هندسه

«همانگونه كه واژه هاي زبان، ما را از عقيده ديگران آگاه مي كند: نمادهاي رياضي، يعني نشانه هاي زبان رياضي هم، وسيله اي است براي اينكه نظر خود را كامل تر، ساده تر و دقيق تر به ديگران بفهمانيم ومفهوم تازه خود را در برابر ديگران بگذاريم»
لوباچفسكي
مقدمه
هندسه هم مانند حساب، يكي از كهن ترين بخش هاي دانش رياضيات است.تاريخ پيدايش آن در ژرفاي سده هاي گذشته است.هندسه در دنياي كهن،بيشتر جنبه كاربردي داشته است و اين دوران خود را، كه طولاني ترين دوران تكامل آن است، در ايلام، بابل،مصر،چين و در واقع در همه سرزمين هاي گذرانده است و همه ملت ها در ارتباط بااندازه گيري، به ويژه اندازه گيري زمين هاي كشاورزي، در ساختن مفهوم هاي هندسي دخالت داشته اند.
مفهوم اصل،قضيه وديدگاه اقليدس:
«اصل» در هندسه، به حكمي گفته مي شود كه بدون اثبات پذيرفته شود؛ در واقع درستي آن با تجربه سده هاي متوالي تاييد مي شود.حكم هايي كه به ياري اصل ها ثابت مي شوند،« قضيه » نام گرفته اند. اثبات،عبارت از استدلالي است كه به ياري آن و به ياري اصل ها، مي توان قضيه را ثابت كرد.قضيه،ترجمه اي از واژه يوناني «ته ئورم» كه به معناي «انديشيدن» است.
اصل ها و قضيه ها را براي نخستين بار،دانشمندان يوناني وارد دانش كردند. ارشميدس(سده سوم پيش از ميلاد) در كتاب هاي خود،بارها از اصل وقضيه استفاده كرده است. تاسرانجام اقليدس(سده سوم پيش از ميلاد) در«مقدمات» خود در سيزده كتاب اصل هاو قضيه هاي هندسي را منظم كرده است.
«مقدمات اقليدس» تنها كتابي است كه در طول نزديك دو هزار سال پس از او، هندسه را به ديگران آموخته است.حتي امروز هم، هندسه دبيرستاني بر اساس مقدمات اقليدس است.
برخي از اصل ها را ،اقليدس «پوستولا» (خواست)ناميده است. براي نمونه،نخستين پوسترلا در «مقدمات» اقليدس، به اين ترتيب تنظيم شده است: «دو نقطه را ميتوان به وسيله خط راست به هم وصل كرد.»
به ظاهر، پوستولاهاي اقليدس،ويژه هندسه است. او اصل هايي را كه عمومي ترند ودر دانش هاي ديگر هم به كار مي روند «آكسيوم» مي نامد. امروز همه اصل ها(آكسيوم ها وپوستولاها) را «آكسيوم» مي نامند كه در زبان فارسي، به «اصل موضوع» معروف اند.
معماي اصل پنجم اقليدس
در طول بيش از دو هزارسال، دانشمندان گمان مي كردند كه هندسه اي جز هندسه اقليدسي وجود ندارد. براساس اين تصور، رياضيدانان تلاش مي كردند پوستولاهاي اقليدس را از ديگر اصل هاي موضوع نتيجه بگيرند. تغيير يافته پوستولاي پنجم اقليدس به وسيله «پولي فر» چنين مي گويد: از يك نقطه
بيرون از يك خط راست، نمي توان دو خط راست موازي با خط راست مفروض رسم كرد.ولي همه تلاش ها براي اثبات اين اصل موضوع ناكام ماند.
رياضيدانان ايراني از جمله فضل حاتم نيريزي وعمر خيام، در اين راه كوشيدند؛ ولي نتيجه اين شد كه اصل موضوع ديگري را به جاي اصل موضوع اقليدس قرا دادند. خيام در كتاب خود كه به اين موضوع اختصاص دارد، چهارضلعي هاي دو قائمه متساوي الساقين را مطرح مي كند. او از چهارضلعي هايي صحبت مي كند كه دو ضلع رو به رو با هم برابر وبر قاعده عمود باشند.بعد ابتدا ثابت مي كند، دو زاويه ديگر اين چهارضلعي باهم برابرند وبا جانشين كردن اصل ديگري به جاي پوستولاي پنجم اقليدس،حاده يامنفرجه بدون دو زاويه ديگر را رد مي كند. طرح خيام به وسيله نصيرطوسي به كشورهاي اروپايي مي رود. از جمله ساكري رياضيدان ايتاليايي، با طرح همان چهارضلعي ها تلاش مي كند اصل موضوع اقليدس را ثابت كند؛ ولي به نتيجه اي نمي رسد.
