توابع مثلثاتي
هر ارتفاع مثلث، پاره خطي است كه يك سر آن يك رأس مثلث، و سر ديگر آن، پاي عمودي است كه از آن رأس بر ضلع مقابل به آن رأس فرود ميآيد؛ مانند ارتفاع هر مثلث، سه ارتفاع دارد، ، و كه در يك نقطة مانند به نام مركز ارتفاعي مثلث همرسند. اندازة ارتفاعهاي ، و را بترتيب با ، و نشان ميدهند.
هر گاه A، B و C سه نقطة دلخواه باشند، آن گاه . تساوي، وقتي برقرار است كه سه نقطه روي يك خط راست، و نقطة B بين دو نقطة A و C باشد.
براي محاسبة مقادير نسبتهاي مثلثاتي در ربعهاي دوم، سوم و چهارم ميتوان از رابطههاي زير استفاده كرد:
توابع كسينوس و سينوس دورهاي، با دورة ْ360 هستند:
تابع تانژانت دورهاي، با دورة ْ180است:
همچنين از تبديلهاي زير نيز ميتوان استفاده كرد:
نسبت آن زاويه است، به زاويهاي كه به عنوان واحد زاويه اختيار شده است.
اندازة شعاع كرة محاطي چهار وجهي منتظم
( چهار وجهي منتظم
اندازة شعاع كرة محيطي چهار وجهي منتظم
( چهار وجهي منتظم
برابر است با نصف حاصلضرب اندازة هر ضلع مثلث در اندازة ارتفاع نظير آن ضلع. اگر مساحت مثلث ABC را با S نمايش دهيم، داريم:
با توجه به اين كه است، داريم:
براي محاسبة مساحت مثلث از دستور كه در آن و به دستور هرون Heron مرسوم است، نيز استفاده ميكنند.
تصفيه: در هر مثلث، مربع اندازة نيمساز هر زاوية بروني، برابر است با حاصلضرب اندازههاي دو پاره خطي كه آن نيمساز بر ضلع سوم پديد ميآورد، منهاي حاصلضرب اندازههاي دو ضلع آن زاويه.
يعني اگر در مثلث ABC AD(نيمساز زاوية بروني A باشد داريم:
اگر اندازة نيمسازهاي زاويهاي بروني A، B و C از مثلث ABC را بترتيب با ، d(a و d(b و d(c محيط مثلث را با P2 نشان دهيم، داريم:
قضيه: در هر مثلث، مربع اندازة نيمساز هر زاوية دروني برابر است با حاصلضرب اندازة دو ضلع آن زاويه، منهاي حاصلضرب دو پاره خطي كه آن
نيمساز بر ضلع سوم پديد ميآورد. يعني اگر AD نيمساز زاوية دروني A از مثلث ABC باشد، داريم:
اگر اندازة نيمسازهاي زاويههاي دروني A، B و C از مثلث ABC به ضلعهاي BC=a ,AC=b و AB=c را بترتيب da، db و dc بناميم، داريم:
اين تابع به صورت tgx = yميباشد. دورة تناوب آن ( است. كافي است نمودار تابع را در فاصلة رسم كنيم. براي رسم نمودار در فاصلة منحني را در امتداد xها به اندازة ( در سمت راست xها انتقال ميدهيم؛ چون ميباشد، منحني تابع اكسترمم نسبي ندارند و در داراي مجانب است.
اين تابع به صورت y=sin x ميباشد. دورة تناوب آن 2( است. كافي است نمودار تابع را در فاصلة رسم كنيم و براي رسم منحني در فاصلة منحني را در امتداد xها به اندازة 2( در سمت راست
xها انتقال ميدهيم. و براي رسم منحني در فاصلة منحني را به اندازة 2( در سمت چپ xها انتقال ميدهيم. تابع روي در ماكزيمم نسبي و در مينيمم نسبي و در x=( داراي عطف ميباشد.
اين تابع به صورت y=cotg x ميباشد. دورة تناوب آن ( است. كافي است نمودار را در فاصلة رسم كنيم. براي رسم نمودار در فاصلة منحني را در امتداد xها به اندازة ( در سمت راست xها انتقال ميدهيم؛ چون ميباشد. منحني تابع اكسترمم نسبي ندارد و در و داراي مجانب و در عطف دارد.
اين تابع به صورت y=socx ميباشد. دورة تناوب آن 2( است. كافي است نمودار را در فاصله رسم نماييم و براي رسم منحني در فاصلة منحني را به اندازة در سمت چپ xها انتقال ميدهيم.
تابع روي در مينيمم نسبي و در و داراي عطف ميباشد.
تابعهايي كه ضابطة آنها به كمك نسبتهاي مثلثاتي تعريف شده باشد.
هر يك از تابعهاي زير مثلثاتي است:
توابع f(x)= sin x و g(x)=cos x و h(x) tgx و ((x)=cotg x يا تركيبي از آنها را توابع مثلثاتي نامند. مثلاً تابع مثلثاتي ميباشد.
مثال 1: دامنة تابع گنگ مثلثاتي روي كدام است؟
مثال 2: برد تابع برابر است با:
مثال 3: برد تابع كدام است؟
مثال 4: مطلوب است نمودار در يك دورة تناوب
1.تابع با ضابطة در فاصله يك به يك بوده و داراي معكوسي به صورت
ياو نمودار آن و مشتق آن ميباشد.
