مقاله فارسی مشتق و مفاهيم

به نام ايزد منان
مشتق و مفاهيم
1- از تعريف مشتق استفاده كنيد و فرمول مشتق حاصلضرب (uv) دو تابع مشتقپذير u و v را بيابيد.
2- مشتق تابع زير را بيابيد.

3- را بيابيد.

4- اگر را بيابيد. براي اينكه مشتق وجود داشته باشد، چه محدوديتهايي بايد براي دامنه‌ي a قائل شويم؟
5- با توجه به تعريف مشتق تابع، در نقطه‌ي x=1 مقدار را بدست آوريد.
6- در تابع مقدار را بدست آوريد.
7- مشتق تابع را بدست آوريد.
8- نشان دهيد كه تابع در معادله‌ي زير صدق مي‌كند:
9- توابع مفروض‌اند. آيا اين توابع در x=0 مشتق دارند؟ در صورت وجود آنها را تعيين كنيد.
10- نشان دهيد كه تابع كه در آن تابع Q(x) پيوسته است و ، در نقطه‌ي x=a مشتق ندارد. مشتق‌هاي چپ و راست را در اين نقطه بيابيد.
11- مشتق توابع زير را از تعريف مشتق حساب كنيد.

12- تابع f(x)= xsgnx چطور بايد در x=0 تعريف شود كه در اين نقطه پيوسته باشد؟ آيا در اين صورت در اين نقطه مشتق‌پذير است؟
13- نشان دهيد كه مشتق يك تابع مشتق‌پذير فرد، زوج بوده و مشتق يك تابع مشتق‌پذير زوج، فرد است؟
14- با استفاده از تفاضل مكعبات: مشتق را مستقيما از تعريف مشتق حساب كنيد.
15- تابع در كجا مشتق‌پذير نيست؟
16- مشتق توابع داده شده را حساب كنيد.

17- مشتق زير را بيابيد.
خطوط مماس و شيب آنها:
18- معادله‌ي خط مماس بر منحني داده شده در نقطه‌ي ذكر شده را بيابيد.
در
در
19- شيب منحني در نقطه‌ي را بيابيد. معادله‌ي خط مماس بر به شيب 3- چيست؟
20- خط x+y=k به ازاي چه مقدار از ثابت k به منحني قائم است؟
21- آ) شيب در نقطه‌ي x=a را بيابيد.
ب) معادلات خطوط مستقيم به شيب 3 و مماس بر را بيابيد.
22- آيا نمودار تابع f در نقاط داده شده خط مماس دارند؟ اگر چنين است، خط مماس چيست؟
در x=1
23- معادله‌ي خط مماس بر منحني در را بيابيد.
24- نشان دهيد كه منحني دو مماس دارد كه از نقطه‌ي محور x مي‌گذرد.
25- نشان دهيد كه نمودار در مبدأ داراي مماس نيست.
26- آيا منحني داده شده دو مماس عمود بر هم دارد؟

27- در چه نقطه از منحني مماس بر خط y=x عمود است؟
28- به ازاي چه مقاديري از b,m، تابع

در a مشتق پذير است؟
29- منحني مماسي دارد كه از (1و0) مي‌گذرد. آن را بيابيد.
30- معادلات خط مماس و خط قائم به منحنيهاي زير را بنويسيد:
به سهمي در نقطه‌اي به طول، 5/0-= x.
31- معادلات خطوط مماس به منحني را در نقاط تلاقي با سهمي را بنويسيد.
32- نشان دهيد كه تابع در نقطه‌ي x=0 خط مماس ندارد. زاويه‌ي بين خطوط مماس چپ و راست در اين نقطه چقدر است؟
33- خط y=3x+b بر خم مماس است. مقدار b و نقطه‌ي تماس را بيابيد.
34- معادله‌ي خط عمود بر مماس بر خم در نقطه‌ي (3و2) را بيابيد.
35- خمهاي و در نقطه‌ي (0و1) بر هم مماس‌اند. مطلوبست تعيين c,b,a.
36- مطلوبست طول از مبدأ و عرض از مبدأ خط مماس بر خط در .
37- خط قائم بر خم در (0و1) آن را در چه نقاط ديگري قطع مي‌كند؟
38- نشان دهيد كه قائم بر دايره‌اي در هر نقطه‌ي () از مركز مي‌گذرد.
39- شيب را در مبدأ بيابيد. معادله‌ي خط مماس در مبدأ را تعيين كنيد.
قاعده‌ي زنجيري
40- اگر و را بر حسب t بيان كنيد.
41- با استفاده از قاعده‌ي زنجيري، را بيابيد و نتيجه را بر حسب t بيان كنيد.

