10-3- ترتيب بنديها در گلبرگ ها
احتمالاً اكثر ما وقتي را صرف نكرده‌ايم تا با دقت زياد به تعداد و ترتيب بندي گلبرگها بر روي گل توجه كنيم. اگر چنين كاري را انجام دهيم ، خيلي چيزها آشكار خواهد شد. در ابتدا، مي‌‌بايست بفهميم كه تعداد گلبرگها بر روي يك گل ، اغلب يكي از اعداد فيبونانچي است.
گلبرگ هاي موجود بر روي گل ها
در بسياري از گياهان، تعداد گلبرگ ها بر اساس شمارش فيبوناچي تعيين مي گردد:
آلاله ها، 5 گلبرگ دارند؛ بعضي از گل هاي مينا 21 گلبرگ در حاليکه در بعضي ديگر از آنها مي تواند 34 ، 55 يا حتي 89 گلبرگ را ديد.
يك سوسن سفيد تك گلبرگ را نشان مي دهد.
مي توان گفت گل هاي دو گلبرگه ، زياد نيستند.
گلهاي سه گلبرگه بسيار زياد مي باشند. مثل تري ليوم
سوسن
مارك تايلور (استراليايي)، پرورش دهنده گل هاي ليليوم و سوسن، خاطر نشان کرد، اگر چه اين گل ها – همانطوري که در شکل نشان داده شده – بنظر مي رسد که 6 گلبرگ دارند، در حقيقت 3 تاي آنها کاسبرگ
و 3 تاي ديگر گلبرگ مي باشند. کاسبرگ ها در هنگام غنچه بودن گل، از آن حفاظت مي کنند و به عنوان محافظ خارجي گل محسوب مي شوند.
– گل هاي داراي چهار گلبرگ:
گياهان بسيار کمي در طبيعت وجود دارد که 4 گلبرگ ( يا کاسبرگ) داشته باشند اما بعضي از آنها مثل گل، گل آويز، که شکل آن در بالا (سمت چپ) نشان داده شده داراي 4 گلبرگ مي باشند. عدد 4 جزء شمارش فيبوناچي محسوب نمي شود!
صدها گونه گل وجود دارد كه هم از نوع وحشي هستند و هم كاشته شده و داراي پنج گلبرگ مي باشند. مثل كلوم باين. آلاله، رز وحشي ، گل زبان درقفا ، گل تاج الملوک (آکوئي لجيا) ، گل قرنفل ( شکل اين گل در بالا نشان داده شده است).گل آلاله به شکل چند گلبرگي ، به عمل آورده مي شود.
گلهاي داراي هشت گلبرگ ، زياد به اندازه گلهاي پنج گلبرگ در طبيعت يافت نمي شوند، اما گونه هاي كاملاٌ شناخته شده اي هم در طبيعت وجود دارد كه داراي هشت گلبرگ مي باشند. مثل بلودروت ، گل زبان در قفا.
اين شكل يك گل داراي 13 گلبرگ ، بنام سوسن چشم سياه است.و از ديگر گلهاي داراي سيزده گلبرگ مي توان به گل رگ ويد يا پيربهار ( بومي امريکا) – گل هميشه بهار – سينره – و بعضي از گلهاي مينا اشاره كرد.
گلهاي داراي بيست و يك گلبرگ و سي و چهار گلبرگ هم كاملاٌ در طبيعت متداول مي باشند. مثل گل ستاره اي – سوسن دور سياه – کاسني.
حلقه خارجي آرايش گلها در خانواده گلهاي مينا ،توالي بينهايت مرتب و زيباي اعداد فيبونانچي را به نمايش مي‌‌گذارند. گلهاي ميناي داراي 13،21، 34،55 يا89 گلبرگ در طبيعت بسيار زيار مي‌باشند. اين شكل يك گل مينا 21 گلبرگ را نشان مي‌دهد.
بطور معمول گلهاي ميناي مزرعه‌اي 34 گلبرگ دارند. و اغلب در مواقعي كابرد دارد كه شخص مي‌خواهد با آن به نوعي بازي كند و از ميزان عشق طرف مقابل به خود مطلع شود ، دانه دانه گلبرگها را پر پر مي‌كند و به ازاي هر گلبرگ مي‌‌‌گويد« او مرا دوست دارد» و گلبرگ بعدي «او مرا دوست ندارد» تا اينكه به آخرين گلبرگ رسيده و به نوعي به حقيقت پي مي‌برد. در گفتن اينكه گلهاي مينا 34 گلبرگ دارند ، ممكن است فردي آن را به تمام گونه‌ها كليت دهد ـ اما هر جزء مجزا از گونه ممكن است از اين الگوي كلي تخطي كند.
