مقاله کامل جين باتپيست جوزف فوريه

جين باتپيست جوزف فوريه :
متولد : 21 مارس 1768 در اكسر ،‌پورگن فرانسه
وفات : 16 مي 1830 در پاريس فرانسه
پدر جوزف فوريه، در اكسر خياط بود. پس از درگذشت زن اول ، او سه فرزند داشت. او دوباره ازدواج كرد. جوزف نهمين فرزند از دوازده فرزندش در ازدواج دوم بود. وقتي جوزف سه سال داشت،‌مادرش در گذشت و پدر خود را نيز سال بعد از دست داد.
اولين مدسه او در مدرسه پالايز بود – در این هنگام او با رهبر موزیک کلیسای جامع همراه شده بود. در آنجا جوزف لاتين و فرانسه را ياد گرفت و با خود عهد بزرگي بست. در سال 1780 به «اِكُلْ رويال ميلياتر اكسر» رهسپار شد. مكاني كه براي اولين بار استعدادش را در آثار ادبي نشان داد. اما خيلي زود در سن سيزده سالگي، رياضي علاقه واقعي او شد. در سن چهارده‌سالگي او تحصيلات خود را تا كلاس ششم در رشته رياضيات كامل كرد.در سال 1783 او جايزه اول مدرسه «باسوت» در رشته خودش، یعنی مكانيك عمومي دريافت كرد. در سال 1787 جوزف تصميم گرفت تا به دنبال روحانيت برود و به همين منظور به عنوان راهب وارد صومعه نبت كتين شد.
علاقه او به رياضيات ادامه داشت به هر حال او با ال- سي پونارد استاد رياضي در اكسر مكاتبه
مي كرد. اما فوريه مطمئن نبود كه تصميم درستي در مورد روحانيت گرفته است يا خير.
او يك نامه در حيره به مونتا كلا پاريس تسليم كرد. او در نامه خود به بونارد پيشنهاد كرد كه قصد دارد برخورد جدي با رياضي بكند. او در این نامه نوشت :
ديروز تولد 21 سالگي من بود و در آن سن نيوتن و پاسكال دستاوردهاي فناناپذيري را بدست آوردند. فوريه ، صومعه را درسال 1789 ترك كرد از پاريس ديدن كرد و نامه‌اي از آكادمي عالي علمي در معادلات جبري مي خواند. در سال 1790 او معلم « بنديكتاين كالج» در اكل رويال ميلياتر اكسر همان جايي كه درس خوانده بود شد و تا آن زمان يك كشمكش دروني در فوريه در اين مورد وجود داشت كه آيا او بايد يك فرد مذهبي باشد يا يك محقق رياضي به هر جهت در سال 1793 سومين عنصر(عامل) به كشمكش‌هاي او اضافه شد . زماني كه او وارد سياست شد و به كميته انقلابي علمي پيوست.
او نوشت :
بر طبق قانون پيشرفته تساوي در طبيعت ممكن است كه تصوير كنيم اين عمل مافوق انساني باشد كه يك دولت معاف از كشيش و شاه باشد و خاك اروپا از بند يوغي دوبله كه زماني بسيار طولانی است و آن را در بر گرفته است، آزاد شود . من زمانيكه مي خوانم ،‌ شيفته اين عمل هستم. در نظر من بزرگترين و
زيباترين ملت ها چنين ملتي است حتي اگر زير بار فشارها باشد.
فوریه از تروری که نتیجه انقلاب فرانسه شد، ناراحت شد و تلاش كرد تا از كميته استعفا دهد به هر جهت اين امر غير ممكن بود و فوريه الان كاملاً با انقلاب گرفتار شده است و نمي تواند از ان رهايي يابد.
انقلاب يك كار كاملاً پيچيده‌اي از خيلي جها ت است با اهدافي كاملاً مشابه و عملكردي شديد متقابل با هم . فوريه از اعضا حمايت كرد به نظر مي رسد فوريه از سكوي ويژه‌اي از درون مردم برخواسته است و به خوبي مي تواند صحبت كند و اگر او بماند خواهد ديد كه جامعه اكسر بدون هيچ نگراني خواهد بود. اين رويداد نتايج جدي داشت اما بعد از آن فوريه به اكسر برگشت و به كار در كميته انقلابي و تدريس در دانشگاه ادامه داد . در جولاي 1794 او دستگير شد و به خاطر واقعه اولئان به زندان افتاد . اما پس از چندي – تغيير سياست منجر به آزادي او شد.