42- اگر ، ، را بيابيد.
43- اگر و ، را بيابيد.
44- اگر و و را بيابيد.
45- اگر و و را بيابيد.
46- مقدار (d/dt)(gof) را به ازاي tي داده شده بيابيد.

47- جسمي در حال سقوط است. در لحظه‌اي كه جسم S تراز نقطه‌ي آغاز فاصله دارد، سرعت آن متر (ثابت) در ثانيه است. نشان دهيد كه شتاب جسم ثابت است.
48- فرض کنید ، نشان دهید هر چند g در x=0 مشتق ندارد،‌ولی fog و gof هر دو در x=0 مشتق دارند. آیا این امر قاعده‌ی زنجیری را نقض می‌کند؟ توضیح دهید.
49- اگر و ، را بیابید.
50- از مشتق بگیرید.

51- را در صورتی بیابید که
52- مشتق توابع زیر را بیابید.

53- را در صورتی بیابد که
54- آیا با قاعده‌ی زنجیری می‌توانید مشتقهای و را در x=0 حساب کنید؟ آیا توابع در x=0 مشتق دارند؟ چرا؟
مشتق توابع مثلثاتی
55- فرمول مشتق را حساب کنید.
56- مشتق توابع زیر را حساب کنید.

57- به فرض آنکه sin2x=2sinxcosx ، نتیجه بگیرید که

58- معادله‌ی خط مماس بر منحنی در نقطه‌ای که x=60 را بیابید.
59- نقاطی از منحنی را بیابید که در آنها قائم موازی خط باشد.
60- مقادیر b,a را چنان بیابید که

در مشتق پذیر باشد.
61- را بیابید.

62- مشتق تابع در نقطه‌ی بدست آورید.
«قضیه مقدار میانگین» (صعودی و نزولی – قضیه‌ی ژل)
63- تابع در چه نواحی صعودی است؟
64- به ازای کدام مقادیر m تابع همواره صعودی است.
65- تابع در چه بازه‌ای صعودی است.
66- به ازای چه مقادیری از a تابع همواره صعودی است؟
67- نشان دهید که به ازای x>0 و ،

68- فرض کنید . ا.گر x>0 یا ، نشان دهید که
69- بازه‌های صعودی و نزولی را بیابید.

70- قضیه‌ی مقدار میانگین را با یافتن نقاطی در بازه‌ی باز (a,b) که در آنها خط مماس بر موازی و تر واصل بین (a,f(a)) و (b,f(b)) است، توضیح دهید.
بر ]2و1[ بر
سرعت و میزانهای تغییر:
71- میزان تغییر ضلع s یک مکعب نسبت به حجم v آن را بیابید. نقاط بحرانی توابع تمرینهای زیر چیست‌اند؟ هر تابع بر چه بازه‌هایی صعودی و نزولی است؟

72- میزان تغییر طول ضلع یک مربع نسبت به مساحت را وقتی مساحت 16 مترمربع است بیابید.
73- درصد تقریبی تغییرات در تابع داده شده‌ی y=f(x) ناشی از افزایش 2٪ در مقدار x را بیابید.