يك احتمال بيشتر در مورد گلهاي در حال رشد نسبت به گلهاي رشد يافته وجود دارد ، بطوري كه گلهاي داراي 34 گلبرگ در طبيعت متداول تر از گلهاي داراي 35 گلبرگ هستند. « 33 گلبرگ درحال رشد است و 35 گلبرگ رشد يافته است ».
– گلهاي داراي 55 ، 89 گلبرگ:
گل مينا مايکل ماس ( بومي ) – خانواده گلهاي ستاره اي
الگوهاي عددي فيبونانچي ، بطور مكرر در طبيعت اتفاق مي‌افتد كه ما اغلب از اين پديده‌ها كه به “ قانون طبيعت “ برمي‌گردد ، باخبر هستيم. هم گلهاي چهار گلبرگي همانند شبدر 4 برگي كه در طبيعت ، شهرت به كجروي دارد ، كمياب نمي‌باشند. گاهي اوقات حتي انواع بزرگ آن در طبيعت بر حسب الگوهاي
فيبونانچي يافت مي‌‌شوند. اگرچه اين انحرافات در روند كاري گياه شناسان پيشرفته اختلال و آشفتگي بوجود آورده است اما اصلاً ترتيب اعداد فيبونانچي تحت تاًثير قرار نمي‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌دهد. اگر دوست داشتن اين پديده‌ها يك “ قانون “ نباشد ، حداقل يك ميل و رغبت متداول و شگفت انگيز است.
بعضي از گونه ها از نظر تعداد گلبرگ بسيار دقيق مي باشند – مانند گل آلاله – اما بعضي ديگر، تعداد گلبرگ هايشان خيلي نزديک به انواعي است که ذکر شد، بطوري که بصورت ميانگين در بين شمارش فيبوناچي قرار مي گيرند. در اين صفحه نماي از پشت و جلوي يک گل ساعتي نشان داده شده و مورد بررسي قرار مي گيرد.
شمارش فيبوناچي اين گل ها به اين قرار است:
بيشتر … 987 – 610 – 377 – 233 – 144 – 89 – 55 – 34 – 21 – 13 – 8 – 5 – 3 – 2 – 1 – 1 -0
همچنين در بسياري از گلها هم در ترتيب بندي گلبرگهايشان از اعداد فيبونانچي استفاده شده است. بعضي از اين گلها ، مثل گل رزي كه در تصوير نشان داده شده ، علاوه بر ترتيب بندي فيبونانچي ،داراي مارپيچ طلائي در ترتيب بندي گلبرگها مي‌‌‌‌‌باشند.
1-4- شمارش فيبوناچي و عدد طلايي
اگر نسبتي از دو شماره متوالي در زنجيره فيبوناچي تعيين كنيم، (…، 13، 8 ، 5 ، 3 ، 2، 1، 1) و هر كدام از اين اعداد را تقسيم بر عدد قبلي خود كنيم، اين زنجيره اعداد را خواهيم يافت:

اگر اين نسبت‌ها را بر روي يك نمودار تعيين كنيم، ديدن آنچه كه اتفاق افتاده است، آسانتر مي‌شود. (به نمودار توجه فرمائيد.)
بنظر مي‌رسد كه اين نسبت طوري مرتب مي‌شود كه به پايين مي‌رسد و به يك عدد ويژه، كه آنرا نسبت طلايي يا عدد طلايي مي‌ناميم ختم مي‌شود. ارزش اين عدد بطور تقريبي 618034/1 مي‌باشد، بنابراين مي‌بايست در اين زمينه يك عدد دقيق‌تر بر روي صفحه بعدي پيدا كنيم.
همچنين نسبت طلايي 618034/1 نام‌هاي ديگري چون بخش طلايي يا معني طلايي يا عدد طلايي دارد. اين عدد اغلب با يك حرف يوناني به نام Q في، نشان داده مي‌شود.