در سال 1794 جوزف براي مطالعه در ايكول نرمالي در پاريس كانديد شد. اين مؤسسه براي تربيت معلمان وضع شد و قصد داشت يك روش ديگري براي تربيت معلمان در مدرسه بكار برد . اين مدرسه در جولاي 1795 باز شد و فوريه مطمئناً شاگرد توانايي بود. او از لاگرانژ چیزهای زیادی آموخته بود، لاگرانژ در آن زمان فوریه را اینطور توصیف می کرد :‌ اولين دانشمند مرد اروپا و همچنين لاپلاس كسي كه براي
فوريه بهاي زيادي گذاشت و همين طور منگ كه فوريه در باره او مي گويد : دانشمندي متكبر با صداي بلند و فعال است.
فوريه در كالج فرانسه شروع به درس دادن كرد و رابطه‌اش با لاپلاس و منگ در تحقيقات رياضي‌ شروع شد.
منگ اسم مدرسه را به ايكل پلي تكنيك تغيير داد . در اول سپتامبر 1795 فوريه در ايكل پلي تكنيك در حال درس دادن بود. در سال 1797 موفق شد لاگرانژ را به استادي آناليز و مكانيك منصوب كند او به يك استاد برجسته و مشهور تبديل شده بود.
در سال 1798 فوريه به ارتش ناپلئون در هجوم به مصر مثل يك دانشمند آگاهي دهنده پيوست منگ و ملوس نيز قسمتي از اين نيروي هيدئت اعزامي بودند. اين هيئت اعزامي يك موفقيت بزرگ بود. فوريه يك انجمن پلي تكنيك در فرانسه به كار انداخت و او اميدوار بود كه يك آموزش و پروش رواني در مصر تأسيس كند و يك اكتشاف باستان شناسي انجام دهد.
فوريه يك انجمن مخفي انتخاب كرد این انجمن برای او یک موقعیت بود و تا وقتی مصر در تصرف تمام فرانسه است، با این انجمن است .
ناپلئون ارتش را ترك كرد و به پاريس برگشت .
در سال 1801 فوريه با نيروي اعزامي مانده در مصر به فرانسه برگشت.
در اين زمان فوريه پستش را به عنوان پروفسور آناليز در ايكل پلي تكنيك از سر گرفت .
اما ناراحت بود از اينكه فرهنگستان جهان و پاريس را ترك كند در حالی که نمي توانست در خواست ناپلئون را رد كند و به جرمونل رفت ،جايي كه كارش از فرمانده هم بيشتر بود.
دو موفقيت بزرگ او یکی در وضعيت اداري – سرپرستي كردن اداره آبگذر در باتلاق بركوئين بود و ديگري رسيدگي به کار ساختماني در بزرگراه جديدی بود از جرنونل تا تدوين.
او وقت زيادي صرف كشور مصر كرد.
طي اين مدت فوريه روي رياضيات مهمش كار مي كرد. قضيه گرما كه كار روي اين موضوع را اطراف سال‌هاي 1804 تا 1807 شروع كرد.او قضيه مهمش را روي تكثير گرما در اجسام جامد كامل كرد.
اما کمیته از این بایت احساس، ناراحتی می کردند و دو اعتراض به کار او داشتند :
اعتراض اول :
– بسط تابع فوريه از سري مثلثات توسط لاگرانژ و لاپلاس كه امروزه سری فوریه، نامیده می شود البته فوريه به روشني و به وضوح آنها را متقاعد كرد كه شكست خورده‌اند.
همه نوشته ها به روشني با مثال وجود داشتند.
دومين موضوع « استفاده كردن معادله انتقال دادن گرما :
فوريه به كاغذ بيوت 1804 به عنوان مرجع درست دست رسي نداشت اما كاغذ بيوست حتماً غلط است لاپلاس و پواسون شبيه اين موضوع را داشتند.
انجمن در سال 1811 جايزه مسابقه‌اي را كه موضوع آن تكثير گرما در اجسام جامد بود را براي فوريه فرستاد به عنوان جايزه رياضيات
فوريه در سال 1807 نظريه‌اش را به همه ارائه داد البته او روي خنك كردن جسم جامد محدود از جنس خاك و گرماي شعاعي نیز بسیار کار کرد.
فصل اول
مقدمات
1-1 تعريف :
توابع قطعه‌اي پيوسته
فرض كنيم تابع در همه نقاط بازه باز و محدود جز احتمالاً مجموعه‌اي متناهي از نقاط پيوسته باشد كه در آن :
اگر قرار دهيم و آنگاه تابع در هر يك از زيربازه‌هاي باز

