برنامه‌ريزي خطي

برنامه‌ريزي خطي
منظور از اثرات مستقيم، همان ضرايب عليت يا ضريب همبستگي جزئي هر صفت با عملكرد در صورت ثابت بودن صفات ديگر است. در جدول 3 مجموع اثرات مستقيم و غيرمستقيم در هر يك از رديف‌هاي جدول برابر ضريب همبستگي صفت با عملكرد خواهد بود. در بين پنج صفت طول برگ پرچم، عرض برگ پرچم، طول پانيكول، پانيكول تا رسيدگي و تعداد دانه در پانيكول، بيشترين ضريب همبستگي بر روي عملكرد مربوط به تعداد دانه در پانيكول با 906/0 بود.
كمترين ضريب همبستگي بر روي عملكرد مربوط به طول برگ پرچم با 434/0 به خود اختصاص داده بود. بيشترين اثر مستقيم را بر روي عملكرد، تعداد دانه در پانيكول با 724/0 داشت. كمترين اثر مستقيم را بر روي عملكرد، عرض برگ پرچم با 164/0- داشت.
بيشترين اثر غيرمستقيم طول برگ پرچم از طريق تعداد دانه در پانيكول است و بين تعداد دانه در پانيكول با طول برگ پرچم ارتباط مثبتي وجود دارد، يعني با افزايش تعداد در پانيكول، طول برگ پرچم بيشتر و باعث شده كه عملكرد افزايش يابد. بيشترين اثر غيرمستقيم عرض برگ پرچم از طريق تعداد دانه در پانيكول بدست آمده است. لذا با افزايش تعداد دانه در پانيكول، عرض برگ پرچم بيشتر و در نهايت سبب افزايش عملكرد شد.
اين مورد با نتايج ضرايب همبستگي مطابقت دارد، چرا كه ضريب همبستگي صفات عرض برگ پرچم و
تعداد دانه در پانيكول 502/0 است. بيشترين اثر غيرمستقيم طول پانيكول از طريق تعداد دانه در پانيكول بوده. بنابراين با افزايش تعداد دانه در پانيكول، طول پانيكول بيشتر و عملكرد بيشتر گرديد.
اين مورد نيز با نتايج ضرايب همبستگي مطابقت دارد، زيرا ضريب همبستگي صفات طول پانيكول و تعداد دانه در پانيكول 611/0 است. بيشترين اثر غيرمستقيم پانيكول تا رسيدن از طريق تعداد دانه در پانيكول بوده است، اما با افزايش تعداد دانه در پانيكول، پانيكول تا رسيدگي كمتر و نيز سبب كاهش عملكرد شد. اين مورد نيز همچون گذشته با نتايج ضرايب همبستگي مطابقت دارد، چرا كه ضريب همبستگي پانيكول تا رسيدگي و تعداد دانه در پانيكول 4/0- است. بيشترين اثر غيرمستقيم تعداد دانه در پانيكول، از طريق پانيكول تا رسيدگي بود.
تمرين
يك كارخانه خوراك دام براي گاو، گوسفند و طيور خود خوراك تهيه مي‌كند. اين خوراك با تركيب مواد اصلي زير تهيه مي‌شود: ذرت، سنگ آهك، دانه سويا و پودر ماهي. اين مواد شامل تركيبات مغذي زير است: ويتامين‌ها، پروتئين، كلسيم و چربي خام. ميزان اين تركيبات در هر كيلوگرم از مواد اصلي در جدول زير خلاصه مي‌شود:
كارخانه براي توليد 10، 6 و 8 تن (در واحد متريك) خوراك گاو، گوسفند و طيور قرارداد بسته است. به دليل كمبود، مقدار محدودي از مواد، يعني 6 تن ذرت، 10 تن سنگ آهك، 4 تن دانه سويا و 5 تن پودر ماهي موجود است. قيمت هر كيلوگرم از اين مواد به ترتيب 20/0، 12/0، 24/0 و 12/0 دلار است. حداقل و حداكثر واحدهاي تركيبي مواد مختلف مغذي در هر كيلوگرم خوراك گاو، گوسفند و طيور در جدول زير خلاصه شده است:
اين مساله را طوري فرمول‌بندي كنيد كه كل هزينه مينيمم شود.