ارزش اين عدد مربوطه كه عنوان في با يك «p » كوچك مي‌نويسيم، فقط يك بخش اعشاري عدد في مي‌باشد كه ارزش عددي ان 618034/0 است.
در بخش اول در اول اعداد فيبيونانچي و طبيعت، ديديم كه اين اعداد(بطور غير واقعي)در جمعيت خرگوش‌ها،گاو‌‌ها و زنبور‌‌‌هاو همچنين در ترتيب بنديهاي مربوط به گلبرگهاي اطراف يك گل،برگهاي موجود در امتدادشاخه‌هاو دانه‌هاي موجود در قسمتهاي فوقاني گياه و كاجهاي مخروطي و همينطوردرميوه‌هاو سبزيجات،نمايان مي‌‌‌شد.
ما دليل اينكه چرا اين اعداد درجمعيت خرگوشها،گاوهاوزنبورها ظاهر مي‌‌شوندرا شرح داديم اما ديگراتفاقات و ظواهري را كه در طبيعت اطرافمان مي‌‌بينيم،چگونه است؟ اين پاسخ مربوط به اين است كه چراphi اغلب در گياهان و همچنين در اعداد فيبيونانچي ظاهر مي‌‌‌‌‌‌‌‌شود؛ بطوري كه اين اعداد درمارپيچ‌‌‌هاي بخش فوقاني گياه،ترتيب بندي و طرز قرار گيري برگ و غيره،با چشم ديده مي‌‌‌‌شود؛بنابراين مي‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌پرسيم… ‌‌‌‌‌‌ ‌
چرا طيبعت تمايل به استفاده از phi در بسياري از گياهان دارد؟
پاسخ اين سؤال دربخش بسته بندي‌‌هاـ بهترين ترتيب بندي اشياءبه منظور به حداقل رساندن فضاي به هدر رفته ،گنجانده مي‌‌شود.
2-4- بسته بندي‌‌ها
اگر از شما پرسيده شودكه بهترين روش براي بسته بندي اشياء چييست، جواب شما مطمئناً بستگي به اين خواهد داشت كه اندازه آن شيء چقدر است. اشياء مربعي شكل بيشتر شبيه به آرايش مربعي ، بسته بندي مي‌‌‌‌‌‌شوند،در حاليكه اشياءكروي شكل در ترتيب بندي شش ضلعي، بهتر بسته بندي مي‌‌‌‌‌‌‌‌‌شوند….
پس چرا طبيعت از يكي از اين اشكال استفاده نمي‌كند؟ دانه‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ها گرد هستند(اكثراً)،پس چرا ما آرايش شش ضلعي در قسمتهاي فوقاني گياه(يعني سرهاي آنها)نمي بينيم؟اگرچه تقارن شش ضلعي IS بهترين روش بسته بندي براي دانه‌هاي گرد به شمار مي‌رود، اما به اين سؤالها كه چگونه برگها مي‌بايست در اطراف يك ساقه قرار بگيرندو يا چگونه كلاهك گلها با دانه‌‌‌ها وبا توجه به
رشد آنها از نظر اندازه،ترتيب بندي بشوند،پاسخ نمي‌دهد.(دانه‌‌‌هاي ذكر شده گرد هستند زيرا شكل آنها بصورتي است كه بيشترين منطقه را در كمترين حاشيه احاطه مي‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌كنند.) ‌‌‌‌‌‌
آنچه كه بنظر مي‌رسد طبيعت از آن استفاده كند الگوي مشابه براي قرار دادن دانه‌‌ها در يك كلاهك گياهي،همانطوري كه براي قرار دادن گلبرگها دراطراف لبه يك گل و قرار دادن برگها در اطراف يك ساقه استفاده شد، مي‌‌‌باشد. آنچه كه بيشتر اهميت دارد
اين است كه تمامي اينها كارآيي‌شان را، همانطوري كه گياهان به رشد خود ادامه مي‌دهند حفظ مي كندو همچنين پرسش در مورد فرآيندهاي منفرد آنها خيلي زياد مي‌‌‌باشد،آنچه باقي مي‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ماند اين است كه پس فقط، چگونه گياهان براي حفظ اين طرح بهينه و مطلوب،رشد مي‌‌كنند؟
3-4- مريستم و الگوهاي رشد مارپيچي
