مقاله مفاهيم آمار و تخمين‌ هاي بيزيني

مقدمه

قبل از دو دهه اخير پيش‌بيني‌هاي اقتصادي بوسيله مدلهاي ساختاري انجام مي‌گرفت كه اكثراً منتج شده از نظريات كنيز بودند از آنجائيكه در آن دوره اين مدلها نتوانستند حوادث مهم اقتصادي را پيش‌بيني نمائيد بنابراين روش برداري‌هاي خود رگرسيوني توسعه پيدا كردند از جمله انتقاداتي كه به اين روش وارد مي‌شود اينست كه اين روش به تخمين بيش از حد مبتلا مي‌باشد براي رفع اين مشكل يك مدل بيزيني توسط ليترمن و همكارانش توسعه پيدا كرد كه در آن اعتقادات پيشين در مورد متغيرها همراه با داده‌ها تركيب و يك چارچوب بيزيني را براي پيش‌بيني كنندگان فراهم مي‌آورد از آنجاييكه اين روش از اطلاعات قبلي در مورد متغيرها استفاده مي‌كند اين امر به ساختن پيش‌بيني‌هاي بيشتر اقتصادي و كمتر هنري كمك مي‌كند در اين فصل ابتدا مفاهيم آمار و تخمين‌هاي بيزيني بيان مي‌شود سپس روش VAR و كاربردهاي آن تشريح مي‌گردد و در قسمت پاياني به تشريح روش BVAR مي‌پردازيم.

ارتباط بين علوم اقتصاد و آمار:

با تمركز به مسئله كميابي در علم اقتصاد، اين علم به ميزان زيادي به مسئله تصميم‌گيري مربوط مي‌باشد. همچنانكه مي‌دانيم سوخت ماشين تصميم اطلاعات مي‌باشد بنابراين روشهايي براي فراهم‌آوردن اطلاعات آماري و ارتباط آن با علم اقتصاد كه منجر به تصميم‌گيري بهينه مي‌شود توسعه پيدا كرده‌اند كه در چارچوب دو روش نظريه كلاسيك نمونه‌گيري و روش بيزيني در علم آمار مورد مطالعه قرار مي‌گيرند. در ذيل به شرح مختصري از اين روشها پرداخته مي‌شود.

روش كلاسيك نمونه‌گيري:

استنتاج آماري با استفاده از روش كلاسيك با استفاده از ويژگيهاي زير مشخص مي‌شود.

الف- تخمين‌ها و روشهاي آزمون بر حسب ويژگيهاي موجود در نمونه آماري ارزيابي مي‌شوند.

ب- احتمال يك حادثه برحسب حد فراواني نسبي آن حادثه تعريف مي‌شود.

پ- هيچ شرطي براي ورد مشاهدات غير نمونه‌اي (nonsample) و اطلاعات زيان (loss information) وجود ندارد.

هنگامي كه تخمين پارامترها با استفاده از روش كلاسيك انجام مي‌شود يك تخمين زننده بدون تورش با مينيمم واريانس مطلوب محقق مي‌باشد زيرا بطور متوسط اين تخمين زننده‌ها به پارامترهاي حقيقي (نسبت به تخمين زننده‌هاي بدون تورش ديگر) نزديكتر هستند. در اين روش تخمين فاصله‌اي و آزمون فرضيه بر حسب ويژگيهاي بزرگ نمونه‌اي، نمونه‌هاي مورد مطالعه ارائه مي‌شود همچنين در روش كلاسيك از آنجايكه پارامترها در نمونه‌هاي تكراري ثابت فرض مي‌شوند، توزيع احتمال براي پارامترها تعيين نمي‌شود.

روش بيزين:

در چارچوب بيزيني احتمال بر حسب يك درجه از اعتقادات تعريف مي‌شود (هر چند كه ويژگيهاي تخمين زننده‌ها و آزمونهايي كه بر روي نمونه آماري انجام مي‌گيريد نيز مورد مطالعه قرار مي‌گيريد اما پايه اصلي براي استنتاج و انتخاب تخمين زننده‌ها نمي‌باشند) در اين روش احتمال يك حادثه بر حسب اعتقادات شخص در مورد اينكه اين حادثه تا چه اندازه محتمل است كه ظاهر شود انجام مي‌گيريد اين اعتقادات ممكن است به اطلاعات كمي و يا كيفي وابسته باشند اما لزوماً به فراواني نسبي حادثه در يك نمونه بزرگ از آزمايش‌هاي فرضي آتي[1] وابسته نمي‌باشد بنابراين در آمار بنزيني احتمال يك مفهوم ذهني (Subjective) و اشخاص مختلف ممكن است احتمال متفاوتي از يك حادثه را ارائه دهند همچنين ويژگي اصلي در تحليل‌هاي بيزيني اينست كه عدم اطمينان درباره مقدار يك پارامتر ناشناخته برحسب توزيع احتمال بيان مي‌شود. در اين روش پارامترها بصورت متغيرهاي تصادفي مورد مطالعه قرار مي‌گيرند و بدين صورت كه نتايج متفاوت از يك آزمايش مصداق‌هاي[2] متفاوتي از يك پارامتر بيان مي‌كند، مورد ملاحظه قرار نمي گيرند. بنابراين توزيع احتمال ذهني بر روي يك پارامتر برحسب آگاهي شخصي، درباره آن پارامتر مي‌باشد اين آگاهي ممكن است قبل از مشاهده اطلاعات موجود در نمونه وجود داشته باشد كه تابع توزيع اين آگاهي شخصي، توزيع پيشين[3] نام دارد همچنين تابع توزيعي كه از تركيب تابع توزيع پيشين و اطلاعات نمونه حاصل مي‌شود تابع توزيع پسين[4] نام دارد. يك نكته مهم در اينجا اينست كه توزيع پسين حاصله مي‌تواند به عنوان يك توزيع پيشين مورد استفاده قرار گيرد زماني كه با اطلاعات نمونه‌اي ديگر در آينده مواجهه مي‌شويم. روشي كه توزيع پيشين را با اطلاعات نمونه براي تشكيل توزيع پسين، تركيب مي‌كند قضيه بيز نام دارد.