كاركنان فني يك بيمارستان تصميم دارند سيستم غذايي، كامپيوتري آن بيمارستان را توسعه دهند. ابتدا برنامه غذايي ناهار را بررسي مي‌كنند. برنامه غذايي ناهار به سه گروه اصلي تقسيم مي‌شود: سبزيجات، گوشت و دسر. در هر سفارش حداقل يك سرويس از هر گروه تقاضا مي‌شود. هزينه هر سرويس از اقلام پيشنهادي به علاوه تركيبات هيدروكربن‌ها، ويتامين‌ها، پروتئين‌ها و چربي در جدول زير خلاصه مي‌شود:
فرض كنيد كه حداقل هيدروكربن‌ها، ويتامين‌ها، پروتئين‌ها و چربي‌هاي مورد نياز در هر وعده غذا به ترتيب 5، 10، 10 و 2 است.
الف) مساله برنام غذايي را به صورت برنامه‌ريزي خطي فرمول‌بندي كنيد.
ب) بسياري از جنبه‌هاي واقعي اين مدل ناديده گرفته شده است. اين جنبه‌ها شامل برنامه‌ريزي صبحانه، ناهار و شام با هم، برنامه‌ريزي هفتگي كه در آن انواع غذاها استفاده شود و برنامه غذايي ويژه بيماران، رژيم غذايي خاص، در مورد اينكه چگونه مي‌توانيم اين جنبه‌ها را در يك سيستم ويژه غذايي جامع تلفيق كنيم. به تفضيل بحث كنيد.
مساله تعيين مكان نصب يك ماشين جديد را در يك خط توليد شامل چهار ماشين درنظر بگيريد. اين ماشين‌ها در مختصات x1, x2 زير تعبيه شده‌اند:

فرض كنيد مختصات ماشين جديد است. مساله يافتن بهترين مكان نصب ماشين جديد را در هر يك از حالت‌هاي زير به صورت برنامه خطي فرمول‌بندي كنيد.
الف) مجموع تفاضل ماشين جديد از چهار ماشين مينيمم است، فاصله خياباني را بكار ببريد، مثلاً فاصله نقطه از ماشين اول |x1-3|+|x2| است.
ب) به علت وجود جريان‌هاي مختلف مابين ماشين جديد و ماشين‌هاي قبلي مساله را وقتي مجموع فواصل وزين مينيمم مي‌شود، تجديد فرمول كنيد، به طوري كه اوزان متناظر با چهار ماشين به ترتيب 5، 7، 3 و 1 باشد.
ج) براي جلوگيري از تراكم ماشين‌ها، فرض كنيد بخواهيم ماشين جديد در مربع نصب كنيم. قسمت‌هاي الف و ب را با اين محدوديت اضافه فرمول‌بندي كنيد.
د) فرض كنيد بخواهيم ماشين را طوري نصب كنيم كه فاصله آن از ماشين اول از 2/3 بيشتر نشود و مساله را با اين محدوديت اضافي فرمول‌بندي كنيد.
مساله پرتاب يك راكت به ارتفاع ثابت b در زمان مفروض T را كه كمترين مقدار سوخت را مصرف مي‌كند، درنظر بگيريد. فرض كنيد u(t) قدرت شتاب فرار راكت و y(t) ارتفاع آن در زمان t باشد. مساله را مي‌توان چنين فرمول‌بندي كرد:

كه در آن g نيروي شتاب ثقل و y مشتق دوم ارتفاع y است. مساله را به شكل گسسته بنويسيد و آن را به صورت يك برنامه خطي فرمول‌بندي كنيد. به ويژه مساله را در T=10 و g=32 و b=15 فرمول‌بندي كنيد (راهنمايي: انتگرال با مجموع سره و مشتقات را با معادلات تفاضلي عوض كنيد. تغيير متغير |uj|=xj را اعمال كنيد و توجه كنيد كه xi≥-uj, xi≥uj ).