گياه شناسان نشان داده اند كه گياهان از يك گروه بسيار كوچك سلولها درست در بالاي هر گياه در حال رشد،بنام مريستم،رشد مي‌يابند.يك مريستم مجزا در انتهاي هر شاخه يا شاخ و برگها وجود دارد كه سلولهاي جديد از آن شكل مي‌گيرند. هرگاه اين سلولها شكل گرفتند، از نظر اندازه رشد مي‌كنند، ولي نكته اصلي اين است كه اين سلولهاي جديددر چه نقاط رشدي از گياه،پرورش مي‌يابند. سلولهاي اوليه در پائين ساقه گسترش مي‌‌‌‌‌يابند و بنابراين بر نقاط رشد گياه، افزوده مي‌شود.همچنين، اين سلولها در مدل هاي مارپيچي هم رشد مي‌يابند، بطوري كه ساقه توسط يك زاويه بر مي‌‌‌‌گرددو سپس سلول جديد، نمايان مي‌گردد، به همين صورت چرخش و برگشتن دوباره ساقه و بعد از آن پديدار شدن سلول جديد، ادامه مي‌يابند. اين سلولها ممكن است بعداً تبديل به يك شاخه جديد ويا شايد برروي يك گل تبديل به يك گلبرگ و پرچم شوند.يك مسئله شگفت آور اين است كه يك زاويه ثابت مي‌تواندطرح و شكل بهينه‌اي را بدون اينكه مسئله‌‌‌اي در مورد اندازه رشد گياه وجود داشته باشد، توليد كند.بنابراين، هرگاه يك زاويه براي يك يرگ ثابت شد، گفته مي‌شود كه اين برگ، برگهاي زيرين خود را پنهان خواهد كردو همچنين خود آن، توسط برگهاي آينده كه در بالاي آن رشد خواهند كرد، پنهان مي‌شود. مشابه با همين مورد، هرگاه دانه
بر روي كلاهك گياه(يا همان بخش فوقاني گياه مثل گل آفتابگردان)قرار گرفت، اين دانه خارج شدن از يك خط مستقيم را ادامه مي‌دهندو توسط دانه‌هاي جديد به طرف بيرون،فشار داده مي‌شوند، اما زاويه اصلي را برروي كلاهك گياه حفظ مي‌كنند. هيچ مسئله‌اي در مورد اينكه اندازه كلاهك بزرگ است يا كوچك،وجود ندارد ومهم اين است كه دانه‌ها هميشه بصورت متحدالشكل برروي كلاهك گياه قرار بگيرند.اين مسئله براي افراد، در اوايل قرن گذشته، شك برانگيز بود،و اين اصل كه يك زاويه منفرد،ترتيبات متحدالشكلي را بدون مهم بودن ميزان رشد و بزرگي گياه، توليد كند،بعد از اثبات آن توسط دورياضيدان فرانسوي بنامهاي كودر و دويدي در سال 1993 به وقوع پيوست.بنابراين زاويه ثابت چرخش که در مطالب فوق به ان اشاره شد سلولهاي phi در هرچرخش يا چرخش‌هاي phi در هر سلول جديد مي‌باشد.
4-4- عدد طلائي (phi) در طبيعت
طرز قرار گيري و ترتيب بندي برگها، همانند ترتيب بندي دانه‌‌‌‌‌‌ها وگلبرگها مي‌باشد. تمامي آنها در… 618034/0 برگها،(دانه‌ها، گلبرگها)در هر چرخش قرار مي‌‌گيرند. از ديدگاه درجات، ترتيب آنها در 618034/0 – 360 درجه‌‌‌اي كه492000/222 است قرار دارد. بهر حال، ما تمايل به اين داريم كه زاويه كوچكتري را كه :
درجه 50776000/137=360*381966/0=360*(618034/0-1) را مشاهده كنيم.هنگاميكه به خاصيتهاي phi توجه مي‌‌‌كنيم مشاهده مي‌‌كنيم كه رابطه زير برقرار است:

اگرphi (618/1)برگها در هر چرخش(يا، معادل618000/0=phi چرخشها درهربرگ)وجود داشته باشد،آنگاه بهترين بسته بندي را خواهيم داشت،بطوري كه هر برگ طوري قرار مي‌گيردكه بتواند در معرض حداكثرنور قرار بگيردوكمترين سايه را براي برگهاي زيرين خود ايجاد كند.همچنين اين كميت بهترين منطقه ممكنه براي قرار گيري در معرض بارش باران رافراهم مي‌آورد، بطوري كه اين باران در امتداد برگ به
عقب هدايت مي‌شود و همچنين به پائين ساقه و در نهايت به ريشه مي‌‌‌‌‌‌‌ريزد.در مورد گلها يا گلبرگها، بهترين وضع قرار گيري ممكنه را براي جذب حشرات بمنظور گرده افشاني فراهم مي‌آورد. بنظر مي‌رسد كه تمامي اين گياهان،برگها،گلبرگهاي موجود بر كلاهك گل و همچنين دانه‌هايشان را بر اساس اعداد و ترتيب بندي طلائي، توليد كنند و اعداد فيبيونانچي بهترين اعداد تقريبي را در عدد طلائي شكل مي‌دهند.
