مقاله در مورد حل دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری جزئی با استفاده از عملگرهای نمائی کسری

/
دانشگاه آزاد اسلامی
واحد علوم و تحقیقات اردبیل
پایان نامه کارشناسی ارشد (M.SC)
رشته ریاضی کاربردی
موضوع
حل دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری جزئی با استفاده از عملگرهای نمائی کسری
استاد راهنما
دكتر ناصر میکاییل وند
استاد مشاور
دكتر محمد یعقوب رحیمی اردبیلی
نگارنده
نگار محمد حسینی خیاو ی
سالتحصیلی 92-91
سپاسگزاري:
با سپاس از آقایان دکتر ناصر میکائیل‌وند و همچنین آقای دکتر محمد یعقوب رحیمی که با زحمات فراوان بنده را در تدوین این پایان نامه یاری نموده
تقديم به:
پدر و مادر مهربانم و همسر عزیزم
فهرست مطالب
عنوان صفحه
چکیده: 1
مقدمه: 3
فصل اوّل ـ تعاریف، مقدمات و پیش نیازها
حساب کسری ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….6
انتگرال ریمان لیوویل…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….11
فصل دوّم ـ معادلات دیفرانسیل کسری جزئی
معادلات دیفرانسیل جزئی………………………………………………………………………………………………………………………………………………………15
تبدیل فوریه………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….17
فصل سوم ـ عملگرها و تبدیل ملیین
وان درپول و تابع ملیین ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 33
تبدیل ملیین………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….35
فصل چهارم ـ کاربرد عملگرهای نمائی کسری در حل معادلات دیفرانسیل کسری جزئی
کاربرد تبدیل ملیین در حسابهای کوانتوم………………………………………………………………………………………………………………………………….50
کاربرد معادلات دیفرانسیل کسری جزئی…………………………………………………………………………………………………………………………………64
فصل پنجم ـ نتیجه گیری 69
مراجع 73
پیوست 75
پیوست الف: واژه‌نامه فارسی به انگلیسی 76
پیوست ب: واژه نامه انگلیسی به فارسی 79
چکیده انگلیسی 80
چکیده:
در این پایان نامه ما قصد داریم با عملگرهای نمائی کسری که یک نمونه بارز آن تبدیل ملیین است را(البته لازم بذکر است که تبدیل های بسیاری مانند تبدیل فوریه،تبدیل چبیشف و… وجود دارد که ما از تبدیل ملیین استفاده کرده ایم) در راستای حل معادلات دیفرانسیل کسری جزئی مانند معادله دیفرانسیل کسری زمان-مکان و همچنین معادله دیفرانسیل کسری فردهولم و میتاژ لفلر و توابع رایت بکار گیریم.لازم بذکراست که دلیل استفاده از تبدیل این است که این معادلات در فضایی مانند فضای باناخ به جواب نمیرسند و ما با کمک تبدیل این معادلات را به فضایی که دارای جواب هستند می بریم و در آنجا به حل آنها می پردازیم.