پيوسته است . در نقاط انتهايي لزوماً پيوسته نيست يا حتي تعريف نشده است. اما اگردر هريك از زير بازه‌ها وقتي x از داخل به نقاط انتهايي ميل كند. داراي حد متناهي باشد ،‌گوئيم در بازه به صورت قطعه‌اي پيوسته است. دقيق تر اين است حدود یکطرفه :

وجود داشته باشند.
اگر در نقاط انتهايي يك جزء بازه ، حد f را وقتي از داخل آن جزء به انتهاي آن ميل مي كند نسبت دهيم ،‌آنگاه f در زير بازه بسته پيوسته است. چون
هر تابع كه در بازه بسته و محدودي پيوسته باشد محدود است. پس مي توان گفت f در تمام بازه محدود است يعني عدد مثبتي مانند M هست كه براي همه نقاط )( كه در آن f تعريف شده است. داريم
مثال : تابع در بازه پيوسته است . اما قطعه‌ پيوسته نيست زيرا موجود نيست.
اگر تابعي در بازه بسته پيوسته باشد. آنگاه در بازه باز قطعه‌اي پيوسته است
اما مثال فوق نيز نشان داده است كه پيوستگي در بازه باز مستلزم پيوستگي قطعه به
قطعه در آن نيست.
اگر تابع f در بازه قطعه به قطعه پيوسته باشد، هميشه انتگرال از تا وجود دارد. انتگرال آن برابر است با مجموع انتگرال‌هاي بر جزء بازه‌هاي بازي كه f در آن ها پيوسته است.

اولين انتگرال در سمت راست موجود است چون انتگرال تابعي پيوسته در تعريف شده است كه اگر مقدار انتگرال است و در نقاط و مقادير آن به ترتيب و است . باقي انتگرال‌ها در سمت راست نيز به همين نحو تعريف شده و موجود هستند.
مثال : فرض كنيد و نمودار آن به شكل زير مي باشد.

در اين صورت خواهيم داشت :

همان طور كه مشاهده مي شود مقادير f در نقاط انتهايي تأثيري در مقدار انتگرال بر هر يك از جزء بازه‌ها ندارند . د واقع تابع در تعريف نشده است.
اگر دو تابع و هر يك در بازه قطعه‌اي پيوسته باشند ، آنگاه قسمتي از بازه موجود هست بطوريكه كه در هر زير بازه بسته، چنانچه مقدار هريك از توابع را در هر نقطه انتهايي زير بازه، ‌مقدار حدي آن تابع از داخل زيربازه تعريف كنيم ، هر دو تابع در ان زير بازه
بسته، پيوسته خواهند بود. پس هر تركيب خطي مانند یا حاصلضرب در هر زير بازه داراي آن پيوستگي است. و دربازه قطعه به قطعه پيوسته است. پس انتگرال هاي تابع هاي و و همگي در ان بازه موجودند.
چون هر تركيب خطي از توابع قطعه به قطعه پيوسته ، داراي آن خاصيت است مي توان دسته همه توابع قطعه‌اي پيوسته كه در بازه‌اي مانند تعريف شده‌اند. يك فضاي تابعي بناميم و با نمايش مي دهيم.
فضاهاي تابعي ديگري در نظريه سري‌هاي فوريه مطرح مي شوند. در بررسي سري فوريه از مقدماتي ترين مفاهيم آناليز رياضي استفاده مي كنيم جز وقتي كه خلاف آن گفته شود. وقتي مي گويند تابع در بازه‌اي قطعه به قطعه پيوسته است، بايد دانست كه بازه محدود است و مفهوم قطعه به قطعه پيوسته بودن بدون توجه به اينكه بازه باز يا بسته است به كار مي‌رود.
2-1 حاصلضرب هاي داخلي ومجموعه هاي متعامد :
فرض كنيم f و g نمايش دو تابع باشند كه روي بازه بسته و محدود پيوسته است. اين بازه را به N زير بازه با طولهاي مساوي تقسيم كرده و فرض مي‌كنيم. نقطه دلخواهي در زير بازه k ام باشد.
در اين صورت مي توان گفت وقتي N بزرگ است.

فایل : 152 صفحه

فرمت : Word