در ابتدا ما مي‌توانيم موافقت كنيم كه ميزان چرخيدن 6/0 يك چرخش، دقيقاً همانند ميزان چرخش 6/1 چرخش، 6/2 چرخش يا حتي6/12 چرخش است، زيرا وضعيت و موقعيت اين نقطه يكسان بنظر ميرسد. بنابراين مي‌توانيم بخش عددي يك چرخش را ناديده بگيريم و تنها بخش اعشاري را مورد بررسي قرار دهيم. همچنين،چون6/0 يك چرخش در يك راستا ، همانند4/0 يك چرخش در راستاي ديگر است ، مي‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌توانيم تحقيقات و بررسي‌هايمان رادر مورد چرخش‌هايي كه كمتر از5/0هستند را محدود كنيم. بهرحال گاهي اوقات صحبت كردن در مورد اعشارهاي يك چرخش كه بزرگتر از 5/0 يا حتي بزرگتر از1 هستند، آسانترخواهد بود،اما تنها بخش مهم اين عدد بخش اعشاري آن است.
phi = phi2 = Phi-2
بيائيد در ابتدا آنچه را كه با يك عدد ساده مثل 5/0 د رهر چرخش دانه اتفاق مي ا‌فتد را مشاهده كنيم. چون كه = 5/0 است.ما فقط2 ((بازو)) را اتخاذ كرديم.
بطوري كه دانه‌ها از فضاي موجود برروي كلاهك گياه بطورخيلي ناكارآمد استفاده مي‌‌كنند: اين كلاهك دراز و مسطح است.بطوري كه مي‌توان دانه‌هاي جديد را در مركز، همانند دانه‌هاي قديمي‌‌اي كه ظاهر مي‌شوند و رشد خود را بسوي خارج از يك خط راست از نقطه رشد مركزي ادامه مي‌دهند(جايي كه سلولهاي دانه جديد ظاهر مي‌‌‌‌شوند) را مشاهده نمود يك كلاهك دايره‌اي شكل متراكم تر است و از نظرمكانيكي قدرت بهتري دارد و همچنين بهتر مي‌تواند باد و باران سنگين را تحمل كند.
در اينجا اندازهphi ، يك چرخش بين دانه‌ها 48/0است. ‌اين دانه‌‌‌‌ها بنظر مي‌‌‌رسند كه از دو (( بازوي))چرخان، افشانده شده باشند. به خاطر زاويه 48/0آن، خيلي نزديك به 5/0 است ويك نيم چرخش بين دانه‌‌ها، اين معني راخواهد داد كه آنها بر روي حاشيه‌ها ،در يك خط مستقيم ، تنها بطور متناوب ظاهر خواهند شد.چون48/0 قدري كمتر از نيم است ،اين بازو بنظرمي‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌رسد كهبه مقدار خيلي كمي درهرزمان به سمت عقب بچرخد.
بنابراين اگر ما 52/0 دانه در هرچرخش داشته باشيم، كمي قبل از نصف يك چرخش خواهيم بود والگوي نهايي يك تصویرآئينه‌‌‌‌اي خواهدبود(مثل اينكه ما از48/0=52/0-1دانه در هر چرخش استفاده كرده باشيم اما اين چرخش در جهت مخالف باشد.)