2.تابع با ضابطة به ازاء ، تابع يك به يك بوده، معكوس آن وجود داشته به صورت يا و نمودار آن و مشتق آن به صورت ميباشد.
3. تابع با ضابطة به ازاء تابع يك به يك بوده و معكوس آن به صورت يا x=tg y و نمودار آن و مشتق آن ميباشد.
4. تابع با ضابطة y=cotg x به ازاء يك به يك بوده و معكوس آن به صورت يا و نمودار آن و مشتق آن ميباشد.
1.اگر دو زاويه از يك مثلث، با دو زاويه از مثلث ديگر برابر باشند.
2.اگر يك زاويه از يك مثلث، با يك زاويه از مثلث ديگر برابر، و ضلعهاي مجاور به اين زاويه در دو مثلث نظير به نظير متناسب باشند.
3.اگر سه ضلع از يك مثلث، با سه ضلع نظير آنها از مثلث ديگر متناسب باشند.
دو مثلث در يكي از سه حالت زير همنهشت خواهند بود:
حالت اول. هر گاه دو زاويه و ضلع بين آنها از مثلثي، با دو زاويه و ضلع بين آنها از مثلث ديگر، نظير به نظير مساوي باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و و و اين دو مثلث همنهشتند.
حالت دوم. اگر دو ضلع و زاوية بين آنها از مثلثي، با دو ضلع و زاوية بين آنها از مثلثي ديگر، نظير به نظير برابر باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و AC=DF,AB=DE,DEF و اين دو مثلث همنهشتند.
حالت سوم. هرگاه سه ضلع از مثلثي، نظير به نظير با سع ضلع از مثلثي ديگر، مساوي باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و BC=EF,AB=DE,DEF و AC=DF باشد، دو مثلث ABC و DEF همنهشتند.
حد و حد
حد حد ()
اين حدود نشان ميدهند تابع و در هر نقطه پيوسته و تابع f(x)=tg x روي فاصلة () پيوسته و تابع f(x)=cotg x روي فاصله () پيوسته است.
مثال: مطلوب است () حد، با استفاده از قضاياي حدود داريم:
حد
1.سه عمود منصف ضلعها،
2.سه نيمساز زاويههاي دروني،
3.نيمسازهاي دو زاوية بروني با نيمساز زاوية دروني سوم،
4.سه ارتفاع،
5.سه ميانه.
دايرههايي هستند كه بر يك ضلع و امتداد دو ضلع ديگر مثلث مماسند. مركز اين دايرهها، نقطههاي برخورد نيمسازهاي دو زاويه خارجي و نميساز زاوية دروني سوم است. هر مثلث سه دايرة محاطي بروني دارد. شكل صفحه بعد، دايرة محاطي بروني مثلث، مماس بر ضلع BC را نشان ميدهد.
دايرهاي به شعاع واحد است كه روي آن نقطهاي به عنوان مبدأ و جهتي به عنوان جهت مثبت حركت، اختيار شده باشد. در حالت عمومي، انتهاي سمت راست قطر افقي را به عنوان مبدأ حركت (نقطة A) و خلاف جهت حركت عقربههاي ساعت را جهت مثبت اختيار ميكنند.
دايرهاي است كه بر ضلعهاي مثلث مماس است. مركز اين دايره، محل برخورد نميسازهاي زاويهاي داخلي مثلث است.
دايرهاي است كه بر سه رأس مثلث ميگذرد. مركز آن، نقطة بر خورد عمود منصفهاي ضلعهاي مثلث است.
براي حل دستگاههاي مثلثاتي چند مجهولي، هيچگونه قاعدة كلي كه در حل تمام دستگاهها بتوان از آن استفاده كرد، وجود ندارد. ولي در اين مورد، براي حل دستگاههاي چند مجهولي مثلثاتي، ميتوان دستگاههاي دو معادلة دو مجهولي را به سه نوع كلاسيك دستهبندي كرد و طريقه حل هر يك را در حالت كلي بيان كرد.
1-دستگاههاي مثلثاتي كلاسيك نوع اول:
براي حل اين نوع دستگاهها از اتحادهاي تبديل حاصل جمع به حاصل ضرب استفاده ميكنيم. براي مثال، دستگاه زير را حل ميكنيم:
بنابر اين،دستگاه كلاسيك، به دستگاه سادة زير تحويل ميشود:
2-دستگاههاي مثلثاتي كلاسيك نوع دوم:
براي حل اين نوع دستگاهها، از اتحادهاي تبديل حاصلضرب به حاصل جمع استفاده ميكنيم. برا مثال، دستگاه زير را حل ميكني:
بنابراين، دستگاه كلاسيك، به دستگاه سادة زير تحويل ميشود:
از جمع معادلههاي اين دستگاه، نتيجه ميشود:
3-دستگاههاي مثلثاتي كلاسيك نوع سوم:
براي حل اين نوع دستگاههاي مثلثاتي، در دو طرف معادلة دوم دستگاه، به وسيلة تركيب نسبت در صورت و تفضيل نسبت در مخرج، آن را به صورت كسري كه در صورت و مخرج آن، مجموع و تفاضل دو نسبت مثلثاتي همنام است، تبديل ميكنيم و پس از تبديل صورت و مخرج كسر به حاصل ضرب، با استفااده از مقدار را تعيين نموده و از آن جا مقادير x و y از حل يك دستگاه ساده به دست ميآيند.
براي مثال، دستگاه زير را حل ميكنيم:
فایل : 15 صفحه
فرمت : Word