كاربرد كامپيوتر در رياضي

تحليل داده ها
1- ارقام با معني:
براي تعيين رقمهاي با معنا ، رقمها را از سمت چپ به راست مي شماريم. صفرهايي ك قبل از اولين رقم سمت چپ نوشته مي شوندجزء رقمهاي با معنا به حساب نمي آيند اين صفرها به هنگام تبديل يكاها ظاهر مي شوند و تبديل يكاها نبايد تعداد رقمهاي با معنا را تغيير دهد
12/6 : سه رقم بامعني
0010306/0 :پنج رقم با معني كه اولين رقم با معني يك است.صفرهاي قبل از يك با معني نيستند
20/1 : سه رقم با معني در صورتيكه صفر با معني نباشد عدد بايد به صورت2/1 نوشته شود
38500 : سه رقم با معني، چيزي براي اينكه نشان دهد صفرها با معني هستند يا نه مشخص نيست مي توان اين ابهام را با نوشتن بصورتهاي زير برطرف كرد:
: هيچكدام از صفرها با معني نيستند
: يكي از صفرها با معني است
:هر دو صفر با معني است
m 040/0 = Cm0 /4=mm40 كه هر سه داراي سه رقم با معني هستند.
2- گرد كردن اعداد:
اگر بخواهيم ارقام عدد 3563342/2 را به دو رقم كاهش دهيم، اين عمل را گرد كردن عدد مي نامند. براي اين منظور بايد به رقم سوم توجه كنيم بدين صورت كه اگر قم سوم بزرگتر يا مساوي5 باشد رقم دوم به طرف بالا گرد مي شود و اگر رقم سوم كوچكتر از 5 باشد رقم دوم به حال خود گذاشته مي شود
4/1 3563342/2
62700 62654
108/0 10759/0
3- محاسبات و ارقام با معني:
مي خواهيم سطح مقطع يك استوانه به قطر6/7 را بدست آوريم:

اشكال كار: اگر دقت كنيم محاسبات تا 10 رقم با معني است اگر از كامپيوتري تا 100 رقم استفاده مي كرديم چه؟ در صورتيكه قطر كره تا دو رقم با معني است بنابراين در اينگونه موارد به نكات زير توجه مي كنيم:
توجه: اگر مجبوريد محاسبه اي را كه در آن خطاي مقادير مشخص نيست انجام دهيد و مي بايستي فقط با ارقام با معني كار كنيد به نكات زير توجه كنيد:
الف ) زماني كه اعداد را در هم ضرب و يا بر هم تقسيم مي كنيد: عددي كه با كمترين ارقام با معني در محاسبه است را شناسايي كنيد به حاصل محاسبه همين تعداد ارقام با معني نسبت دهيد
چون 7/3 با دو رقم با معني است

ب ) زماني كه اعداد را با هم جمع و يا از هم كم مي كنيد: تعداد ارقام اعشاري عدد حاصل از محاسبه را برابر تعداد كمترين ارقام اعشاري اعداد شركت داده شده در محاسبه گرد كنيد
كمترين اعشار مربوط به1/13 است

مثال: شعاع يك كره5/13 سانتيمتر برآورد شده است. حجم ايمن كره را بدست آوريد؟
جواب:
مثال: چگالي كرهاي به جرم44/0 گرم و قطر76/4 ميلي متر را بدست آوريد؟

4- متغيرهاي وابسته و مستقل:
به كميتي كه مقدار آن را مي توانيم تنظيم نمائيم و يا در طول آزمايش به دلخواه تغيير داده مي شود، متغير مستقل گفته مي شود و آنرا به عنوان مختصهx در نمودار مي گيريم.
به كميتي كه بر اثر تغيير در متغير مستقل پيدا مي كند، متغير وابسته گفته مي شود و به عنوان مختصهy در نمودار گرفته مي شود.
مثلا در آزمايش انبساط طولي ميله در اثر حرارت دما متغير مستقل و طول ميله متغير وابسته مي باشد
5- خطا :
تمام اندازه گيريها متاثر از خطاي آزمايش هستند.منطور اين است كه اگر مجبور با انجام اندازه گيريهاي پيايي يك كميت بخوصوص باشيم، به احتمال زياد به تغييراتي در مقادير مشاهده شده برخورد خواهيم كرد. گرچه امكان دارد بتوانيم مقدار خطا را با بهبود روش آزمايش و يا بكارگيري روشهاي آماري كاهش دهيم ولي هرگز نمي توانيم آن را حذف كنيم.
1-5- خطاي دقت وسايل اندازه گيري :
هيچ وسيله اندازه گيري وجود ندارد كه بتواند كميتي را با دقت بينهايت اندازه گيري نمايد.بنابراين ناديده گرفتن خطاي وسايل اندازه گيري در آزمايش اجتناب ناپذير است.
اگر اندازه كميتي كه اندازه مي گيريم با گذر زمان تغيير نكند، مقدار خطا را نصف كوچكترين درجه بندي آن وسيله در نظر مي گيريم.
مثال:
متر كوچكترين درجه mm1 = مقدار خطا
پس اندازه گيريي mm54 را بصورت بيان مي كنيم
دما سنج كوچكترين درجه ºC2 = مقدار خطا
پس اندازه گيريي ºC60 را بصورت بيان مي كنيم
2-5- خطاي خواندن مقدار اندازه گيري:
3-5- خطاي درجه بندي وسايل اندازه گيري:
تعريف خطاي مطلق: اگر خطا را با همان يكاي كميت اندازه گيري شده بيان نمائيم، به اين خطا، خطاي مطلق كميت اندازه گيري گفته مي شود
تعريف خطاي نسبي: اگر خطا بصورت كسري باشد، به اين كسر، خطاي نسبي مقدار كميت اندازه گيري شده گفته مي شود
4-5- تركيب خطاها :
ممكن است در آزمايشي نياز به يافت چند كميت، كه بايد آنها را بعداُ در معادله اي وارد كنيم، داشته باشيم براي مثال ممكن است جرم و حجم جسمي را اندازه بگيريم و سپس نياز به محاسبه چگالي داشته باشم، كه با رابطه زير تعريف مي شود: سوال اينجاست كه چه تركيبي از خطاهاي مقادير m وV ] اندازه خطاي را بدست مي دهد. بدين منظور سه روش زير ارائه داده مي شود:
الف) روش اول: اين روش را با دومثال زير توضيح مي دهيم:
مثال1: قطر سيمي با مقطع دايره اي برابر است با: مطلوب است اندازه سطح سيم و مقدار خطاي آن؟
جواب:

مثال2: در يك آزمايش الكتريكي، جريان جاري شده در يك مقاومت برابر با و ولتاژ دو سر مقاومت اندازه گيري شد.اندازه مقاومت و مقدار خطاي مقاومت را بدست آوريد؟
جواب:
بايد بيشترين مقدار صورت و كمترين مقدار مخرج را در نظر بگيريم
بايد كمترين مقدار صورت و بيشترين مقدار مخرج را در نظر بگيريم

ب ) روش دوم (محاسبه خطا با استفاده از مشتقات جزئي)
روش قبل در صورتيكه فرمول مورد استفاده بيشتر از يك كميت باشد، مي تواند مشكل آفرين باشد بنابراين روش ديگري معرفي مي شود كه مبتني بر حساب ديفرانسيل است.
تابعZ تابعي از دو متغيرx وy مي باشد Z=f(x,y) در نظر مي گيريم. مشتق جزئيZ بر حسبx وy را بصورت نشان مي دهيم.در موقع محاسبه ، y را ثابت گرفته و مشتقZ نسبت بهx را بدست مي آوريم و همينطور براي محاسبه ،x را ثابت گرفته و مشتقZ نسبت بهy را بدست مي آوريم.ديفرانسيل تابعZ برابر است با:

روش كار: براي محاسبه خطاي تابع Z از طرفين رابطه ديفرانسيل گيري مي كنيم سپس با تبديل
رابطه زير را بدست مي آوريم:
كه مقدار خطاي مطلق و را خطاي نسبي گويند. بايد هميشه مقدار قدر مطلق قسمتهاي فوق با هم جمع شود تا حداكثر خطا بدست آيد.
توجه: در بعضي مواقع راحتر است ابتدا از طرفين رابطه لگاريتم گرفته شود و سپس ديفرانسيل آن را بدست آوريم.
مثال1: دماي مقدار آب توسط هيتر برقي كه داخل آن قرار دارد تا افزايش داده مي شود. مقدار گرماي انتقال داده شده به آب و خطاي آنرا بدست آوريد؟ ( گرماي ويژه آب برابر است با: )
جواب:

مثال2: قطر يك سيم برابر با مي باشد مقدار خطاي سطح مقطع سيم را بدست آوريد؟
جواب:

مثال3: خطاي نسبي تابع را بدست آوريد؟
جواب: ابتدا از طرفين رابطه لگاريتم مي گيريم:

مثال4: خطاي مطلق تابع را بدست آوريد؟
جواب:

ج ) روش سوم زماني كه خطاي اندازه گيريها كميتهاي مستقل از يكديگر باشند:
در روشهاي قبل در خيلي از حالات مقدار خطاي محاسبه شده، بيشتر از حد متعارف برآورد مي شودممكن است در حالي كه خطا هاي دو كميت مستقل از يكديگر هستند اين خطاها همديگر را خنثي نمايند. اگر كميتZ وابسته به دو متغيرx وy باشد، داريم:

مثال: مقدار ميانگين جرم و حجم يك فلز و خطاي معيار در اين كميتها مطابق جدول زير است مقدار خطاي معيار چگالي را بدست آوريد
جواب: با توجه به رابطه رالا داريم:

چگالي فلز برابر است با:
پس:
تفاوتهاي بين درستي و دقت:
درست: مقدار بدست آمده نزديك به مقدار واقعي است ولي مقدار خطا مي تواند هر مقداري باشد.
دقيق: مقدار بدست آمده خطاي كوچكي دارد، ولي بدين معني كه مقدار بدست آمده نزديك به مقدار واقعي باشد نيست.
هم درست و هم دقيق:مقدار بدست آمده نزديك به مقدار واقعي و با خطاي كوچك است. نتايج بدست آمده از آزمايش خوب است جزء اين دسته باشد
6- مقدار ميانگين:
فرض كنيد زمان سقوط يك جسم را براي جندين بار اندازه گيري مي نمائيم مقادير بدست آمده نخواهد بود.بهترين كاري كه براي يافتن يك تك مقدار براي اين زمان سقوط بدست آوريم، مقدار متوسط اين اندازه گيريه مي باشد.
1-6) مقدار ميانگين درصورتيكه خطاهاي اندازه گيريها يكسان باشد:
اگر اندازه گيريxi به تعدادn مرتبه انجام گيرد،ميانگين آن برابر است با:
و مقدار خطاي مقدار ميانگين برابراست با:
مثال: در آزمايشي8 اندازه گيري پياپي از سرعت انتشار صوت در هوا انجام شده است مطلوب است ميانگين و خطاي مقدار ميانگين اندازه گيريها؟
اعداد اندازه گيري: 7/342 ،3/340، 5/338، 1/341، 5/345، 2/342، 4/342، 5/341
جواب:

مقدار ميانگين در صورتيكه هر اندازه گيري داراي خطاي مخصوص به خود باشد:
اگر نتايج حاصل از اندازه گيري كميتي به صورت: و خطاي اين اندازه گيريها برابر
با: باشد در اين صورت مقدار ميانگين و خطاي مقدار ميانگين از روابط زير
بدست مي آيند:

7- واريانس و انحراف معيار:
اگر مربع انحرافات مقادير از مقدار ميانگين را محاسبه و حاصل جمع اين مجذورات را بر تعداد كل داده ها تقسيم كنيم، نتيجه را واريانس گويند:

به di كه تفاوت بين داده iام و مقدار ميانگين را نشان مي دهد، انحراف گفته مي شود
جذر واريانس را انحراف معيار گويند:
انحراف معيار مقداري است كه مشخصه پهن شدگي داده ها را نشان مي دهد و براي مجموعه اي از اندازه گيريهاي پياپي يك كميت بدون توجه به تعداد اندازه گيريهاي انجام شده، تقريبا ثابت است
رابطه انحراف از معيار و خطا در مقدار ميانگين:
اگر انحراف معيار را با و خطا در مقدار ميانگين را با نشان دهيم داريم:
توچه: اگر خواهان كم كردن خطا در مقدار واقعي يك كميت هستيم، بايد چندين اندازه گيري پيا پي از آن انجام دهيم. با توجه به رابطه براي كم كردن خطا با مضرب2 بايد تعداد اندازه گيريها با مضرب4 افزايش يابد.
مثال: مجموعه اعداد بدست آمده از آزمايشي بصورت زير است:
9/22 ،6/26 ،0/24 ،8/26 ،0/27 ،7/22 ،3/23 ،+2/25 مطلوبست مقادير ميانگين، انحراف معيار، خطا در مقدار ميانگين و بهترين مقدار اين كميت؟

8- ويژگيهاي توزيع بهنجار:
اين نمودار زنگوله اي شكل با نكي واقع
در مي باشد و نمودار حول مقدار متقارن است،
اين مشخصه توزيع بهنجار مي باشد
واقع شدن 70% كل سطح زير نمودار
بين تا حاكي از آن است 70% دادها بين تا قرار دارند
بعلاوه 95% دادها بين تا قرار مي گيرد
برازش دادها
مقدمه: در بسيار از مواقع به ازاي اعداد مقادير متناظر را بدست مي آوريم. حال با رسم اين نقاط در يك دستگاه مختصات به دنبال نموداري مي گرديم كه از نقاط فوق عبور نمايد و در عين حال شكل تابع y بر حسبx را به ما بدهد تا رابطه فيزيكي بين دو كميت x وy بدست آيد. بدين منظور از روش حداقل مربعات مانده ها استفاده مي كنيم.
1) برازش خطي دادها:
اگر بين دادهاي x و y رابطه خطي بر قرار باشد، هدف پيدا كردن بهترين خطي است كه از داده هاي فوق عبور نمايد اگر اين خط را بصورت y=ax+b در نظر بگيريم بايد مقادير a وb را بدست آوريم كه براي اين منظور از روش حداقل مربعات ماندها استفاده مي كنيم.
فرض كنيد رسم دادها مطابق شكل مقابل باشد و بهترين خط گذرنده نيز خطي مي باشد كه رسم شده است اگر به نقطه به مختصات دقت كنيم،اين نقطه به اندازه از خط
رسم شده خطا دارد به مقدار اين خطا مانده مي گوييم مقدار مانده براي نقطه i ام برابر است با:
و مجموع مربعات مانده ها برابر است با:
بهترين خط زماني بدست مي آيد كه اين عبارت مينيمم شود.بدين منظور از عبارت فوق بر حسبa وb مشتق گرفته مساوي با صفر قرار مي دهيم:
مشتق نسبت بهa :
مشتق نسبت بهb :
از تركيب معدلات فوق مقادير a وb به صورت زير بدست مي آيد:

خطاي مقاديرa وb :
براي محاسبه و سه فرض زير را در نظر مي گيريم:
به ازاء هر مقدارx مقدارy مربوطه خطايي بخصوص دارد
خطا در هر مقدار y باعث ايجاد خطايي در نقادير a وb مي شود
اگر مقادير خطا در مقادير y مستقل از يكديگر باشند، داريم:

كه مقادير خطا در مقادير مشاهده اي هستند اگر مقادير خطا در y مساوي هم باشند با قرار دادن بجاي بدست مي آيد:

و با انجام مقداري عمليات رياضي به روابط زير مي رسيم:

كه در اين روابط مقدار خطا در هر كميتy دادها مي باشد و از رابطه زير بدست مي آيد:

كميتي كه نشان مي دهد نقاط برازش شده با يكديگر ارتباط خطي دارند، ضريب همبستگي مي باشد اين ضريب همبستگي بين a وb نشان مي دهد كه عددي است بين صفر و يك، هر قدر اين عدد به يك نزديكتر باشد دادها براي برازش خطي مناسب مي باشند و در عير اين صورت دادها براي برازش خطي مناسب نمي باشند ضريب همبستگي برابر است با:

مثال: در آزمايشي براي مطالعه رفتار يك ديود در مقابل كاهش دما، ولتاژ دو سر ديود به ضورت تابعي از دما اندازه گيري شده است و مقادير زير بدست آمده است:
دما(بر حسب كلوين): 300،290،280،270،260،250،240،230
ولتاژ(برحسب ولت): 748/0 ، 735/0 ،705/0 ،695/0 ،678/0 ،670/0 ،653/0 ،630/0
مطلوب است برازش بهترين خط گذرنده از اين دادهها؟

مقادير a وb و خطاي هريك برابر است با:

ضريب همبستگي برابر است با:

كه نشان مي دهد نقاط فوق براي برازش خطي بسيار مناسب مي باشند
2) برازش خطي برحسب گراني داده ها:
زماني كه مقدار خطا از نقطه اي به نقطه ديگر تغيير مي كند، مي بايستي هر يك از مقادير خطا بصورت در محاسبات وارد گردد. در اين شرايط با تعريف بصورت :

خواهيم داشت:

3) روش خطي كردن با تغيير متغير:
در بعضي مواقع رابطه ما بصورت خطي نمي باشد اما انجام بعضي اعمال رياضي قادريم آن را بصورت خطي تبديل كنيم. مثلاُ رابطه به شكل را در نظر بگيريد اين رابطه بين x وy بصورت نمايي مي باشد اما مي توان با گرفتن لگاريتم از طرفين، آنرا بصورت خطي در آورد:

مثال: دادهاي مربوط به ولتاژ دو سر خازن در حال خالي شدن در يك مقاومت مطابق جدول زير است با توجه به رابطه بين ولتاژ دو سر خازن و زمان كه در اين رابطه ثابت زماني خالي شدن خازن مي باشد.مطلوب است برازش خط گذرنده از دادها؟
جواب: براي تغيير شكل معادله از طرفين آن لگاريتم مي گيريم:

بر حسب t يك خط راست با شيب و عرض از مبداء مي باشد پس محورyها ، و محورxها، t مي باشد و با در نظر گرفتن مقدار خطايV، مقدار خطاي را
بصورت زير بدست مي اوريم:
حال با تشكيل جدول مي توانيم برازش را انجام دهيم:
مقادير شيبa و عرضb از مبداء :

4) برازش چند جمله اي :
اگر تابع چند جمله اي باشد، باز هم همانند تابع درجه اول محاسبات را انجام مي دهيم.در اين حال اگر تابع چند جمله اي به شكل: و N تعداد نقاط مجموع مربعات مانده ها برابر است با:
كه با مشتق گيري نسبت به و مساوي صفر قرار دادن معادلات نرمال بدست مي آيد و از حل آنها مي توان مقادير را بدست آورد. اين محاسبات را ما براي تابع درجه دوم انجام مي دهيم:
شرط مينيم مساوي صفر قرار دادن مشتقات مي باشد:

كه با حل اين معادلات مي توان مقادير را بدست آورد.
خطاي ضرايب:
اگر دترمينان ضرايب معادلات نرمال را با و دترمينان با حذف سطر و ستون باشد خطاي برابر است با:

5) برازش دادها بوسيله نرم افزار Excel:
در بخشهاي قبل روش برازش دادها بررسي شد.با توجه به انجام محاسبات زياد مخصوصاُ اگر تعداد دادها زياد باشد، برازش بسيار وقت گير مي باشد.در اين بخش روش برازش دادها را با نرم افزارExcel بررسي مي كنيم.خواهير ديد كه با استفاده از اين برم افزار مي توان در مدت كمتر از يك دقيقه دادهها را بزازش نمود.
براي انجام برازش دادها با نرم افزارExcel مراحل زير را دنبال مي كنيم:
از گزينه start وارد programs و سپس روي Microsoft Excel كليك مي كنيم.
دادهاي x را در ستون اول و دادهاي y را در ستون دوم وارد مي كنيم.
به كمك كليدshift و جهتنما و يا موس دادها را انتخاب مي نماييم (بصورت رنگي در مي آيند)
از گزينهInsert روي منوي Chart كليك مي كنيم.
از پنجره باز شده از قسمتstandard types نوع xy(scatter) را انتخاب و در سمت ديگر پنجره نمايش نقاط را انتخاب مي كنيم و سپس Finish را مي زنيم.
حال نقاط ما در يك نمودار نمايش داده مي شوند. اكنون روي يكي از نقاط راست كليك كرده و گزينهAdd Trendline را انتخاب مي كنيم
در پنجره باز شده از سربرگType نوع Linear (خطي) را انتخاب و از سربرگ options دو گزينه آخر
Display equation on chart و Display R-squared value on chart را تيك مي زنيم و سپس كليد اينتر مي زنيم
بدين ترتيب دادها روي يك خط برازش شده و معادله خط بهمراه ضريب همبستگي نمايش داده مي شود.
در اين برازش بايد نكات زير را مورد توجه قرار داد:
الف) در اينجا خطاي دادها در نظر گرفته نمي شود
ب) اگر نمودار بخواهد از مبداء عبور كند، كافي است در قسمت 7 علاوه بر تيك زدن بر آن
دو گزينه، روي گزينه set intercept نيز، تيك زده شود
ج) براي برازش چند جمله اي كافي است در قسمت 7 از سربرگ Type نوع polynormial و سپس در جلوي آن درجه چند جمله اي را مشخص نماييم.
د) براي برازشهاي لگاريتمي و نمايي نيز از قسمت 7 كافي است كه توع آنها را انيخاب نماييم
6) برازش دادها بوسيله نرم افزار Mathematica :
با استفاده از نرم افزار Mathematica نيز مي توان دادها را برازش نمود.اين نرم افزار نيز با استفاده از روش كمترين مربعات كه در قسمتهاي قبل بحث شد بهترين مقادير را پيدا مي كند در اين نرم افزار دستور زير براي تعيين يك چند جمله اي درجه K ام مي توانيم استفاده مي نمائيم:

بعد از وارد نمودن دستور فوق كليد شيفت و اينتر را با هم مي زنيم .
اگر بخواهيم تابع برازش شده مثلا توان 2 را نداشته باشد كافي است در دستورFit ، مقدار را برداريم.
7) برازش دادها بوسيله نرم افزارOrigin :
داه ه ها را با استفاده از نرم افزار Origin نيز مي توان برازش نمود اين نرم افزار قادر به برازش خطي، چند جمله اي و به همراه خطاي ضرايب و مقدار ضريب همبستگي و انحراف معيار برازش مي باشد. براي برازش خطي مراحل زير را انجام مي دهيم:
1ز گزينه start وارد programs و سپس روي Microsoft Origin كليك مي كنيم.
دادهاي x را در ستون اول و دادهاي y را در ستون دوم وارد مي كنيم.
به كمك كليدshift و جهتنما و يا موس دادها را انتخاب مي نماييم (بصورت رنگي در مي آيند)
از گزينهTools روي منوي linerfit كليك مي كنيم.
از پنجره باز شده اگر برازش بخواهد از مبداء عبور نمايد گزينه Through zero را انتخاب و سپس رويFit كليك مي نمايم.
اكنون تابع برازش شده به همراه مقاديرa وb به همراه خطا و ضريب همبستگي(R) و انحراف معيار(SD) واحتمالي صفر بودن R (P) نمايش داده مي شود. دقت شود كه تابع بصورت: y=a+bx يعني a ضريب ثابت وb ضريب x مي باشد.
براي برازش چند جمله اي فقط كافي است در قسمت 4 از گزينهTools روي منوي polynomial fit كليك مي كنيم. در اين برازش نيز مقادير و ضريب همبستگي(R) و مربع ضريب همبستگي و انحراف معيار(SD) و واحتمالي صفر بودن R (P) بدست مي آيد.
8) برازش دادها بوسيله برنامه نويسي فرترن:
با استفاده از برنامه نويسي نيز مي توان دادها را برازش نمود.اين زوش مزيتهايي بر استفاده از نرم افزارها دارد زيرا مقادير خطاها را نيز به ما مي دهد و بعلاوه به راحتي مي توانيم از سابرتين ها استفاده نمائيم. مثلا در استفاده از نرم افزار Mathematica اگر تعداد دادها زياد باشد زمان نسبتا طولاني را براي وارد كردن دادها مي طلبد.
برازش با استفاده از سابرتينFit :
وروديهاي برنامه مقادير a وb و خطا مي باشد مي باشد يك نمونه از اين برنامه بصورت زير مي باشد، كه بايد سابرتينFit را به آخر آن اضافه كرد، NPT مساوي با تعداد دادها است :
PROGRAM xfit
PARAMETER(NPT=4)
INTEGER i,mwt
REAL a,b,chi2,q,siga,sigb,sig(NPT),x(NPT),y(NPT)
OPEN (3, FILE = ‘DATA3.TXT’)
do 10 i=1,NPT
read(3,*) x(i),y(i),sig(i)
x(i),y(i),sig(i) write(*,*)
10 continue
do 12 mwt=0,1
call fit(x,y,NPT,sig,mwt,a,b,siga,sigb,chi2,q)
if (mwt.eq.0) then
write(*,'(//1x,a)’) ‘Ignoring standard deviation’
else
write(*,'(//1x,a)’) ‘Including standard deviation’
endif
write(*,'(1x,t5,a,f9.6,t24,a,f9.6)’) ‘A = ‘,a,’Uncertainty: ‘,
* siga
write(*,'(1x,t5,a,f9.6,t24,a,f9.6)’) ‘B = ‘,b,’Uncertainty: ‘,
* sigb
write(*,'(1x,t5,a,4x,f10.6)’) ‘Chi-squared: ‘,chi2
write(*,'(1x,t5,a,f10.6)’) ‘Goodness-of-fit: ‘,q
12 continue
END
فصل سوم
روش مونت كارلو
3-1) اعداد تصادفي :
در روش مونت كارلو از اعداد تصادفي استفاده مي كنيم .اعداد تصادفي توليد شده در بازه
[0, 1] مي باشند
اين اعداد را مي توان در زبان برنامه نويسي فرترن با نوشتن rand( ) توليد كرد در داخل پرانتز هسته اعداد مي باشد(iseed) كه هسته را در ابتداي برنامه بوسيله دستور زير معرفي مي كنيم :
parameter(iseed=123456789)
هسته اعداد رندم بايد عددي بين صفر و2147483646 باشد.
سپس نوع برنامه اي كه اعداد رندم را توليد مي كند فراخان مي كنيم: Call srand(iseed)
اگر بخواهيم بازه اعداد رندم توليد شده را به بازهa وb منتقل نماييم از فرمول زير استفاده مي نماييم: Y=a+ (b-a)* rand
مثلا مي خواهيم بازه [1,-1] را بازه [1,71] منتقل نماييم: ixx=1+(70*rand())
با اين عمل عدد رندم توليد شده بين [1,71] مي باشد.
خصوصيات اعداد تصادفي:
پريود اعداد تصادفي بايد از تعداد اعداد تصادفي توليد شده در محاسبه بيشتر باشد.
2- اعداد تصادفي توليد شده بايد داراي توزيع يكنواخت باشند بدين معني كه اگر اعداد تصادفي توليد شده را برحسب فراواني رسم كنيم توزيع آنها يكنواخت باشد.
3-2) روش مونت كارلو
روش مونت كارلو در واقع يك روش حل عددي مسائل مختلف به كمك نمونه‏برداري تصادفي است. اگرچه روش مونت كارلو از نظر اصولي يك روش كارآمد به حساب مي‏آيد ولي در عمل، محاسبات وقتگير آن مانع از كار در اين زمينه مي‏شد. تا اينكه در دهه اخير با روي كار آمدن كامپيوترهاي پرقدرت اين مشكل نيز حل شد. و امروزه روش مونت كارلو يكي از عموميترين روشهاي حل مسائل مي‏باشد. بطور كلي از روش مونت كارلو در حل دو نوع مسئله مي‏توان استفاده كرد:
1ـ مسائلي كه اصولاً در آنها يك واقعه تصادفي رخ نمي‏دهد ولي آنها را مي‏توان به صورت يك حالت تصادفي مطرح كرده و مورد برررسي قرار دهيم. كه به دو قسمت تقسيم مي شود:
الف ـ روش نمونه گيري Monte Carlo Sampling method
ب ـ روش مقدار ميانگين Monte Carlo Mean-value method
2ـ مسائلي كه به نوعي با تصادف سر و كار دارند.
الف ـ روش نمونه گيري
اگر بخواهيم انتگرال محاسبه نماييم مراحل زير را انجام مي دهيم:
مقدارماكزيمم تابع را بدست مي آوريم
يك عداد تصادفي در بازه a وb توليد كرده و مقدار تابع را براي آن حساب مي نمايم(f)
يك عدد تصادفي ديگر در بازه صفر و توليد مي نماييم اگر اين عدد كمتر ازf (كه در قسمت2 بدست آمده بود) باشد اين نقطه زير منحني(n) و در غير اينصورت خارج منحني مي باشد
اين روند را 100000 بار تكرار مي كنيم
مقدار انتگرال برابر است با:

با استفاده از همين روش مي‏توان حجم يا مساحت اشكال مختلف را محاسبه كرد.
مثال :مطلوب است محاسبه عدد( :
براي اين كار مي‏دانيم كه مساحت دايره‏اي به شعاع واحد برابر است با:

بنابراين مقدار عدد ( با بدست آوردن مساحت اين دايره بدست مي‏آيد بنابراين مركز دايره را مبداء گرفته و مربع محيط بر آن را رسم مي‏كنيم مطابق شكل زير:
برنامه محابسه عدد پي:
parameter(iseed=123456789)
call srand(iseed)
write(*,*) “ndata”
read(*,*) ndata
do i=1,ndata
x=rand()
y=sqrt(1-x**2)
r=rand()
m=m+1
if(r.le.y) l=l+1
enddo
p=(4*l)/m
write(*,*) ‘P=’,P
end
مثال: مركز جرم مخروط ناقص به ارتفاع h و شعاعهاي قاعدهR1 وR2 را بدست‌آوريد:
مي دانيم مركز جرم با توجه به تقارون در راستاي Z از رابطه زير بدست مي آيد:

كه r خود تابعي از z مي باشد بصورت زير:

بنابراين يك عدد تصادفي بين صفر وh توليد كرده و در تابع قرار مي دهيم و مقدار تابع را به ازاي آن حساب مي كنيم. سپس عدد تصادفي ديگري بين صفر و fmax توليد كرده و با مقدار تابع در مرحله قبل مقايسه مي كنيم اگر كوچكتر بود زير تابع و اگر بزرگتر بود خارج تابع مي باشد و از فرمول قبل مقدار انتگرال را بدست مي آوريم.
مثال: محاسبه حجم كره به شعاع R
روش اول يك هشتم از كره را در نظر مي گيريم وعدد رندم را بين صفر و R توليد مي كنيم
write(*,*) “R=”,”ndata=”
read(*,*) R,ndata
n=0
b=0
do i=1,ndata
n=n+1
x=R*rand()
y=R*rand()
z=R*rand()
if((x**2+y**2+z**2).LE.R**2) b=b+1
enddo
V=8*(b/n)*R**3
write(*,*) “V”,V
end
روش دوم: كل كره را در نظر مي گيريم و عدد رندم را بين[-r,r] توليد مي كنيم
write(*,*) “R=”,”ndata=”
read(*,*) R,ndata
n=0
b=0
do i=1,ndata
n=n+1
x=-R+(2*R*rand())
y=-R+(2*R*rand())
z=-R+(2*R*rand())
if((x**2+y**2+z**2).LE.R**2) b=b+1
enddo
V=(b/n)*8*R**3
write(*,*) “V”,V
end
روش سوم:بصورت انتگرال دوگانه حل كنيم يعني:
parameter(iseed=123456789)
call srand(iseed)
write(*,*) “R=”,”ndata=”
read(*,*) R,ndata
n=0
b=0
do i=1,ndata
n=n+1
x=R*rand()
y=sqrt(ABS(R**2-x**2))*rand()
Z=sqrt(ABS(R**2-x**2-y**2))
F=F+Z
enddo
V=8*(F/n)*R**2
write(*,*) “V”,V
end
مثال: مطلوب است محاسبه انتگرال دوگانه در بازه
parameter(iseed=123456789)
call srand(iseed)
write(*,*) “ndata”
read (*,*) ndata
s=0
M=0
do i=1,ndata
x=0.5+0.5*rand()
y=(2*x-1)*rand()
f=x**2+y**2
s=s+f
m=m+1
enddo
S=s/m
write(*,*) ‘S=’,S
end
مثال: مطلوب است حجم و مركز جرم ناحيه محصور بين استوانه سهموي و صفحاتx=0,y=0,y=6,z=0

parameter(iseed=123456789)
call srand(iseed)
write(*,*)’ndata’
read(*,*) ndata
s=0
n=0
do i=1,ndata
x=2*rand()
a=4-x**2
s=s+a
n=n+1
enddo
s=(s/n)*12
write(*,*) “S=”,S
end
