مقاله کامل محاسبات عددي1 (مينيمم كردن توابع چند متغيره)

14
MINIMAZATION
OF
MULTI VARIATE FUNCTIONS
(مينيمم كردن توابع چند متغيره)
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
يك طراحي مهندسي به تابعي به شكل زير مي رسد:

كه در آن x و y پارامترهايي هستند كه بايد انتخاب شوند و يك تابع است، كه مربوط به مخارج ساخت و ساز است و بايد مينيمم شود.
روش هاي قابل استفاده براي بهينه سازي كردن نقاط را در اين فصل مطالعه مي كنيم.
مقدمه:
يك كاربرد مهم حساب ديفرانسيل، پيدا كردن مينيمم موضعي يك تابع است. مسائل مربوط به ماكزيمم كردن نيز با تئوري مينيمم كردن قابل حل هستند. زيرا ماكزيمم F در نقطه اي يافت مي شود كه -F مينيمم خود را اختيار مي كند.
در حساب ديفرانسيل تكنيك اساسي براي مينيمم كردن، مشتق گيري از تابعي كه مي‌خواهيم آن را مينيمم كنيم و مساوي صفر قرار دادن آن است.
نقاطي كه معادله حاصل را ارضا مي كنند، نقاط مورد نظر هستند. اين تكنيك را مي توان براي توابع يك يا چند متغيره نيز استفاده كرد. براي مثال اگر يك مقدار مينيمم را بخواهيم، به نقاطي نگاه مي كنيم كه هر سه مشتق پاره اي برابر صفر باشند.

اين روند را نمي توان در محاسبات عدي به عنوان يك هدف عمومي در نظر گرفت. زيرا نياز به مشتقي دارد كه با حل يك يا چند معادله بر حسب يك يا چند متغير بدست مي آيد. اين كار به همان سختي حل مسئله بصورت مستقيم است.
مسائل مقيد و نامقيد مينيمم سازي:
مسائل مينيمم سازي به دو شكل هستند:نامقيد و مقيد:
در يك مسئله ي مينيمم سازي نامقيد يك تابع F از يك فضاي n بعدي به خط حقيقي R تعريف شده و يك نقطه ي با اين خاصيت كه

جستجو مي شود.
نقاط در را بصورت z, y, x و… نشان مي دهيم. اگر نياز بود كه مولفه هاي يك نقطه را نشان دهيم مي نويسيم:

در يك مسئله ي مينيمم سازي مقيد، زير مجموعه ي K در مشخص مي شود . يك نقطة جستجو مي شود كه براي آن:

چنين مسائلي بسيار مشكل ترند، زيرا نياز است كه نقاط در K در نظر گرفته شوند. بعضي مواقع مجموعه ي K به طريقي پيچيده تعريف مي شود.
سهمي گون بيضوي به معادله‌ي
را در نظر بگيريد كه در شكل 1-14 مشخص شده است. به وضوح مينيمم نامقيد در نقطه ي (1و1) ظاهر مي شود، زيرا:

اگر
مينيمم مقيد 4 است و در (0،0) اتفاق مي افتد.
Matlab داراي قسمتي است براي بهينه سازي كه توسط اندرو گريس طراحي شده و شامل دستورات زيادي براي بهينه سازي توابع عمومي خطي و غير خطي است.
براي مثال ما مي توانيم مسئله ي مينيمم سازي مربوط به سهمي گون بيضوي نشان داده شده در شكل 1-14 را حل نماييم.
ابتدا يك M-file به نام q1.m مي نويسيم و تابع را تعريف مي كنيم:
function f=q1(x)

آنگاه از Matlab استفاده مي كنيم تا مقدار مينيمم را در نزديكي نقطه ي براي اين تابع بدست آورد:
type q1

بدست مي آوريم كه نقطه ي مينيمم (1،1) است و مقدار تابع در اين نقطه 2 ميباشد.
1-14حالت تك متغيره:
اين حالت، حالت خاصي است كه در آن يك تابع F بر روي R تعريف شده باشد. ابتدا بررسي مي كنيم كه براي حل اينگونه مسائل چگونه بايد عمل كرد، زيرا مسئله ي عمومي تر n متغيره معمولاً با يك دنباله از محاسبات روي مسائل يك متغيره حل مي شود.
فرض كنيد است و ما بدنبال يك نقطه ي مي گرديم كه:

توجه كنيد كه اگر هيچ فرضي در مورد F در نظر گرفته نشود، اين مسئله در فرم عمومي غير قابل حل است. براي مثال تابع هيچ نقطه اي مينيممي ندارد. حتي براي توابع خوش تعريفي مانند محاسبات عددي ممكن است به مشكلاتي بر بخورد كه علت آن اعداد بزرگ نقطه ي مينيمم مطلق است.
به شكل 2-14 نگاه كنيد و مسئله ي كامپيوتري 6 را ببينيد. توجه كنيد كه نقطه ي z يك مينيمم موضعي تابع F است اگر همسايگي از z وجود داشته باشد كه براي تمام نقاط داخل آن داشته باشيم:

ما مي توانيم از Matlab براي بدست آوردن مقادير مينيمم موضعي تابع استفاده كنيم. ابتدا ما تابع را در يك فايل به نام q2.m مطابق زير تعريف مي كنيم.

سپس از matlab براي يافتن مقدار مينيمم در بازه ي استفاده مي كنيم:
type q2

نقطه ي محاسبه شده ممكن است يك مينيمم مطلق نباشد. براي يافتن مينيمم مطلق مي توانيم نقاط اوليه ي متفاوتي را انتخاب كنيم و مينيمم هاي مطلق را بيابيم، آنگاه مينيمم آن ها را پيدا كنيم.
F تك نما:
يك فرض قابل قبول اين است كه در يك بازه ي [a,b] كه از قبل به ما داده شده، F تنها داراي يك مينيمم موضعي باشد. اين خاصيت معمولاً با گفتن اين كه F بر روي [a,b] تك نمايي است بيان مي شود.
(توجه:در علم آمار تك نمايي مربوط به ماكزيمم موضعي است)
بعضي توابع تك نمايي در شكل 3-14 نشان داده شده اند:
يك خاصيت مهم توابع تك نمايي پيوسته، كه از شكل 3-14 نيز مشخص است، اين است كه اين توابع بصورت يكنوا كاهش مي يابند تا به نقطه ي مينيمم مي رسند و بعد از آن بصورت يكنوا افزايش مي يابند. براي مشخص كردن اين موضوع، را مينيمم تابع F در بازه ي [a,b] بگيريد و فرض كنيد براي مثال F بصورت يكنوا بر روي بازه ي كاهش نمي‌يابد، آنگاه نقاط و وجود دارند كه:
و
حال فرض مي كنيم يك نقطه ي مينيمم روي بازه ي باشد. (توجه كنيد كه تابع پيوسته روي يك بازه ي بسته، مينيمم خود را اختيار مي كند) ما مي توانيم
فرض كنيم كه براي اينكه اگر مقدار اوليه ، انتخاب مي شد، مي توانستيم آن را با جايگذاري كنيم، زيرا
ولي اكنون مي بينيم كه يك نقطه ي مينيم F روي است و
وجود دو مينيمم موضعي، البته با تك نمايي بودن F تناقض دارد.
الگوريتم جستجوي فيبوناچي
اكنون مسئله اي را مطرح مي كنيم كه مربوط به جستجوي نقطة مينيمم از تابع پيوسته و تك نمايي F بر روي بازة معين مي باشد. تا چه اندازه دقيق مي توان نقطة مينيمم را با فقط n ارزيابي از F محاسبه كرد؟ بدون هيچ گونه ارزيابي از F بهترين چيزي كه مي توان گفت اين است كه ، و با گرفتن نقطة مياني به عنوان بهترين تخمين، خطاي را مي دهد. يك ارزيابي به تنهايي اين موقعيت را ثابت نمي نمايد و بنابراين بهترين تخمين و خطا به مانند مورد قبل باقي مي ماند. بنابراين حداقل دو ارزيابي تابع را نياز داريم، تا تخمين بهتري را بدست آوريم.
فرض كنيد F در و محاسبه شده باشند، نتيجه در

فایل : 59 صفحه

فرمت : Word