طريقه بدست آوردن تابع توزيع پسين:

اگر P(B/A) عبارتست از احتمال وقوع حادثه B به شرط معلوم بودن حادثه A باشد. آنگاه مي‌توان احتمال وقوع حوادث را بصورت زير بيان كرد:

از رابطه فوق نتيجه مي‌شود كه:

كه عبارت فوق به عنوان قضيه بيز شناخته مي‌شود.

حال براي نشان دادن توابع توزيع پيشين و پسين فرض مي‌كنيم كه تابع چگالي احتمال پيوسته باشد اگر  برداري از پارامترها و y برداري از مشاهدات موجود در نمونه‌ براي تابع چگالي پيوسته  باشد در اين صورت تابع  بطور جبري‌ همانند تابع درستنمايي براي   مي‌باشد كه همه اطلاعات نمونه‌اي در مورد  را شامل مي‌شود. در چارچوب بيزيني از آنجايكه توزيع احتمال ذهني براي  وجود دارد ] برداري تصادفي مي‌باشد[. بنابراين بصورت تابع توزيع شرطي y به شرط  مورد ملاحظه قرار مي‌گيريد حال طبق رابطه (1-5) مي‌توانيم بنويسيم:

كه به h تابع چگالي پيوسته براي  و y ، g به تابع چگالي براي  و f به تابع چگالي براي y دلالت مي‌كند حال اگر عبارت فوق را بازنويسي كنيم داريم:

كه اين عبارت همان قضيه بيز مي‌باشد كه در اين عبارت   بيانگر تابع چگالي پسين براي  و  بيانگر تابع چگالي پيشين براي  (اطلاعات غير نمونه‌اي در مورد ) مي‌باشد. از آنجائيكه داده‌هاي نمونه‌اي بصورت ثابت و معلوم در اختيار هستند در نتيجه f(y)  ثابت مي‌باشد بنابراين براي بدست آوردن  اگر داده‌هاي نمونه اي y ثابت باشند مي‌توانيم تابع  را بصورت تابع در ستنمايي  نشان دهيم بنابراين قضيه بيز بصورت زير بيان مي‌شود.

[5]

كه رابطه را بصورت زير نيز مي‌توانيم بيان كنيم

(اطلاعات پيشين) × (اطلاعات درستنمايي)  اطلاعات پسين

رابطه (5-5) نشان مي‌دهد كه چگونه اطلاعات پيشين در مورد  (كه برحسب تابع چگالي پيشين بيان مي‌شود) بوسيله اطلاعات نمونه‌اي (كه بر حسب تابع در ستنمايي  بيان مي‌شود) اصلاح مي‌شود تا اطلاعات پسين در مورد  (كه بر حسب تابع چگالي پسين  بيان مي‌شود) بدست آيد. نمودار (1-5) فرآيند بدست آمدن توزيع پسين را نشان مي‌دهد.

تخمين نقطه‌اي

سؤالي كه در اين قسمت با آن مواجهه مي‌شويم اينست كه چگونه يك تخمين نقطه‌اي براي  انتخاب كنيم بطوريكه زيانهاي ناشي از تخمين بيش از حد[6] و يا كمتر از مقدار واقعي[7] مينيمم گردد.

هنگامي كه تخمين نقطه‌اي بيزيني را انجام مي‌دهيم تخمين‌هاي متعددي بر اساس چگالي احتمال پسين حاصل مي‌گردد. بنابراين بايد مناسبترين تخمين براي  انتخاب شود كه كه اين انتخاب بر اساس تابعي انجام مي‌شود كه تابع زيان[8] نام دارد اگر  مقدار واقعي پارامتر و  مقادير تخمين آن باشد تابع زيان صورت  بيان مي‌شود. نكته‌اي كه بايد به آن توجه كنيم اينست كه با افزايش خطاي تخمين، زيان نيز افزايش پيدا مي‌كند بنابراين انتظار براينست كه   يك تابع افزايش از  باشد همچنين تابع زيان

[1] – future hypothetical experiments

[2] – realizations

[3] – prior distribution

[4] – posterior distribution

[5] –  به معناي متناسب مي باشد.

[6] – overestimation

[7] – underestiamation

[8] – loss function