طول كمان

طول كمان، مساحت و تابع Arcsine
-مجله رياضيات ، مارس 1983، جلد 56، شماره 2 صفحات 110-106
-توصيف هندسي مقاله ها جبري يك محرك اصلي براي حساب ديفرانسيل وانتگرال مقدماتي ايجادمي كند.
عناوين حساب ديفرانسيل وانتگرال بوسيله هندسه تحليلي در بسياري از متن هاي مقدمه
وابستگي به شروع هاي عكس دار در گسترش انتگرال معين و مشقق اشاره مي كند.
در حالي كه فاكتورهاي هندسي ، بسياري از نمادهاي توابع مثلثاتي ومشتق هاي آنها را كنترل كننده يك راه حل تقريبا جامع براي روشهاي جبري را معرفي و مطالعه توابع مثلثاتي معكوس وجود دارد اين نتكه نشان مي دهد چطور مفاهيم جبري در تعاريف انتگرال معين، مثلثاتي
ومشتق هاي آنها در بحث تطابق توابع معكوس ممكن است ادامه پيدا كند. مرجع در رابطه با اين مفاهيم جبري نسبت به توسعه نظريه بيضي و روش الوار(Eluer) در كشف قضيه هاي ضميمه جبري را سينوسهاي دايره اي هذلولي و lemniscare ايجاد خواهد شد.
حساب ديفرانسيل وانتگرال نمونه در مقابل arcsine بعنوان طول كمان با در نظر گرفتن ]1[ و ] 3[ بعنوان نمونه هايمان، يادآوري مي كنيم كه در كتاب جديد درسي استاندارد، بعد از آنكه انتگرال معين تعريف شده است . كاربردهايي شامل مساحت بين دو منحني وفرمول طول كمان مي شود از آنجائيكه تكنيك هاي انتگرال گيري كمي در دسترس مي باشد. مشكلات طول كمان به كمان هاي باريك y=f(x) تا حدي كه انتگرال بطور خاصي ساده باشد وگاهگاهي
توجيه يك نويسنده براي نبود كاربردهاي مناسب پيشنهادي شود.(ببنيد ]3[ صفحه 429)
بعد از مقوله توابع مثلثاتي مروري از اندازه گيري راديان بطوريكه طول كمان از نقطه (0و1) روي دايره واحد اندازه گيري مي شود. Cosine , sine يك عدد حقيقي بعنوان مختصات sineو cos يك عدد حقيقي بعنوان مختصات نقطه (x,y) روي دايره واحد راديان هاي از (0و1) (شكل 1 را ببنيد) سپس خصوصيات sine و cos از تشابهات دايره و ديگر توابع مثلثاتي كه در اصطلاح هاي cosin ,sine تعريف مي شود ناشي مي شود. مشتق هاي cosine ,sine بعنوان نتايج 1(sin)/= ايجادمي شود. اين حد از طريق برابر گرفتن طول كمان در امتداد لبه دايره واحد با مساحت بخشي كه بوسيله كمان ( در شكل 2و 2= مساحت AOB)
وسپس قراردادن اين مساحت مابين دو ناحيه مثلث شكل برقرار مي گردد.
بعد از مطالعه حساب ديفرانسيل وانتگرال توابع مثلثاتي (f(x)) مطابق توابع معكوس ( از طريق معكوس گرافهاي كه مي شود
همچنين ساخت انتخابهاي قرادادي براي مقادير اصلي ]6[ را ببينيد صفحات 295-6) وسپس محاسبه از يكتا بودن جستجوي ميشود.
شكل 2 شكل 1
شكل 4 شكل 3
در مقابل استخراج كردن تعاريف وخصوصيات توابع معكوس تابعarcsine در يك روش بيشتر هندسي ميتواند بدست آيد.از آنجائيكه sin بعنوان مختصات y از نقطه اي روي دايره واحد تعريف شود طول يك كمان بعد از (0و1) يك سوال هندسي براي وارونه كردن اين تابع خواهد پرسيد
مختصات دوم نقطه داده شده y مي باشد طول كمان از كجا مي آيد؟
دو جواب كوچك براي اين سوال وجود دارد. (شكل 3 را ببنيد) وسپس هر كدام با ضرب در 2 بيشتر جدا مي شوند مقدار اصلي تابع sin معكوس ممكن است بطور طبيعي بعنوان كمترين فاصله از نقطه تعيين شده و(0و1) ومعرفي شود كه اين عملي خواهد شد و اين طول كمان ممكن است طول كمان y ناميده و نوشته شود يا sine معكوس y
ناميده و نوشته شود.از علامت براي يادآوري اين بحث استفاده خواهيم كرد بنابراين تابع arcsine شامل جايي كه ميباشد.
از آنجائيكه arcsin(y) يك طول كمان است. فرمول طول كمان مي تواند براي از t=y تا t=0 (شكل ها را ببنيد) براي فهميدن اينكه