نيكلاي ايوانوويچ لوباچفسكي (1792-1856)
او را در روسيه متولد شد، پدرش كارمند دولت و مساح زمين بود، وي خيلي زود پدرش را از دست داد.
مادرش وي را ابتدا به دبيرستان قازان و وقتي دبيرستان را تمام كرد، به دانشگاه قازان فرستاد، موفقيت هاي درخشان او در رياضيات، خيلي زود نظر استادان را به خود جلب كرد.
بازرسي دانشگاهي را لوباچفسكي دوست نداشت؛ زيرا با خصلت مستقل او نمي ساخت و در چارچوب اخلاق آن زمان جا نمي گرفت. حتي مساله اخراج لوباچفسكي از دانشگاه مطرح شد و اگراستادش در اين كار دخالت نمي كرد، او را از دانشگاه اخراج كرده بودند. بجز اين ، پافشاري استادان رياضي درباره استعداد لوباچفسكي و پافشاريي كه در دفاع از لوباچفسكي در برابر
رياست دانشگاه كردند،موجب شد او در دانشگاه براي فعاليت هاي علمي و تربيتي بماند.
لوباچفسكي مرحله هاي دانشگاهي را با موفقيت گذراند. در هجده سالگي در رشته فيزيك –رياضي ليسانس گرفت. براي اين كه بتواند فوق ليسانس خود را بگذارند، لازم بود از ازمايشي سخت در زمينه رياضيات بگذرد.
در 23 سالگي، لوباچفسكي به استادي دانشگاه انتخاب شد. در سال 1827 به رياست دانشگاه قازان برگزيده شد و در اين سمت نوزده سال باقي ماند.
هندسه نااقليدسي
مهمترين كشف لوباچفسكي، هندسه او بود.براي نخستين بار در 23 فوريه سال 1826در نشست فيزيك- رياضي، لوباچفسكي كشف خود را ارائه كرد. اين روز را بايد تاريخ تولد هندسه لوباچفسكي دانست.
لوباچفسكي در سال 1826،غيرقابل اثبات بودن پوستولاي پنجم اقليدس را ثابت كرد و به جاي آن اين حكم را گذاشت:« از هر نقطه بيرون يك خط
راست، دست كم مي توان دو خط راست رسم كرد كه خط راست مفروض را قطع نكند.»
لوباچفسكي با اين فرض و پيش بردن قضيه ها، اميدوار بود در جايي به تناقض برسد و در نتيجه اصل اقليدس را با « روش برهان خلف» ثابت كند. ولي با آن هندسه خود را كه بر اصلي متضاد با اصل اقليدس ساخته بود، بسيار پيش برد، در هيچ جا به تناقضي برخورد نكرد.
از اين جا لوباچفسكي نتيجه گرفت كه نمي توان پوستولاي پنجم اقليدس را به ياري اصل موضوع هاي ديگر ثابت كرد و با پذيرفتن همه اصل موضوع هاي اقليدسي ونفي پوستولاي پنجم آن، با جانشين كردن اصل موضوع ديگري به جاي آن ها ،هندسه نااقليدسي را بنيان گذاشت.
لوباچفسكي براين اساس چند نتيجه گرفت:
عمود و مايلي كه برخط راست در يك صفحه رسم شوند،ممكن است يكديگر را قطع نكنند.
مجموع زاويه هاي دروني يك مثلث بستگي به طول ضلع هاي مثلث دارد و از يك مثلث به مثلث ديگر تفاوت مي كند ؛ ولي هميشه ازدو قائمه كمتر است.
مجموع زاويه هاي دروني يك چهارضلعي كوژ(محدب)كمتر از 4d (چهارقائمه) است و از اين جا نتيجه گرفت:مستطيل وجود ندارد.
شكل هاي متشابهي كه ضريب تشابهي غيراز واحد داشته باشند وجود ندارد. براي مثلث مفروض نمي توان مثلثي ساخت كه با آن متشابه باشد؛ ولي برابر نباشند.
دايره اي كه محيط بر مثلث باشد،براي هر مثلثي نمي توان رسم كرد.
مكان هندسي نقطه هاي هم فاصله نسبت به يك خط راست در صفحه ، خط راست نيست بلكه يك خط منحني است.
لوباچوفسكي انديشه هاي خود را در نشريه اي كه خودش برپا كرده بود و در مقاله هاي «درباره مقدمات هندسه» (1829-1830) ،«هندسه تخيلي» (1835)،«برخي كاربردهاي هندسه تخيلي»(1836)،«مقدمات تازه هندسه به ياري نظريه موازي ها» (1835-1838) ،«بررسي هاي هندسي درباره نظريه موازي ها» (1840 )و«هندسه»(1855) منتشر كرد.