حال بيائيداين اتفاق را با زاويه 6/0 دانه در هر چرخش در نظر بگيريم=6/0است، بنابراين درهرسه چرخش دقيقاً 5 دانه توليد خواهد شد وزاويه دانه ششم همانند اولين زاويه خواهد بود، هفتمين دانه ، هم همينطور(از نظر زاويه) همانند دومين دانه قرار داده خواهدشد،بهمين صورت تا آخر پيش مي‌رود. دانه‌‌‌‌هايي كه در هر بازوي سوم نمايان مي‌‌‌شوند،به نوبت در اطراف 5 بازو مي‌چرخند مي‌چرخند. در نتيجه براي يافتن(( بازوي)) بعدي و جايي كه يك دانه ظاهر خواهد شد بصورت 3 از5 ( )محاسبه مي‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌كنيم. اگربه محاسبه 6/1يا6/2يا6/3 بپردازيم مي‌‌‌‌‌توانيد مشاهده كنيد كه ، تمامي چرخش‌‌هاي اضافي برجايي كه دانه‌‌‌ها قرار داده مي‌شوندتاًثيري نمي‌‌گذارند، آنچه كه بنظر مي‌رسد مهم باشد،فقط بخش اعشاري دانه‌هاي ما در هر عدد چرخشي است و ما مي‌توانيم تمامي بخش عددي را ناديده بگيريم. در اينجا ارزش عددي ديگر هم وجود دارد كه حيات مشابهي را فراهم خواهد آورد. اگر،به اندازه 6/0 چرخش در يك جهت ديگر برويم اين مقدار معادل رفتن 4/0=6/0-1 يك چرخش بين دانه‌ها خواهد بود.يك ارزش عددي نزديكتر به phi 61/0
است توجه كنيد كه اين ارزش عددي بهتر است.
اما اينكه هنوز جاهاي خالي و فضاهاي بزرگي بين نزديكترين دانه‌ها به مركز وجود دارد، باعث مي‌شود كه اين فضاها بهترين محل براي استفاده بشمار نرود. همچنين اين ارزش عددي معا دل استفاده از 61/1، 61/2 و غيره و همچنين معادل 39/0=61/2-1و بنابراين معادل 39/1و 39/2و غيره مي باشد. در واقع، هر عددي كه مي تواندبصورت يك نسبت دقيق (يك عدد منطقي و استدلالي) نوشته شود، براي يك چرخش در هرزاويه دانه، خوب نخواهد بود.
تناسب ـ نسبت طلائي
تناسب به اندازه ارتباط فاكتورهاي بصري به يكديگر و تمام تصاوير موجود بر مي‌گردد. يكي از دلايل تناسب ، اغلب در زمينه تركيب و ساخت ، مهم ارزيابي مي‌‌‌شود ، بطوري كه بينندگان به آن بطور احساسي واكنش نشان مي‌دهند.
خيلي قبل‌تر از اينكه عكاسي اختراع شود ، تناسب در هنر به مدت صدها سال امتحان شده است. يك نسبت كه اغلب بصورت اتفاق مكرر در طرح استفاده مي‌شود ، نسبت طلائي يا معني طلائي است. نسبت طلائي : 34،21،13،8،5،3،2،1،1 . هر عدد جانشيني بعد از 1 مساوي است با مجموع دوعدد قبلي. اين نسبت شكل گرفته بصورت 618/1:1، معني طلائي ـ نسبتbc به ab نامیده مشود که همانند ab به ac است
اگر پنجره كوچكتر را دوباره با همين نسبت تقسيم كنيد و گوشه‌هاي انها را بهم متصل كنيد ، به يك مارپيچ لگاريتمي ختم مي‌شويد. اين مارپيچ يك موتيف است كه بطور مكرر در سرتاسر طبيعت ، يعني در صدفها ، شاخها و گلها يافت مي‌شود. معني طلائي يا( فی) مكرراً در طبيعت اتفاق مي‌افتدو ممكن است كه انسانها از نظر ژنتيكي به منظور تشخيص اين نسبت بر حسب تمايل ، مورد آزمايش قرار بگيرند. مطالعات مربوط به مدلهاي پيشرفته اينگونه آزمايشت برروي انسان، آشكار كرد كه چهره‌هاي آنها يك فراواني از نسبت 618/1 دارند.