بكار رود وسپس بوسيله نظريه بنيادي حساب ديفرانسيل وانتگرال به اين صورت ادامه پيدا مي كند كه
از آنجاييكه وهمچنين يك مثال ساده از يك انتگرال نادرست داريم:

در ty معكوس، استدلالي مشابه، يك تابع arctangent توليد مي كند arctg(w)= بامقدار اصلي تا حدي كه arctan (w) فاصله اي درامتداددايره واحد از (0و1) تا نقطه (x,y) بوسيله از آنجاييكه مي توانيم y/x=w براي پيدا كردن حل كنيم از فرمول طول كمان (1) داريم

جايگزين كردن متغير بطوريكه t=0 موقعيكه u=0 و موقعيكه u=w پيدا مي كنيم كه:

براي secant معكوس w (جايي كه ،اگر كوچكترين طول كمان مثبت از (0و1) به نقطه اي با مختصات 1/w جستجو كنيم. يك تابع arcsecant بدست مي آوريم.
با مقدار اصلي براي w>1 طول كمان مي باشد(شكل 5 را ببنيد) بنابراين داريم

و بنابراين

براي w<-1 بواسطه تناسب داريم كه
براي W1 طول كمان مي باشد (شكل 5 را ببينيد) بنابراين داريم:

و بنابراين

براي w<-1 بواسطه تناسب داريم كه

و بنابراين

و بدين گونه

شرح فرمول را حذف مي كنيم
شكل 6 شكل 5
بطوريكه يك محاسبه انتگرال نادرست دقيق بدست مي آيد.
فرمولهايي براي cosine معكوس، Gosecant , cotangent مي تواند از طريق استدلالهاي مشابه بدست آيد.
مساحت و arcsine
بياييم حالا arcsine را بعنوان يك مساحت بررسي كنيم. در نظر بگيريد 0<y<1 داده شده است وهمچنين در نظر بگيريد A مساحتي را مشخص مي كند كه بوسيله خط دايره ومحور t=0 (شكل را ببينيد) از آنجاييكه طول كمان منطبق بر لبه دايره واحد مساوي دو برابر مساحت بخش مشخص شده بوسيله كمان مي باشد، داريم كه:

مشتق گرفتن (2) داريم:
مانند قبل
متناوبا عبارت انتگرال (2) براي arcsin(j) يك مثال براي انگيزش از طريق فرمول انتگرال گيري جزء به جزء

بنابراين

اما بعد

مانند قبل
گسترش arcsin بعنوان مساحت محدود شده بوسيله محور x دايره از t=0 تا t=y و خطي از مبدا به نقطه ممكن است براي پيدا
كردن sine مدلولي معكس با هندلولي تطبيق يابد. بهر حلال بر خلاف دايره هيچ رابطه ساده اي ميان طول كمان و مساحت براي هندلولي وجود ندارد.7,6[4] را ببينيد براي نماد طول يك كمان روي هندلولي (1) را ببينيد، مترادف ساختار هندسي 61 مي باشد. بعبارت ديگر يك برنامه مشابه براي توسعه يك lemniscate sin استفاده از lemniscate بجاي دايره بايد در روابط طول كمان بايد انجام شود.(]4[ و 8 را ببينيد)
گويا كردن arcsine
حالا مشكل بيان تابع زير انتگرال در (1) بعنوان يك تابع گويا تغيير مي دهيم كه اينگونه باشد مي خواهيم بيان كنيم كه بعنوان مربع يك تابع گويا مي باشد. اگر در نماينده دو متغيره سه گانه هاي فيثاغورثي ،

b=u , a=1 بگيريم سپس

يا

و بنابراين جايگزيني نتيجه خواهد دارد كه :
سپس انتگرال معين مي شود

و تابع زير انتگرال گويا شده است با حل كردن بازاي u، متوجه مي شويم كه با مساوي گرفتن t با sin مي بينيم كه و عبارت براي u با علامت منفي مي شود

