مقاله کامل تعاريف و ويژگيهاي بنيادي توابع مثلثاتي
مقاله کامل تعاريف و ويژگيهاي بنيادي توابع مثلثاتي
تعاريف و ويژگيهاي بنيادي توابع مثلثاتي
اندازه كمان بر حسب راديان، دايره مثلثاتي
دانشآموزان اولين چيزي را كه در مطالعه توابع مثلثاتي بايد بخاطر داشته باشند اين است كه شناسههاي (متغيرهاي) اين توابع عبارت از اعداد حقيقي هستند. بررسي عباراتي نظير sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهي اوقات به نظر دانشجويان دورههاي پيشدانگاهي مشكل ميرسد.
با ملاحظه توابع كماني مفهوم تابع مثلثاتي نيز تعميم داده ميشود. در اين بررسي دانشآموزان با كمانيهايي مواجه خواهند شد كه اندازه آنها ممكن است بر حسب هر عددي از درجات هم منفي و هم مثبت بيان شود. مرحله اساسي بعدي عبارت از اين است كه اندازه درجه (اندازه شصت قسمتي) به اندازه راديان كه اندازهاي معموليتر است تبديل ميشود. در حقيقت تقسيم يك دور دايره به 360 قسمت (درجه) يك روش سنتي است. اندازه زاويهها برحسب راديان بر اندازه طول كمانهاي دايره وابسته است. در اينجا واحد اندازهگيري يك راديان است كه عبارت از اندازه يك زاويه مركزي است. اين زاويه به كماني نگاه ميكند كه طول آن برابر شعاع همان دايره است. بدين ترتيب اندازه يك زاويه بر حسب راديان عبارت از نسبت طول كمان مقابل به زاويه بر شعاع دايرهاي است كه زاويه مطروحه در آن يك زاويه مركزي است. اندازه زاويه برحسب راديان را اندازه دوار زاويه نيز ميگويند. از آنجا كه محيط دايرهاي به شعاع واحد برابر است از اينرو طول كمان برابر راديان خواهد بود. در نتيجه برابر راديان خواهد شد.
مثال1-1-1- كماني به اندازه يك راديان برابر چند درجه است؟
جواب: تناسب زير را مينويسيم:
اگر باشد آنگاه يا را خواهيم داشت.
مثال 2-1-1 كماني به اندازه راديان برابر چند درجه است؟
حل: اگر و باشد آنگاه
2- دايره مثلثاتي. در ملاحظه اندازه يك كمان چه بر حسب درجه و چه برحسب راديان آگاهي از جهت مسير كمان از نقطه مبدا A1 به نقطه A2 حائز اهميت است. مسير كمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حركت عقربههاي ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته ميشود. در حاليكه در جهت حركت عقربههاي ساعت منفي منظور ميشود.
معمولاً انتهاي سمت راست قطر افقي دايره مثلثاتي به عنوان نقطه مبدأ اختيار ميشود. نقطه مبدأ دايره داراي مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان ميدهيم. همچنين نقاط D,C,B از اين دايره را بترتيب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داريم.
دايره مثلثاتي را با S نشان ميدهيم. طبق آنچه كه ذكر شد چنين داريم:
3- پيچش محور حقيقي به دور دايره مثلثاتي. در تئوري توابع مثلثاتي نگاشت از R مجموعه اعداد حقيقي روي دايره مثلثاتي كه با شرايط زير انجام ميشود نقش اساسي را ايفا ميكند:
عدد t=0 روي محور اعداد حقيقي با نقطه : A همراه ميشود.
اگر باشد آنگاه در دايره مثلثاتي نقطه را به عنوان نقطه مبدا كمان AP1 در نظر گرفته و بر محيط دايره مسيري به طول T را در جهت مثبت اختيار ميكنيم، نقطه مقصد اين مسير را با Pt نشان داده و عدد t را با نقطه Pt روي دايره مثلثاتي همراه ميكنيم. يا به عبارت ديگر نقطه Pt تصوير نقطه A=P0 خواهد بود وقتي كه صفحه مختصاتي حول مبدا مختصاتي به اندازه t راديان چرخانده شود.
اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محيط دايره در جهت منفي، مسيري به طول را مشخص ميكنيم. فرض كنيد كه Pt نقطه مقصد اين مسير را نشان دهد و نقطهاي متناظر به عدد منفي t باشد.
همانطوريكه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P اين نكته را ميرساند كه نيممحور مثبت اعداد حقيقي در جهت مثبت بر روي S ميخوابد؛ در حاليكه نيممحور منفي اعداد حقيقي در جهت منفي بر روي S ميخوابد. اين نگاشت بكبيك نيست: اگر به عدد متناظر باشد يعني اگر F=P باشد آنگاه اين نقطه نيز به اعداد متناظر خواهد بود:
در حقيقت با افزودن مسيري با طول (در جهت مثبت و يا در جهت منفي) به مسيري به طول t مجدداً به نقطه F خواهيم رسيد. نگاره وارون كامل P-1(Pt) نقطه Pt با مجموعه تطابق دارد.
توجه: عدد t معمولاً با نقطه pt كه متناظر به اين عدد است يكي در نظر گرفته ميشود، با اين حال مسائل بايد به موضوع مطروحه نيز توجه كرد.
مثال4-1-1- همه اعداد را كه متناظر به نقطه با مختصات است تحت نگاشت P بدست آوريد.
حل: بدليل رابطه زير نقطه F عملا روي S قرار دارد:
فرض ميكنيم كه Y,X پاي عمودهاي مرسوم از نقطه F بر روي محورهاي مختصاتي OX و OY باشند (شكل 3). آنگاه بوده و XFO مثلث متساويالساقين قائمالزاويه خواهد بود: بدين ترتيب اندازه كمان AF برابر بوده و به نقطه F فقط اعداد متناظر ميشود.
يك تابع متناوب داراي دورهاي تناوب نامتناهي است؛ به اينصورت كه بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددي بصورت كه در آن به صورت يك عدد صحيح است تابع داراي يك دوره تناوب ميشود. كوچكترين دوره تناوب مثبت يك تابع متناوب را دوره تناوب بنيادي مينامند.
قضيه1-1. توابع و با دوره تناوب بنيادي متناوب هستند.
قضيه 2-1. توابع و با دوره تناوب بنيادي متناوب هستند.
برهان قضاياي 1-1 و 1-2 را با استفاده از نمودارهاي سينوس، كسينوس، تانژانت و كتانژانت، و نيز به كمك دايره مثلثاتي ميتوان بطور عادي اثبات كرد. براي اعداد حقيقي فقط يك نقطه PX روي دايره مثلثاتي متناظر است از اينرو اين اعداد داراي سينوسها و كسينوسهاي يكساني هستند. در همان حال هيچ عدد مثبت كوچكتر از نميتواند دوره تناوب توابع باشد. در حقيقت اگر T دوره تناوب COSx باشد آنگاه cos T=cos (0+t)=cos0=1 خواهد بود. از اينرو به عدد T نقطه Pt با مختصات (1,0) متناظر بوده و در نتيجه عدد T داراي شكل خواهد بود؛ و بدليل مثبت بودن آن را داريم. بطريق مشابه اگر T دوره تناوب تابع sin x باشد آنگاه بوده و به عدد نقطه با مختصات (0.1) متناظر ميشود. از اينرو يا يعني را خواهيم داشت.
براي اثبات قضيه 2-1 به اين نكته توجه ميكنيم كه نقاط به ازاء t نسبت به مبدا متقارن خواهند بود (عدد نيمدور از محيط دايره مثلثاتي را نشان ميدهد) بنابراين مختصات نقاط pt+و pt از نظر قدر مطلق برابر بوده و داراي علائم مختلف خواهند بود. يعني خواهيم داشت.