بسياري از عكاسان و هنرمندان از قانون سوميها ، كه يك تصوير به سه بخش عمودي و افقي تقسيم مي‌‌شود و خط‌ها و نقطه‌هاي تقاطع ، مكانهايي را براي قرار دادن فاكتورهاي بصري مهم ارائه مي‌دهند ، مطلع هستند. نسبت طلائي و كاربردش ،اگرچه شبيه به نسبت طلائي هستند اما بصورت آنها شناخته شده نيستند و نقاط تقاطعش شبيه به يكديگر مي‌‌‌‌باشند. در يك منظره يا دور نما ، حرکت افق به موقعيت يك سوم اغلب
تاًثير گذارتر از قرار دادن در ميانه منظره است ، اما همچنين مي‌تواند نزديك پائين يك چهارم يا يك ششم هم قرارداده شود. هیچ اجباري در رابطه با بكاربردن قانون سوم وجود ندارد .در قرار دادن فاكتورهاي بصري در تركيب مؤثر ، يكي از اين فاكتورها مي‌بايست ، بسياري از فاكتورها را مثل رنگ ، چيره دستي، اندازه و تعادل تناسب ارزيابي كند. اغلب يك مقدار معين از غير تعادلي يا تنش مي‌تواند يك تصوير تاًثير گذارتري را بوجود آورد. اين جائي است كه ما به الهامات دروني يك هنرمند و احساسات آن در مورد موضوع نقاشي‌اش پي مي‌‌بريم. هركدام از ما بي نظير و منحصر به فرد هستيم و مي‌بايست براي حفاظت از اين احساسات و تاًثيرات در مورد موضوع انتخاب شده‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌مان كه متفاوت هستند ، سعي و تلاش كنيم.
قانون سوم خط شطرنجي كه در يك منظره بكاررفته.
معني طلائي شطرنجي كه در يك تركيب ساده بكاررفته».
معرفي كتاب :
( كتاب گردش اسرارآميز رياضيات : نوشته Mark wahl ، منتشر شده در سال 1989، كتابي كامل و جامع و مملو از تحقيقات رياضياتي ، تصاوير ، نمودارها ، واقعيتهاي علمي ، نكات ميباشد و همچنين راهنماي مناسبي براي معلمان به شمار مي رود . اين كتاب يك منبع اطلاعاتي عالي براي تحقيقات شما به شمار مي رود .
كتابهاي نوشته شده در توسط Truai Garlancl :
( كتاب Fibonacci هاي زيبا نوشته Trudi Hammel Garland :
اين كتاب ، يك كتاب بسيار عالي و مناسب براي همه ، بويژه براي معلماني كه در اين زمينه تحقيق و تدريس مي كنند ، محسوب مي شود و مي توانند از اين كتاب در كلاس استفاده كنيد . Trudy يك معلم در ايالت كاليفرنياست و اطلاعاتي بيشتري در مورد كتابش دارد . ( مي توانيد اين كتاب را ، هم اكنون از اينترنت خريداري كنيد ! ) همچنين او چندين پوستر هم منتشر كرده است كه شامل بخش طلايي بوده و براي كلاس درس يا ديوار اتاق مطالعه خود مناسب مي باشد.
همچنين مي توانيد به كتابهاي Fibonacci ديگر او هم نگاهي بياندازيد :
( Fibonacci جالب : فعاليتهاي گيرا با اعداد خيره كننده ، نوشته Trudi Hammel Garlancl كتابي مناسب براي معلمان .
( مدل هاي رياضياتي : نوشته AP Rollett و H M Cundy ( سومين ويرايش – منتشر شده از انتشارات Tarquin در سال 1997) هنوز هم يك منبع خوب محسوب مي شود ، همچنين در اين كتاب در مورد مدلهاي فيزيكي – همانهايي كه امروزه توسط كامپيوترها ايجاد مي شود – عمدتاً صحبت مي شود.
آنها مي گويند : اين كتاب رياضياتي بود كه خريداري شهر و هنوز كتابي به شمار مي رود كه مي شود آنرا عميقا مطالعه كرد . اين كتاب در بردارنده بخشي شگفت انگيز درباره معادلات منحني هاي زيبا ، منحني هاي ساده و منحني هاي
نه آنقدر ساده است كه براي كشيدن آنها حتي اگر از ورق هاي جداگانه براي نشان دادن آنها استفاده شود رقابت وجود دارد.