لوباچفسكي تلاش مي كرد تا دانشمندان را با نظريه خود آشنا و آنها را قانع كند و براي اين منظور، به دنبال كاربر هندسه خود بود. از جمله، او به آزمايش دليرانه اي اقدام كرد كه هندسه خود را با مشاهده هاي اخترشناسي تحقيق كند او مثلثي را در نظر گرفت كه راس هاي آن را سه ستاره ثابت تشكيل مي داد. به ياري اندازه گيري مي خواست ثابت كند كه براي چنين مثلثي، مجموع زاويه هاي دروني،كمتر از دو قائمه است.
لوباچفسكي حتي در سال هاي مصيبت و تيره روزي هم كار خود را ترك نكرد(از دست دادن كار دانشگاهي، مرگ پسربزرگش و وخيم شدن وضع
مادي زندگي).او نيروي خود را به سرعت از دست داد و در ضمن نابينا شد. در سال پيش از مرگ خود كه نابينا بو،لوباچفسكي تاليف تازه خود را به شاگردانش ديكته ميكرد. اين تاليف درباره هندسه عمومي بود كه در آن گفته مي شد هندسه معمولي (اقليدسي) حالت خاصي از هندسه لوباچفسكي است. اين اثر وقتي كه ديگر نويسنده آن از دنيا رفته بود، به وسيله دانشگاه قازان چاپ شد.
24 فوريه 1856 .نيكلاي ايوانوويچ لوباچفسكي چشم از جهان بست. او شاهد به رسميت شناختن هندسه خود از طرف رياضيدانان نبود.
نيكلاي ايوانوويچ لوباچفسكي، مردي فعال و ميهن دوستي به معناي واقعي بود.او يكي از روشنگران روسي بود. بدون اين كه ازكارهاي دانشگاهي طفره برود مدرسه ها را بازديد مي كرد.
براي آنها كتاب درسي مي نوشت و راه زندگي را به آنها نشان مي داد. از جوانان مي خواست، شهروند خوبي براي مملكت باشند «ودر پي افتخار ميهن خود باشند»
لوباچفسكي كتاب هاي درسي را در زمينه جبر و هندسه نوشت. «دوره هندسه» را در سال 1823 با شيوه خود و براساس تجربه سال ها وانديشه درباره هندسه نوشت.اين كتاب به ظاهر براي كساني نوشته شده است كه به تازگي با رياضيات آشنا شده اند و مي خواهند آگاهي ودرك خود را از هندسه بالا ببرند. به نظر لوباچفسكي، هندسه براي اين نيست كه از روي كتاب اقليدس، همه چيز به طور انتزاعي فهميده شود بلكه براي آن است كه حقيقت دوروبر خودرا بهتر بشناسيم و آن را به كار ببريم.
لوباچفسكي در كتاب درسي خود، هندسه را به دو بخش روي صفحه و درون فضا تقسيم نمي كند و هر جا مطلبي از هندسه را روي صفحه مطرح مي كند، به حالت فضايي آن هم مي پردازد.
كتاب لوباچفسكي در زمان خودش چاپ نشد. به اين امر كهنه پرستي،جمود فكري و گذراندن مسير اداري پيشگفتار هم كمك كرد تا چاپ اين كتاب را تا سال 1909 به عقب بيندازد.
آيا هندسه لوباچوفسكي ،يك هندسه واقعي است؟
پيش از آن كه به اين پرسش پاسخ دهيم، بايد ببينيم از مفهوم نقطه، خط راست وصفحه، چه بايد فهميد.
نقطه،خط راست وصفحه، موضوع هايي از سه مقوله هستند كه ويژگي هاي آنها در دستگاه اصل موضوع هاي هندسه، شرح داده شده است. اصل موضوع چيست؟ آيا دستگاه اصل موضوعي درست است؟
اصل موضوع به چنان فرض هاي هندسي گفته مي شود كه بدون اثبات پذيرفته مي شود و نقطه آغازي براي آشكاركردن مفهوم هاي نقطه خط راست وصفحه به شمار مي روند. براي نمونه مي توان از يك هندسه با تعبير «غيرعادي» نام برد كه در آن «نقطه» كره اي به شعاعr ،«خط راست» استوانه
بي آغاز و بي پايان به شعاع r «صفحه » به عنوان صفحه اي موازي با يك تيغه به ضخامت 2r معرفي مي شود.
در مدرسه خط راست به عنوان «نخ كشيده» وصفحه به عنوان سطح صاف وصيقل خورده اي همچون سطح آيينه معرفي ميشود.(وبه اين ترتيب ساده ترين تعبير از خط راست و صفحه به عمل مي آيد) ما روي صفحه كاغذ مثلثي رسم مي كنيم.