کلید واژه‌ها: تبدیل ملیین،معادلات دیفرانسیل کسری جزئی، توابع رایت،مقادیر ویژه ماتریس.
مقدمه:
در این پایان نامه ما قصد داریم از عملگرهای نمائی کسری برای حل معادلات دیفرانسیل کسری جزئی استفاده کنیم.حال در این باب به پاره ای از توضیحات اشاره خواهیم کرد. عملگر نمائی زیر را در نظر بگیرید:
𝑒
ʎ[𝑞
𝑥
𝑑
𝑑𝑥
+𝑣
𝑥
]
f(x)=f(x(𝜆))g(𝜆)
در حالیکهg(𝜆)x(𝜆), معادلات دیفرانسیل مرتبه اول دستگاه زیر می باشد[1]:
𝑑
𝑑ʎ
𝑥
𝜆ʎ
=𝑞
𝑥
ʎ𝜆
, 𝑥
0
=
𝑥
0
𝑑
𝑑ʎ
𝑔
ʎ𝜆
=𝑣
𝑥
𝜆ʎ
𝑔
𝜆ʎ
, 𝑔
0
=1
با این عملگرها داتولی راه حلی برای مقادیر کراندار در مسایل فیزیک و نیز ریاضی یافت و دراین امر از تبدیلات انتگرال کمک گرفت همچنین ایشان از این تکنیک برای شرح و توضیح ویژگی های چندجمله ای ها نیز استفاده شایانی نمود[2],[3].
وقتی که ما با عملگرهای نمایی با مرتبه های بالا بشکل
𝑒
ʎ
𝛼
𝑠
𝛼
مواجه می شویم[4] در حالی که α یک عدد صحیح است باید کاری کنیم که مرتبه این عملگر تا حد ممکن و تا مرتبه 1 کاهش یابد .[5]
برای مثال در عملگرهای با مرتبه 2 و3 می توانیم از معادلات گاوس- وایراشتراس و همچنین توابعی بشکل زیر کمک بگیریم[6],[7].
𝑒
ʎ
2
𝑠
2
=
1
𝜋
−∞
∞
𝑒
−€
2
+2ʎ𝑠€
d€
𝑒
ʎ
3
𝑠
3
=
1
𝜋
−∞
∞
𝑒
3
3
ʎ𝑠€
Ai(€) d€
برای عملگر نمایی کسری
𝑒
−ʎ
𝛼
𝑠
𝛼
و برای 1<α−1, 𝛽∈𝑐, 𝑡∈𝑐
فصل اوّل
تعاریف، مقدمات و پیش نیازها
حساب کسری1.1 :
حساب کسری شاخه ای از آنالیز ریاضی است که به شکل زیر نشان داده می شود
D=
𝑑
𝑑𝑥
(1.1)
و توابعی که در این حساب به کار می روند حاوی توان هایی می باشد که برای مثال داریم:
𝑓
2
𝑥
=𝑓
𝑓
𝑥
(2.1)
یا به عبارت دیگر در حساب کسری با عملگری به شکل
𝐷
𝛼
سرو کار خواهیم داشت برای مقادیر حقیقی مقدار n خواهیم داشت
𝐷
𝑛
که وقتی n>0 عملگر را مثبت و وقتی n<0 عملگر را منفی در نظر می گیریم.حال به قضایا و تعاریفی در این زمینه خواهیم پرداخت.
قضیه اساسی حساب و دیفرانسیل 2.1:
فرض میکنیمf بر [a,b] یک تابع پیوسته و a≤𝑥≤𝑏 و F:[a,b]→𝑅 بصورت زیر تعریف شود:
F(x)=
𝑎
𝑥
𝑓
𝑡
𝑑𝑡
(3.1)
نتیجه میشود که F دیفرانسیل پذیر بوده و: F'=𝑓
تعریف 1.1.
تابع 𝛤(0,∞)→𝑅 که بصورت زیر تعریف می شود:
𝛤
𝑥
=
0
∞
𝑡
𝑥−1
𝑒
−𝑡
𝑑𝑡
(4.1)
را تابع گاما اویلر (یا اویلر نوع دوم) گوییم.
ویژگیهاي کلیدي این تابع که براي هدف ما مهم است در زیر به آن اشاره می شود:
𝛤
1
=
0
∞
𝑡
0
𝑒
−𝑡
𝑑𝑡
(5.1)
𝛤
𝑥+1
=
0
∞
𝑡
𝑥
𝑒
−𝑡
𝑑𝑡 =
lim
𝑧→∞ 𝑦→0
𝑦
𝑧
𝑡
𝑥
𝑒
−𝑡
𝑑𝑡
=
lim
𝑧→∞ 𝑦→0
(
−
𝑡
𝑥
𝑒
−𝑡
+𝑥
𝑦
𝑧
𝑡
𝑥−1
𝑒
−𝑡
𝑑𝑡
= x
0
∞
𝑡
𝑥−1
𝑒
−𝑡
𝑑𝑡 = 𝑥𝛤
𝑥
(6.1)

فایل : 78 صفحه

فرمت : Word