74- یک توپ از بالای یک برج 100 متری با سرعت اولیه‌ی 2 متر بر ثانیه به پایین پرتاب شده است. ارتفاع توپ از سطح زمین پس از t ثانیه مساوی است با .. چقدر طول می‌کشد تا به زمین برسد؟ سرعت متوسط آن در مدت سقوط چقدر است؟ در چه لحظه‌ای سرعت توپ با سرعت متوسطش یکی است؟
75- مکان جسمی در زمان t، است. شتاب جسم را وقتی که سرعت صفر باشد، بیابید.
76- ذره‌ای روی یک محور حرکت می‌کند و موضع آن را تابع که در آن s بر حسب متر، و t بر حسب ثانیه است به دست می‌دهد. وقتی که t=6 ثانیه، سرعت و شتاب ذره چقدر است؟
77- تابع مفروض است. مطلوبست تعیین نقاطی که در آنها میزان تغییرات تابع مینیمم باشد.
78- سرعت یک متحرک در حرکت مستقیم الخط از دستور به دست می‌آید. شتاب متحرک را چهار ثانیه بعد از حرکت بیابید.
79- موضع یک ذره‌ی متحرک در امتداد خطی مستقیم در لحظه‌ی عبارت است از . سرعت و شتاب ذره را در لحظه‌ی t بیابید. چه وقت جهت حرکت ذره تغییر می‌کند؟ چه وقت ذره به موضع اولیه‌ی خود باز می‌گردد؟
مشتق مراتب بالاتر
80- مشتقات مراتب دوم و سوم f(x)g(x) را بیابید.
81- را بیابید.
– – y=xsinx
82- نشان دهید تابع
بر مشتق‌پذیر است ولی در x=0 مشتق دوم ندارد.
83- به ازای چه ثابتهایی c,b,a تابع

در x=1 مشتق دوم دارد؟
84- مقدار مشتق مرتبه‌ی nام تابع را در نقطه‌ی x=0 بنویسید.
85-مطلوبست تعیین در توابع زیر:
آیا وجود دارد؟

84- اگر مشتق دوم تابع در نقطه x=1 برابر صفر باشد. آنگاه بین b,a چه رابطه‌ای برقرار است؟
87- مطلوبست مشتقات اول و دوم

88- اگر و را بیابید.
89- مطلوبست هر گاه
الف)
ب)
90- مشتق nام ، ، تابع را بیابید.
91- توابع را بیابید.

92- اگر y=tankx، نشان دهید که .
93- اگر توابع g,f دوبار مشتق پذیر باشند، نشان دهید که
مشتق گیری ضمنی
94- را بر حسب y,x بنویسید.

95- را بر حسب y,x بیابید.

96- شیب را در () بیابید.
97- با استفاده از مشتق تابع معکوس، را در توابع زیر بدست آورید.

98- را بیابید.

99- با مشتقگیری منحنی از معادله‌ی ،‌ نشان دهید که از دو طرف معادله‌ی مشتق بگیرید و نشان دهید که

از دو طرف معادله‌ی مشتق بگیرید و نشان دهید که

100- با استفاده از مشتق‌گیری ضمنی، را در صورتی بیابید که y,x‌در معادله‌ی داده شده صدق کند.

-sinx+cosy=0
101- فرض کنید با استفاده از مشتق‌گیری ضمنی : سر مشتق اول را در نقطه‌ی x=-1 را حساب کنید.
102- با فرض آنکه مقادیر و را در نقطه‌ی (4و3) بیابید.
103- استفاده‌ی کورکورانه از مشتق‌گیری ضمنی در معادله‌ی به فرمول

منجر می‌شود. چرا این نتیجه بی‌معنی است؟
کاربرد مشتق
تقعر و نقطه‌ی عطف
104- نشان دهید که تابع ، بی‌توجه به مقادیر b,a، نقطه‌ی عطف ندارد. آیا این مطلب در مورد تابع نیز درست است.
105- نقطه‌ی عطف تابع f(x)=(x-a) (x-b) (x-c) کجاست؟
106- به ازای چه مقادیری از b,a، نقطه‌ی (3و1) نقطه‌ی عطف منحنی است؟
107- نشان دهید که نقاط عطف منحنی y=x sinx روی منحنی واقعند.
108- نشان دهید که هر تابعی که مشتق اول و دوم پیوسته دداشته بادش بین دو نقطه‌ای اکتسرمم حداقل یک نقطه‌ی عطف دارد؟
109- بازه‌های تقعر ثابت تابع داده شده را معین کرده و نقاط عطف را بیابید.