ضلع هاي آن را در تفسير عادي خط هاي راست به شمار مي آوريم. اگر كاغذ خود را به صورت يك استوانه درآوريم، آن وقت ضلع هاي مثلث روي سطح استوانه در حالت كلي به صورت خميده در مي آيند. البته اگر استوانه را بگسترانيم اين خط ها دوباره به صورت خط هاي راست در مي آيند. خط هاي روي سطح استوانه كه پس از گسترش سطح استوانه اي روي صفحه ، به خط راست تبديل مي شوند،«خط هاي ژئودزيك استوانه» ناميده مي شوند. خط
هاي ژئودزيك يك سطح، به كوتاه ترين خط هايي (از نظر طول) گفته مي شود كه دونقطه از آن سطح را به هم وصل مي كند.
اگر «نقطه » را روي سطح استوانه اي و «خط راست» را خط هاي ژئودزيك استوانه بگيريم، آن وقت هندسه اقليدسي درباره آنها صادق است.(درست به همان گونه صفحه معمولي )در واقع مجموعه زاويه هاي دروني مثلث ژئودزيك، برابر 2 قائمه است و اين يكي از هم ارزهاي پوستولاي پنجم اقليدس است.
ببينيم چه هندسه اي درباره كره صادق است ؛به شرطي كه «نقطه» را نقطه هاي واقع بر سطح كره و «خط هاي راست» را خط هاي ژئودزيك كره در نظر بگيريم (بايد توجه داشت كه سطح كره را نمي توان روي صفحه گسترد و بنابراين خط هاي ژئودزيك آن را به خط هاي راست تبديل كرد).
خط هاي ژئودزيك سطح كره، كمان هايي از دايره عظيمه هستند. كمان هاي دايره هاي عظيمه، كه مركزشان در مركز كره است دو به دو يكديگر را قطع
مي كنند. بنابراين روي سطح كره«خط هاي راست» موازي وجودندارند؛ يعني روي سطح كره،نمي توان از نقطه اي در خارج يك «خط راست»،«خط راستي» موازي با آن رسم كرد. از ويژگي هاي خط ژئودزيك كره، اين كه اگر مثلث كروي با آنها ساخته شود، در حالت كلي مجموع زاويه هاي دروني آن بيشتر از دو قائمه است.
هندسه لوباچفسكي در سطح هاي واقعي صدق مي كند.معلوم شده است اين هندسه در سطح شبه كره صدق مي كند.
اگر روي اين سطح يك مثلث ژئودزيك رسم كنيم، مجموع زاويه هاي دروني آن از دو قائمه كمتر است؛ يعني همان كه لوباچفسكي در هندسه خود ثابت كرد.
به اين ترتيب، هندسه روي صفحه لوباچفسكي، تفسير واقعي خود را روي سطح شبه كره پيدا مي كند.
ديگران وفرضيه لوباچفسكي
هندسه لوباچفسكي، انقلابي واقعي در رياضيات بود. برخي از دانشمندان ( از جمله كليفورد رياضيدان انگليسي) او و كارش را همسان كپرنيك در اخترشناسي خواندند. ولي پروفسور «و.ف.كاگان» دانشمند شوروي، اين مقايسه را ناكافي مي داند.
پروفسور كاگان مي نويسد:
«من خوشحالم اعلام كنم:حكم ساكن بودن خورشيد و حكم چرخيدن زمين،ساده تر از آن است كه حكم كنيم: مجموع زاويه هاي يك مثلث كمتر از آن است كه فكر مي كنيم»
(در هندسه لوباچفسكي،مجموع زاويه هاي دروني يك مثلث،هميشه از دو قائمه كمتر است).
گوس،رياضيدان برجسته، هم عصر با لوباچفسكي بود. وقتي با نظريه لوباچفسكي آشنا شد در نامه هايي كه به دوستانش نوشته بود،اعلام كرد كه
به لوباچفسكي به صورت يك مولف مي نگرد كه «درباره هندسه همچون يك خردمند بحث كرده است» ولي نظر خود را جايي چاپ نكرد يا به خود لوباچفسكي اطلاع نداد؛ در حالي كه لوباچفسكي تاييديه يك رياضيدان بزرگ را نياز داشت.
كاربرد كشف لوباچوفسكي در هندسه
كشف هندسه لوباچفسكي ،يك دوره كامل را در دانش گذرانده است و در فيزيك امروزي، كاربرد خود را به دست آورده است. از جمله،فضاي نظريه مكانيك امروزي، برانديشه هاي لوباچفسكي استوار است.
منابع:
1-رياضي دانان نامي –اريك تمپل بل
2-تاريخ رياضيات جلد 2 هاوارد ايوز

فایل : 18 صفحه

فرمت : Word