بنابراين دوره تناوب tan t و cot t محسوب ميشود.
مثال 1-3-1: دوره تناوب بنيادي تابع f(t)= cos t +sin t را بيابيد.
حل: بدليل رابطه تابع / متناوب است:
هيچ عدد مثبت T كوچكتر از بدليل
دوره تناوب تابع f(t) محسوب نميشود. در حقيقت اعداد و مخالف صفر بوده و علائم مختلفي دارند و اعداد و بر هم منطبق بوده و از اينرو داريم:
2- زوج بودن و فرد بودن. بخاطر داشته باشيد كه تابع f در صورتي زوج خوانده ميشود كه به ازاء هر x حوزه تعريف آن -x نيز به آن حوزه متعلق بوده و تساوي
F(-x)=-f(x)
برقرار باشد. تابع f در صورتي فرد خوانده ميشود كه تحت همان شرايط بالا تساوي
F(-x)=-f(x)
برقرار ميشود. يك جفت مثال در مورد توابع زوج بصورت و يك جفت مثال در مورد توابع فرد را ميتوان بصورت ارائه داد. توجه داشته باشيد كه بسياري از توابع فرد و نه زوج هستند. به عنوان مثال تابع
بدليل اينكه به ازاء و است روج محسوب نميشود. بطريق مشابه بدليل تابع x فرد نيز نيست.
قضيه 3-1. توابع sinx، tanx، cotx، فرد و تابع cos x زوج است.
برهان: كمانهاي APT و AP-T را در دايره مثلثاتي كه داراي جها مخالف و اندازههاي مساوي هستند در نظر ميگيريم (شكل 11) اين كمانها نسبت به محور طولها متقارن بودهخ و از اينرو نقاط انتهايي آنها يعني PT(COSt, sin t), p-t(cos (-t), sin (-t) داراي طولهاي مساوي و عرضهاي متقابل هستند؛ يعني: cos –(t)=cos t, sin (-t)=-sin(-t) در نتيجه تابع sint فرد و تابع cot t زوج خواهد بودد از اين گذشته طبق تعريف تانژانت و كتانژانت با شرط در اينجا نيز چنين داريم:
Tan(-t)=
و با شرايط (در اينجا نيز است داريم:
بدين ترتيب توابع tan t و cot t نيز فرد محسوب ميشوند.
مثال4-3-1. ثابت كنيد تابع (t)= sin3 2t cos4t +tan 5t فرد است.
اثبات. توجه داريد كه به ازاء هر t از حوزه تعريف تابع ( يعني با شرط .چنين داريم:
3- يكنواختي. تابع f كه دربازه x تعريف شده در صورتي در اين بازه افزايشي صعودي خوانده ميشود كه به ازاء هرگونه اعدادي مانند با شرط نامساوي برقرار باشد؛ و اگر بين اين مقادير تابع نامساوي ضعيف، يعني برقرار باشد آنگاه تابع f در بازه x ناافزايشي خوانده ميشود. تعريف باتع كاهشي و تابع ناكاهشي نيز بطريق مشابه قابل ارائه است. ويژگيهاي افزايشي يا كاهشي بودن يك تابع يكنواي آن تابع نيز ناميده ميشود. بازهاي كه در آن تابعي افزايش يا كاهش پيدا ميكند بازه يكنوايي آن تابع خوانده ميشود.
يكنوايي توابع sin t و cos t را مورد بررسي قرار ميدهيم. بر روي دايره مثلثاتي و در جهت مخالف حركت عقربههاي ساعت (يعني در جهت مثبت) نقطه pt با حركت از نقطه A=P0 به سوي نقطه (0,1) نمو پيدا كرده و به سمت چپ تغيير مكان ميدهد.
