مقاله کامل يك روش دوآل براي مدل هايي با مرز كارايي نامحدب در DEA

فصل اول : تحليل پوششي داده ها
1-1 مقدمه :
موضوع تحليل پوششي داده ها (DEA) در سال (1979-1978) توسط جارنز – كوپر – رودز مطرح شد . آنها اساس كار خود را بر روي مقاله فارل (1957) بنا نهادند . حاصل اين تحقيقات مقاله اي به نام CCR شد .
بعد از آن بنكر – چارنز – كوپر (1984) مقاله BCC را مطرح كردند .
اين دو مقاله پايه بسياري از مطالعات تحليل كارآيي شد و اين شاخه از علم تحقيق در عمليات به نام تحليل پوششي داده ها گسترش يافت .
به طوري كه امروزه بيش از 2.000 مقاله گزارش و كتاب در اين زمينه ارائه و منتشر شده است .
1-2 واحد هاي تصميم گيرنده :(DMU)
هر DMU بوسيله يك بردار ورودي و يك بردار خروجي مشخص مي شود . مولفه‌هاي بردار ورودي X ، شاخص هاي ورودي و مولفه هاي بردار خروجي Y ، شاخص هاي خروجي مي باشند .
واحدهاي تصميم گيرنده ، قدرت اجرايي و قدرت تصميم گيري دارند . اما معمولاً قادر نيستند تشخيص دهند كه ، چه برنامه اي را بايد اجرا نمايند . براي اين منظور محاسبه اندازه كارآيي DMU ها ، مي تواند بسيار مفيد و مطلوب باشد .
روش هاي مختلفي براي محاسبه اندازه گيري كارآيي ارائه شده است كه مي توان آنها را به دو دسته عمده تقسيم كرد .
روش هاي پارامتر و روش هاي غيرپارامتري
اما اين مستلزم تعيين تابع توليد مي باشد كه در DEA مهم‌ترين مسئله مي باشد .
1-3‌ تابع توليد :
تابع توليد ، تابعي است كه بيشترين خروجي ممكن را از تركيب ورودي ها فراهم مي كند .
فرض كنيد m ورودي به صورت براي توليد يك خروجي به صورت y مصرف ، مي شود .
تابع توليد را به صورت در نظر مي گيريم .
اما اين تعريف دو ضعف بزرگ دارد .
1)فقط براي حالت هاي تك خروجي كاربرد دارد .
2)تعيين ضابطه f .
به همين دليل اين روش كاربرد چنداني ندارد .
1-4 روش‌هاي پارامتري
ايدة كار به اين صورت است كه ، تابعي پيش فرض در نظر گرفته مي شود . سپس با استفاده از تكنيك هاي مناسبي پارامترهاي آن تعيين مي گردد .
يكي از معروف ترين توابع توليد ، در اقتصاد خود تابع كاب داگلاس است .
كه صورت كلي آن به صورت زير است :
ورودي ها و و پارامتر هستند كه با روش هاي بهينه سازي تخمين زده مي‌شوند .
فرض كنيد خروجي واحد ام و ورودي i ام باشد .
چون بيشترين خروجي ممكن است پس :

با لگاريتم گيري از طرفين داريم :

در اين صورت :

هدف كمينه كردن انحراف براي تمام واحدها است .
در تئوري اقتصاد خرد ، شكل تابع توليد را به صورت زير در نظر مي گيرند .
اين معادل است با مينيمم نمودن عبارت :
بنابراين مساله برنامه ريزي خطي زير را داريم :

اين مسئله همواره جواب شدني دارد . بعنوان مثال :

يك جواب شدني مسئله است .
كارائي كاب – داگلاس براي واحد ام به صورت زير تعريف مي شود :

مقدار خروجي بهينه با استفاده از تابع كاب – داگلاس است .
1-4-1 قضيه :
ثابت كنيد در تابع كاب – داگلاس ، اگر در اين صورت براي هر ، ؟
اثبات :‌