و نتيجه گرفته ايم جايگزين گوياسازي انتگرال هاي مثلثاتي مي شود. اين توسعه را با نوعي عمليات از كشف شده است در ]6[ صفحه 368
فرمول جمع sine الوئر
در بخش مقدمه ]5[ سيگل تحقيق فاگنانو درباره طول كمان روي lemniscade را توضيح مي دهد (پيشرفت ما در arcsine دايره را بدنبال مي آورد)
و مي انديشد كه كشف سال 1718 فاگنانو درباره يك ساختار هندسي بريا دو برابر ك ردن طول كمان lenscate از تلاش او براي گويا كردن تابع زير راديكال lemnisate sin بدست مي آيد. سي و پنج سال بعد الوئر نظريه دو برابر سازي فاگنانو را به يك نظريه ضميمه جبري براي lemniscate sin گسترش مي دهد واو اندكي پس از آن اين كشفش را به انتگرال هيا بيضي شلك عموميت ميدهد. سيگل (] 5[ صفحه 10 ) توضيح مي دهد كه هدف فصل اول فهم كاملتر از نظريه الوئر مي باشد كه از نظريه توابع تحليلي روي حوزه تكميلي تعريف آنها نتيجه مي گيرد.
از صحبتمان درباره arcsine در رابطه با نظريه ضميمه جبري براي arcsine تطبيقي از 595 و 586 از ]2[ نتيجه مي گيريم. (همچنين ]2[ را ببنيد نوك برآمدگي v1 براي تحقيق الوئر درباره
انتگرال هاي بيضوي فصل 4 و ]5[ ،2 ) بيابيد T را يك زاويه ثابت در نظر بگيريد و همچنين هر كد ام از دو زاويه ها باشد. از آنجاييكه جمع ثابت است ، مي شود و اگر قرار دهيم مي توانيم دوباره بنويسيم مانند

و بنابراين معادله متغير مشتق آن را داريم.
(4)
يك راه حل جبري براي موضوع حالتي كه جستجو مي كنيم
نظر اصي الوئر اين بودكه اگر با معادله مرتبه 2 متقارن شروع كنيم
(5)
جايي كه k,a ثابت هستند مي توانيم مربع طرف چپ يكي از u يا v را در اولين مرحله كامل كنيم
,
بنابراين

(6)
در حالي كه در مرحله دوم داريم

بنابراين
(7)

اگر از معادله (5) مشتق بگيريم، مي فهميم كه

كه بعداز جمع عبارت ها و با استفاده از ]6[ و]7[ مي شود،
(8)

اگر در نظر بگيريم سپس معادله ]8[ همانند ]4[ مي شود و بنابراين اگر بتوانيم شماره ]5[ را بجاي k از مقدار a استفاده كنيم به يك راه حل براي ]4[ خواهيم رسيد كه بر مقدار ثابت در اصطلاحات دلالت مي كند
با جايگزيني مقدارمان بجاي a داخل ] 5[ و آرايش دوباره آن داريم

وبا مجذور كردن هر دو طرف ميدهد

با قراردادن b=u, a=v در معادله (3) و حل كردن براي مي توانيم دوباره آنرا بنويسيم مانند
از آنجائيكه ]10[ يك درجه دوم در مي باشد مي توانيم مجذور را با توجه به بدست آوريم

با توسعه عبارتهاي با هم جمع شده و حذف فاكتورهاي مشترك طرف راست ]11[ ممكن است بصورت نوشته شود. با گرفتن ريشه هاي مجذور داريم

با دوباره دسته بندي كردن جمله مانند مي بينيم كه طرف راست رابطه ]13[ يك مربع كامل است وبنابراين

با برگشت به زاويه ها ، k ثابت مي باشد در حاليكه و بنابراين فرمول جمع sin را داريم

فایل : 21 صفحه

فرمت : Word