مثال: طلوب است محاسبه حجم چنبره به معادله زير
حل:

ب ـ روش مقدار ميانگين:
اگر بخواهيم انتگرال تابع را بدست آوريم با توجه به شكل مي توانيم بازه انتگرال گيري را به بازه هاي كوچك تقسيم كنيم:
بنابر اين مي توانيم بنويسيم: وخطاي آماري برابر است با:
براي حالت دو بعدي نيز مي توان نوشت:
برنامه كامپيوتري براي محاسبه انتگرال به روش مقدار ميانگين:
implicit real*8(a-h,o-z)
parameter(a=0.d0, b=1.d0)
parameter(Ncycle=10000, Nprint=Ncycle/10)
parameter(iseed=1234567)
c **** set counters
fav = 0.0d0
f2av = 0.0d0
call srand(iseed)
c *** Start MC cycle (assuming rand() returns random real*1 from 0 to 1)
do icycle = 1, Ncycle
fx = f( a+rand()*(b-a) )
fav = fav + fx
f2av= f2av + fx*fx
c **** print out the running average
if(mod(icycle,Nprint).eq.1) then
frunav = fav / icycle
f2runav = f2av / icycle
f2runav = sqrt((f2runav-frunav*frunav)/icycle)
write(6,2) icycle, frunav*(b-a), f2runav*(b-a)
2 format(1x,i8, “cycles Integral = “,e12.5,” +/- “, e12.5)
endif
enddo
c *** Get the average and the standard deviation
fav = fav / Ncycle
f2av = f2av / Ncycle
f2av = sqrt((f2av-fav*fav)/Ncycle)
c *** Write out the result
write(6,1) Ncycle, fav*(b-a), f2av*(b-a)
1 format(1x,i8, “cycles Integral = “,e12.5,” +/- “, e12.5)
end
c **** Function we integrating
real*8 function f(x)
real*8 x
f=x*x
return
end
3-3) روش مونت كارلو در مكانيك آماري
فرض كنيد بخواهيم تابع پارش براي سيستمي را بدست آورريم تابع پارش (افراز) كلاسيكي براي يك گاز A اتمي كه در يك دما بوسيله پتانسيل وابسته به اختلاف فاصله دو ذره بر همكنش مي‏كنند بصورت زير مي‏باشد.
كه مقدار ‌برابر1ـ(kT) بوده كه k ثابت بولتزمن وT دما و V پتانسيل بين ذره i و j مي‏باشد. براي محاسبه تابع پارش براي يك شبكه 32*32 تعداد كل پيكربنديها برابر است با:
در صورتي كه كامپيوتر داراي سرعت3 گيگابات در ثانيه باشد مدت زماني كه اين عمليات طول مي كشد برابر است با:
پس تقريبا نياز به 283 10 سال زمان داريم . روش مونت كارلو يكي از كارآمدترين تكنيكها براي محاسبه اين نوع مسائل مي‏باشد
مسير يك سيستم عبارت از توالي پيكربنديهاي مختلف آن سيستم مي‏باشد. در چنين سيستمهايي اگر شرايط مرزي و برهمكنشهاي بين ذره‏اي در آن به شكل درستي به كار گرفته ‏شود مي‏توان مسير حركت سيستم را پيگيري كرد. و بررسي آماري اين مسير پيشگوييهاي درستي از اين مجموعه را مي‏دهد و از اين مسير براي شبيه‏سازي مجموعه واقعي از ذرات استفاده مي‏شود
3-3-1) شرايط تعادل سيستم:
اگر احتمال بودن در پيكربندي A در زمانt و احتمال انتقال رفتن سيستم از A بهB تعريف كنيم در حالت تعادل داريم:
اگر تابع توزيع تابع بولتزمن باشد داريم:

3-3-2) الگوريتم متروپوليس:
با توجه به جزئيات تعادل داريم:

بنابراين داريم:
پس اگر پيكربندي سيستم طوري تغيير نماييد كه انرژي پيكربندي جديد كمتر باشد اين حركت حتما انجام مي شود و اگر انرژي پيكربندي جديد بالاتر باشد رفتن سيستم به اين پيكربندي با احتمال نمايي مي باشد
بنابراين در اين الگوريتم بدين صورت عمل مي نماييم
3-4) مدل آيزينگ
اگر سيستمي كه شامل N اسپين است را بر روي يك شبكه همانند شكل زير در نظر بگيريم و سپس يك ميدان مغناطيسي، H، به آن اعمال كنيم آنگاه انرژي اين سيستم را در حالت خاص( مي‏توان از رابطه زير بدست آورد.
(انرژي ناشي از برهمكنش بين اسپينها)
كه در اين رابطه و گشتاور مغناطيسي مي‏باشد. براي انرژي برهمكنش مدل ساده زير را مي‏توان در نظر گرفت:

كه در اين رابطه J ثابت جفت‏شدگي مي‏باشد و مجموعه پريم‏دار بر روي زوجهاي نزديكترين همساية اسپينها گسترش پيدا مي‏كند. سيستم اسپين كه با يك چنين انرژي برهمكنش بيان شود را مدل آيزينگ گويند.
درمدل آيزينگ در شرايطي كه J>0 باشد اسپينها ميل به همخط شدن دارند. بنابراين در دماهاي كاملاً پايين، اين هم خط شدن به يك پديدة همياري، به نام مغناطش خود به خودي منجر مي‏شود. يعني از طريق برهمكنشهاي بين نزديكترين همسايه‏ها، يك گشتاور مغناطيسي معين مي‏تواند همخطي اسپينهايي را كه از اسپين معلومي با يك فاصله ماكروسكوپيكي جدا شده‏اند، تحت تأثير قرار دهد. اين همبستگيهاي بلندبرد بين اسپينها با يك نظم بلندبرد همراهند كه در آن، شبكه، حتي در غياب ميدان مغناطيسي، داراي مغناطش خالص است.
مغناطش، ، در غياب ميدان مغناطيس خارجي را مغناطش خودبخودي مي‏گويند. تا زماني كه دما به اندازة كافي پايين (يا J به اندازة كافي بزرگ باشد) هيچ مغناطش خالصي وجود نخواهد داشت. بالاترين دمايي كه به ازاي آن مغناطش غيرصفر مي‏تواند وجود داشته باشد را با TC (دماي كوري يا دماي بحراني) نشان مي‏دهيم. بنابراين منحني نظير شكل زير خواهيم داشت.
شكل: مغناطش خودبخودي
3-4-1) شبكه گازي
شبكه در نظر گرفته شده براي مدل آيزينگ را به ياخته‏هايي تقسيم مي‏كنيم. و عدد اشغال براي i امين ياخته را با ni نشان مي‏دهيم هر ياخته مي‏تواند توسط يك ذره اشغال شده و يا اشغال نشده باشد. ياخته اشغال نشده ni=0
ياخته اشتغال شده ni=1
اگر اسپين بالا و پايين در مدل آيزينك را به ترتيب متناظر با ياخته اشغال شده و ياخته اشغال نشده در نظر بگريم خواهيم داشت: Si=2ni-1
مدل آيزينگ با اين تغيير را شبكه گازي گويند.مقدار انرژي آزاد را مي توان از رابطه زير بدست آورد:
كه در اين رابطه K ثابت بولتزمن و T دماي كلوين وZ تابع پارش مي باشد.
مقدار خطاي اندازه گيري هر كميت را مي توانيم از رابطه زير بدست آوريم:

3-4-2) روش مونت كارلو براي مدل آيزينگ:
براي نوشتن برنامه كامپيوتري براي مدل آيزينگ مراحا زير را انجام مي دهيم:
1- يك آرايش اوليه براي سيستم بطور رندم انتخاب مي كنيم و انرژي سيستم را
محاسبه مي كنيم
2- يك حلقه روي شبكه تشكيل مي دهيم
يك سايت I بطور تصادفي انتخاب و تغيير انرژي سايت را اگرSi=-Si شود بصورت زير بدست مي آوريم:
شرط متروپوليس را قرار مي دهيم
برگشت به شماره2
3- محاسبه مقادير مورد نياز و متوسط گيري
4- برگشت به شماره2
فصل چهارم
حل معادلات خطي
در اين فصل دو روش براي حل معادلات خطي بيان مي كنيم اين دو روش عبارتند از:
روش نصف كردن فاصله
روش نيوتن – رافسون
و سپس به حل معادلات خطي با استفاده از نرم افزار Mathematica مي پردازيم.
4-1) روش نصف كردن فاصله Bisection
اگر تابع پيوسته f(x) در x=a منفي و در x=b مثبت باشد اين تابع در اين بازه حداقل داراي يك ريشه خواهد بود كه مي توان اين ريشه را با اين روش بدست آورد:
مقدار را بدست آورده و در تابع قرار مي دهيم يعني f(c) ‍‍، مقدار تابع در نقطه وسط بازه بدست مي آوريم

فایل : 43 صفحه

فرمت : Word