يعني با افزايش T عرض نقطه نيز افزايش مييايد، در حاليكه طول آن كاهش مييابد. عوض PT مساوي SIN T از 0 تا 1 افزايش مييابد و تابع cos t نيز از 1 تا 0 كاهش پيدا ميكند.
قضيه 4-1. در بازه تابع sin t از 0 تا 1 افزايش مييابد، در حاليكه تابع cos t از 1 تا 0 كاهش پيدا ميكند. در بازه تابع sin t از 1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا -1 كاهش مييابد. در بازه تابع sin t از 0 تا -1 كاهش و تابع cos t از -1 تا 0 افزايش پيدا ميكنند. در بازه تابع sin t از -1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا 1 افزايش مييابد.
برهان: استدلال اين قضيه بصورت نموداري ارائه شده است. در اين اشكل نقاط در صدق ميكنند.
قضيه5-1. تابع tan t در بازه افزايش و تابع cot t در بازه كاهش مييابد.
برهان: تابع tan t را مورد ملاحظه قرار ميدهيم. نشان ميدهيم كه به ازاء هرگونه اعدادي بصورت t1 و t2 كه در صدق ميكند نامساوي برقرار است. سه حالت مورد ملاحظه قرار ميدهيم: آنگاه براساس قضيه 1.4 چنين داريم:
از اينجا نتيجه ميشود. بنابراينخواهد بود.. در اين حالت و . بوده و از اينرو
خواهد بود. طبق قضيه 1.4. داريم:
بنابراين يعني حاصل ميشود. اثبات حكم مربوط به cot t نيز بطريق مشابه انجام ميگيرد.
مثال 5-3-1. ثابت كنيد توابع sin(cos t) و cos(sin t) در بازه كاهش مييابند.
برهان: اگر طبق باشد آنگاه بر اساس قضيه 1.4 خواهد بود. توجه داريم كه نقاطي از محيط دايره مثلثاتي متناظر به
اعداد sin t1, sin t2, cos t1, cos t2 در ناحيه اول قرار دارند. دليل امر اين است كه اين اعداد در بازه بسته قرار داشته و است. بنابراين ميتوان مجدداً قضيه 1.4 را بكار گرفت كه به موجب آن به ازاء هر اعدادي مانند و با شرط نامساويهاي زير متقاعد ميشوند:
يعني sin(cos t) و cos(sin t) در بازه توابعي كاهشي هستند.
4- رابطه بين توابع مثلثاتي يك شناسه (متغير). اگر به ازاء مقدار معيني از متغير مثلثاتي مربوط به آن معلوم باشد تحت شرايط معيني ميتوان مقادير ديگر توابع مثلثاتي آن متغير را بدست آورد. با تقسيم طرفين اين اتحاد بر cos2 t (با شرط ) چنين بدست ميآيد:
(1.10)
در اين رابطه است. با استفاده از اين اتحاد ميتوان مقدار tan t را محاسبه كرد با اين شرط كه مقدار cos t را نيز ميتوان با معلوم بودن مقدار tan t و علامت cos t محاسبه كرد.
4-1. حل توابع مثلثاتي ساده. توابع مثلثاثي معكوس.
حل معادله ARE SINE. SIN T= M.
براي حل معادلاتي به شكل SIN T=M لازم است كه همه اعداد حقيقي مانند T را طوري بياييم كه عرض نقطه pt متناظر به آنها برابر m باشد. براي انجام اين كار خط مستقيم y=m را رسم كرده و نقاط تلاقي آن را با دايره مثلثاتي بدست ميآوريم.
فایل : 27 صفحه
فرمت : Word
- کاربر گرامی، در این وب سایت تا حد امکان سعی کرده ایم تمام مقالات را با نام پدیدآورندگان آن منتشر کنیم، لذا خواهشمندیم در صورتی که به هر دلیلی تمایلی به انتشار مقاله خود در ارتیکل فارسی را ندارید با ما در تماس باشید تا در اسرع وقت نسبت به پیگیری موضوع اقدام کنیم.