110- در تقعر تابع خطی f(x)=ax+b بحث کنید. آیا این تابع نقطه‌ی عطف دارد؟
111- نقاط بحرانی توابع داده شده را با استفاده از آزمون مشتق دوم راه‌بندی کنید.

112- خم (d,c,b ثابت‌اند) مفروض است. B چه مقداری باشد تا این خم در x=1 نقطه‌ی عطف داشته باشد؟
113- خم را پس از تعیین ماکسیمم موضعی، مینیمم موضعی و نقاط عطف رسم کنید و بگویید این خم چند بار و تقریبا در کجا محور x را قطع می‌کند؟
114- خم پیوسته‌ای چون y=f(x) برای x>0 مفروض است، هر گاه f(1)=0 و به ازای هر x>0، . آیا این خم الزاما تقعر روبه بالا یا تقعر رو به پایین دارد؟
115- نقاط بحرانی، مجانبها و نقاط عطف تابع زیر را بیابید و نمودار تابع را رسم کنید.

116- مجانب مایل منحنی را تعیین کنید.
مجانبها و تقارن
117- مجانب هر یک از منحنی‌های زیر را بیابید.

118- تابع درست سه مجانب دارد. این مجانبها چیست؟
119- نشان دهید که تابع مجانب ندارد.
120- مجانبهای مایل، افقی و قائم تابع داده شده را یافته و نمودار آن را رسم نمایید.

مسائل اکسترمم موضعی
121- چه مقداری از c ماکزیمم تابع بر بازه‌ی را min می‌کند؟
122- روی محور سهمی نقطه‌ی m به فاصله‌ی a از رأس آن مفروض است. طول نقطه‌ای از سهمی را تعیین کنید که فاصله‌اش از نقطه‌ی مفروض min باشد.
123- اگر یک تابع دارای مقدار ماکزیمم مطلق باشد، آیا باید مقادیر ماکزیمم موضعی داشته باشد؟ اگر یک تابع مقدار ماکزیمم موضعی داشته باشد، آیا باید مقدار ماکزیمم مطلق داشته باشد؟
124- فرض کنید

نشان f بر پیوسته و بر ()
مشتق‌پذیر است ولی در نقطه‌ی انتهایی x=0 نه ماکزیمم موضعی دارد نه مینیمم موضعی.
125- بازه‌های صعودی و نزولی، مقادیر اکسترمم موضعی، و تقعر را تعیین کنید. نمودار f را با استفاده از این اطلاعات رسم کنید.
126- کوتاهترین فاصله‌ی نقطه‌ی (0و2) تا منحنی y=lnx را بیابید.
127- مقادیر ماکسیمم و مینیمم موضعی ناشی از را بیابید.

128- نمودار ، را رسم کنید. مقادیر ماکسیمم، مینیمم تابع چه هستند و از کجا بدست می‌آیند؟
129- شیب خم y=f(x) عبارت است از
الف) به ازای چه مقدار یا مقادیری از x، y یک ماکسیمم موضعی دارد؟
ب) به ازای چه مقدار یا مقادیری از x، y یک min موضعی دارد؟
130- مقادیر ماکزیمم، min تابع را در صورت وجود بیابید.
131- مقادیر ماکسیمم و مینیمم مطلق تابع را بر دامنه‌ی داده شده بیابید.

132- آیا تابع یک ماکسیمم یا مینیمم نسبی در x=0‌دارد؟
133- الف) مقداری برای b تعیین کنید به قسمی که تابع در x=1 یک مقدار min موضعی داشته باشد. ب) چرا به ازای هیچ مقداری از b، تابع در x=1 یک مقدار ماکسیمم موضعی ندارد؟
134- اگر مساحت مستطیلی باشد ، کمترین محیط ممکن آن چقدر است؟
135- مقادیر b,a‌چه باشند تا تابع در شرایط صدق کند
الف) در x=-1 یک ماکسیمم موضعی و در x=3 یک min موضعی دارد؟
ب) در x=4 یک min موضعی و در x=1 یک نقطه‌ی عطف داشته باشد؟
قضیه مقدار میانگین «قضیه‌ی رل»
136- با استفاده از قضیه‌ی مقدار میانگین نشان دهید که