1-5 تعريف غالب :
معمولاً در بين مشاهدات ، ورودي ها با مقادير كمتر ، با مقادير خروجي ناكمتر و يا خروجي ها با مقادير بيشتر با مقادير ورودي نابيشتر مطلوب هستند .
دو با ورودي و خروجي را به صورت زير در نظر بگيريد :
و
و يا
و
و
در صورتي كه داشته باشيم :
‌‌‌
و اين نامساوي براي لااقل يك مولفه به صورت اكيد باشد ، در اين صورت واحد تصميم گيرنده اول ، واحد تصميم گيرنده دوم را مغلوب كرده است .
و يا واحد دوم ، در مقايسه با واحد اول ناكارا است .
1-5-1 تعريف :
، به صورت مفروض است .
فرض مي كنيم:

، كاراي نسبي است اگر و فقط اگر نتوان ‌ي از يافت كه :

و اين نامساوي لااقل در يك مولفه به صورت اكيد باشد .
بنابراين اگر وجود داشته باشد به طوري كه :

و اين نامساوي لااقل براي يك مولفه به صورت اكيد باشد ، در اين صورت واحد در مقايسه با امكان توليد ناكارا است .
1-6 مجموعه امكان توليد :(PPS)
همان طور كه گفته شد ، تابع توليد كه به روش هاي پارامتري تعيين مي شود ، دو اشكال عمده دارد . براي رفعه اين دو مشكل ، محققين را بر آن داشت تا با استفاده از ورودي ها و خروجي ها ، مجموعه اي به نام مجموعه امكان توليد فراهم نمايند .
به طوري كه مرز اين مجموعه به عنوان تابع توليد تجربي در نظر گرفته مي شود .
هر نقطه واقع در مرز ، به صورت تركيب نامنفي از مشاهدات مي باشد .
مجموعه امكان توليد را به صورت زير تعريف مي كنيم :
ورودي X بتواند خروجي Y را توليد نمايد
1-7 مدل هاي اساسي DEA
زوج بردارهاي ورودي و خروجي ، به صورت را در نظر مي‌گيريم.
فرض مي كنيم اين بردارها نامنفي باشند . و لااقل يك مولفه مثبت داشته باشند .
اين مطلب را با نماد رياضي به صورت زير مي نويسيم :

مجموعه امكان توليد را با حرف نشان مي دهيم . و براي تعريف آن ، اصول موضوعه زير را مي پذيريم.
1-اصل ناتهي بودن (شمول مشاهدات) :
تمامي مشاهدات در قرار دارد .

2-اصل بيكراني اشعه (بازده به مقياس ثابت ) :
اگر در اين صورت براي هر ،
3-اصل امكان پذيري :
براي هر مشاهده ، هر فعاليت نامنفي كه و باشد ، در اين صورت .
4-هر تركيب نامنفي مشاهدات متعلق به است .
بنابراين مجموعه امكان توليد T كه در اصول موضوعه فوق صدق مي كند ، به صورت زير بدست مي آيد :
براي ارزيابي هر DMU ، روشي كه بكار مي رود به اين صورت است كه ، فاصله شعاعي بين هر مشاهده و يك نقطه از مرز را كه به صورت تركيب نامنفي n مشاهده است ، محاسبه مي شود .
اما ممكن است تمامي اصول موضوعه فوق ، به غير از اصل اول برقرار نباشند . بنابراين در حالت كلي ، تحت مفروضات (اصول موضوعه) قابل قبول ، مسئله برنامه ريزي خطي زير يك مدل اساسي در ماهيت خروجي است .
يك مجموعه از وزن هاي است . و Z بعداً معرفي مي شود .

(1-1)

و يك ثابت نا ارشميدسي است . و .
مساله (1-1) در ماهيت خروجي ، كمترين فاصله در وضعيت خروجي بين واحد تحت ارزيابي و مرز تشكيل يافته به وسيله تركيب نقاط مشاهده شده با استفاده از مضارب را مي دهد .
اگر كاهش ورودي واحد مد نظر باشد ، در اين صورت مسئله (1-2) در ماهيت ورودي زير به كار مي رود .

(1-2)

فایل : 140 صفحه

فرمت : Word