( تحت رويش و شكل گيري : نوشته D’Arcy Wentworth ، منتشر شده از انتشارات Dover و Thompson ( تاليف كاملا تجديد نظر شده در سال 1992 ) – تعداد صفحات : 1116 صفحه . اين كتاب براي اولين بار در سال 1917 منتشر شد و همچنين موجب شده است كه مردم به شكهاي رياضياتي در طبيعت بيشتر توجه داشته باشند .
مقالات :
( نسبت جنسيت و سهميه جنسيتي در زنبورهاي شيرين : نوشته D yanega در مجله علمي حشره شناسي Kansas ، ضميمه جلد 96 ، منتشر شده در سال 1966- نوشته شده در صفحات 98 تا 115 به خاطر عدم تعادل در شجره خانوادگي زنبورهاي عسل ، نسبت زنبورهاي عسل نر و ماده يك به يك نيست . اين امر توسط Doug yanega ، پژوهشگر موزه حشره شناسي دانشگاه كاليفرنيا ، تذكر داده مي شود . در مقاله بالا ، او به درستي نتيجه گيري كرد كه تعداد ماده ها به نر ها در اجتماع زنبورهاي عسل در حدود نسبت طلايي phi ( في ) = 6180330000/1 خواهد بود .
( بر روي خطوط كشيده شده كاج كاليفرنيا : نوشته شده توسط برادر Alfred Brousseau در هفته نامه يا ماهانه Fibonacci – جلد 6 – منتشر شده در سال 1968 – نوشته شده در صفحات 69 تا 76 ؛ بر اساس اين كتاب ، يك گروه اعزامي در تابستان به منظور جمع آوري نمونه هايي از تمامي كاج ها به كاليفرنيا اعزام شدند و آنها پس از كسب كردن اين نمونه ها تعداد مارپيچ هاي كاج را در هر دو جهت شمارش كردند و به اين حقيقت رسيدند كه تمامي آنها بر اساس اعدادي نزديك به اعداد Fibonacci آرايش يافته بودند.
( چرا توالي اعداد Fibonacci براي مارپيچ هاي برگ خرما ؟ ؛ هفته نامه يا ماهانه Fibonacci . جلد 9- چاپ شده در سال 1971- نوشته شده در صفحات بين 227 تا 244 .
( سيستم Fibonacci در Aroicls : در هفته نامه Fibonacci – جلد 9 – منتشر شده در سال 1971 – نوشته شده در صفحات بين 253 تا 263 . Aroid ها خانوادگي اي از گياهاني مثل ديفن باخيا ، مونس تراس و فيلندرون هستند .
برنامه نويسي
برنامه ای که عدد N را از ورودی خوانده N جمله اول دنباله فیبوناچی را چاپ کند :
program test;
var
a ,b ,c ,i ,n : integer;
begin
write(‘enter a number:’);
readln(n);
a:=1;
b:=0;
c:=a+b;
for i:=1 to n do
begin
write(c:10);
a:=b;
b:=c;
c:=a+b;
end;
readln
end.
 
برنامه ای که عدد N را از ورودی خوانده جملات دنباله فیبوناچی کمتر از N را چاپ کند :
program test;
var
a ,b ,c ,n : integer;
begin
write(‘enter a number:’);
readln(n);
a:=1;
b:=0;
c:=a+b;
while (c
begin
write(c:10);
a:=b;
b:=c;
c:=a+b;
end;
readln
end.
 
برنامه ای که دو عدد را از ورودی خوانده و جملات دنباله فیبوناچی بین آنها را چاپ کند :
program test;
var
a ,b ,c ,n ,m ,p : integer;
begin
write(‘enter two number:’);
readln(n,m);
if (n>m) then
begin
p:=n;
n:=m;
m:=p;
end;
a:=1;
b:=0;
c:=a+b;
while (c
begin
if (c>n) then
write(c:10);
a:=b;
b:=c;
c:=a+b;
end;
readln
end.
 
 
برنامه که یک عدد را از ورودی خوانده تعیین کند در دنباله فیبوناچی قرار دارد یا خیر :
program test;
var
f ,b ,p ,n ,i : integer;
begin
write(‘enter a number:’);
readln(n);
f:=1;
b:=0;
p:=f+b;
while (p<=n) do
begin
if (p=n) then
begin
write('yes');
readln;
halt;
end;
f:=b;
b:=p;
end;
write('no');
readln
end.
 
 

فایل : 64 صفحه

فرمت : Word