137- تابع ، در x=0 مماس افقی دارد ولی در x=-1 و x=1 مشتق‌پذیر نیست. آیا این امر قضیه‌ی مقدار میانگین را نقض می‌کند؟ توضیح دهید.
138- تابع بزرگترین عدد صحیح y=[m] در هر نقطه از بازه‌ی [0,1] تعریف می‌شود ولی در بازه‌ی [0,1] در حکم قضیه‌ی مقدار میانگین صدق نمی‌کند موضوع چیست؟
139- c,b,a عناصری هستند که در معادله‌ی f(b)-f(a)= (b-a) f(c) آمده‌اند. این معادله قضیه‌ی مقدار میانگین را توصیف می‌کند. F(x) ، b,a داده شده‌اند. C را بیابید.

140- نقطه‌ی c صادق در قضیه‌ی ژل را در صورتی بیابید که

141- معادله فقط دو ریشه حقیقی دارد. (قضیه‌ی رل)
142- نشان دهید که نامساوی به ازای اعداد دلخواه b,a برقرار است.
143- قضیه‌ی ژل را برای تابع f(x)= (x-1) (x-2) (x-3) تحقیق کنید.
144- آیا تابع در شرایط قضیه‌ی لاگرانش (قضیه‌ی مقدار میانگین) در فاصله‌ی ]0و2-[ صدق می‌کند. اگر صدق می‌کند عدد را طوری بیابید که .
145- آیا توابع و در فاصله‌ی ]3و3-[ در شرایط قضیه‌کشی صدق می‌کند؟
146- با استفاده از قضیه ژل ثابت کنید که مشتق تابع

در یک مجموعه‌ی نامتناهی از نقاط فاصله‌ی (1و0) صفر می‌شود.
147- تعداد ریشه‌های حقیقی معادله‌ی را تعیین کنید.
آهنگ‌های تغییر وابسته
148- وقتی آب با آهنگ 3 لیتر بر ثانیه از یک مخزن استوانه‌ای خارج می‌شود، سطح آب با چه سرعتی پایین می‌رود.
149- فرض کنید A مساحت دایره‌ای به شعاع r در زمان t باشد. معادله‌ای بنویسید که و را به هم ربط دهد.
150- نقطه‌ای بر خم چنان حرکت می‌کند که با آهنگ ثابت 2 واحد در ثانیه فاصله‌اش از مبدأ زیاد می‌شود. در را بیابید.
151- حجم مکعبی وقتی طول یالش cm20 باشد، با آهنگ زیاد می‌شود، آهنگ تغییر طول‌ یال را بیابید.
152- حجم کره‌ای با آهنگ کم می‌شود. در لحظه‌ای که شعاع 20 متر است آهنگ تغییر شعاع و مساحت رویه‌ی کره را بیابید. همچنین تعیین کنید که تغییر شعاع و مساحت رویه در 6 ثانیه بعد تقریبا چقدر است.
قاعده‌ی هوپیتال
153- حدود زیر را بیابید.

154- اگر f مشتق سوم پیوسته داشته باشد، حد
155- فرض کنید f‌در همسایگی a مشتق پذیر بوده و موجود ومتناهی باشد. با استفاده از قاعده‌ی هوپیتال، نشان دهید که موجود و متناهی باشد. با استفاده از قاعده‌ی هوپیتال، نشان دهید که .
«تقریب و خطای تقریب»
156- تقریب درجه‌ی دوم را در نزدیکی x=0 بیابید.
157- نشان دهید که خطی سازی حول مساوی است با . خطای درصد در تقریب در صورتی که از کمتر باشد چقدر است؟
158- با استفاده از خطی سازی برای حول x=25 ، یک مقدار تقریبی برای بیابید.
159- مطلوبست محاسبه‌ی مقدار تقریبی هر یک از عبارات زیر تا 5 رقم اعشار:

160- یک مقدار تقریبی ریشه معادله‌ی ، است. خطای قدر مطلق این ریشه را برآورد کنید.

فایل : 20 صفحه

فرمت : Word