شركتي مي‌خواهد براي دو فقره از توليداتش با توجه به تقاضاهاي فصلي براي مدت 12
ماه برنامه‌ريزي كند. تقاضاي ماهيانه فقره يك صد هزار واحد در طول ماه‌هاي اكتبر، نوامبر و دسامبر، ده هزار واحد در طول ماه‌هاي ژانويه، فوريه، مارس و آوريل. سي‌ هزار واحد در طول ماه‌هاي باقيمانده. تقاضاي فقره 2 در طول ماه‌هاي اكتبر تا فوريه 50000 واحد و 15000 واحد در طول ماه‌هاي باقيمانده است. فرض كنيد كه هزينه توليد فقرخ 1 و 2، به ترتيب 5 و 8 دلار است، به شرطي كه آنها قبل از ماه ژوئن توليد شده باشند. بعد از ماه ژوئن، به علت اصلاح سيستم توليد، هزينه دو فقره به 5/4 و 7 دلار كاهش مي‌يابد. تعداد كل اقلام توليدي فقره 1 و 2 هر ماه در فاصله زماني بين ماه‌هاي ژانويه ـ سپتامبر حداكثر 120000 و بين ماه‌هاي اكتبر ـ دسامبر حداكثر 150000 است. علاوه بر اين، هر واحد از فقره 1 دو فوت مكعب و هر واحد فقره 2 چهار فوت مكعب از فضاي انبار را اشغال مي‌كند. فرض كنيد كه ماكزيمم فضاي انبار كه به اين دو فقره مي‌توان اختصاص داد، 150000 فوت مكعب است و هزينه نگهداري هر فوت مكعب در طول ماه 1/0 دلار است. مساله زمانبندي توليد را طوري فرمول‌بندي كنيد كه كل هزينه و انبارداري مينيمم شود.
يك كارخانه نساجي پنج نوع پارچه توليد مي‌كند. تقاضا (بر حسب هزار يارد) در طول سه ماه سال براي اين نوع پارچه به ترتيب 16، 48، 21 و 82 است. اين پنج نوع پارچه پس از بافت و دسته‌بندي در بازار هر يارد به ترتيب به قيمت 9/0، 8/0، 8/0، 2/1 و 6/0 دلار فروخته مي‌شود. علاوه بر توليد و بسته‌بندي در خود كارخانه، پارچه‌ها از خارج كارخانه نيز خريداري مي‌شود و قبل از فروش در خود كارخانه بسته‌بندي مي‌شود. اگر پارچه‌هاي بسته‌بندي نشده از خارج كارخانه خريداري شوند، هزينه پنج نوع پارچه هر يارد 8/0، 7/0، 75/0، 9/0 و 7/0 دلار است. اگر در خود كارخانه توليد شود، هر يارد به ترتيب 6/0، 5/0، 6/0، 7/0 و 3/0 دلار هزينه برمي‌دارد. دو نوع دستگاه در كارخانه وجود دارد كه مي‌توانند پارچه توليد كند. يعني 10 دستگاه Dobbie و 80 دستگاه عادي. ميزان توليد هر دستگاه Dobbie در ساعت براي پنج پارچه به ترتيب 6/4، 6/4، 2/5، 8/3 و 2/4 يارد است. دستگاه عادي به همان ميزان دستگاه Dobbie توليد دارد، فقط پارچه‌اي نوع 3، 4 و 5 را مي‌تواند توليد كند. با فرض اينكه كارخانه هفت روز هفته و هر روز هم 24 ساعت كار مي‌كند، مساله برنامه‌ريزي بهينه براي برآورد تقاضاي بازار براي سه ماه در سال
را به صورت خطي فرمول‌بندي كنيد. آيا فرمول‌بندي شما يك مساله حمل و نقل است؟ اگر نه، مساله را به صورت يك مساله حمل و نقل دوباره فرمول‌بندي كنيد.
شخصي 2200 دلار را مي‌خواهد در پنج سال آينده سرمايه‌گذاري كند. در شروع هر سال او مي‌تواند پولش را براي يك دوره يك ساله يا دو ساله به حساب بگذارد. بانك 8 درصد سود به ازاي هر سال سپرده و 17 درصد (در كل) براي دو سال سپرده مي‌پردازد. به علاوه، شركتي براي سه سال سود تضميني پيشنهاد مي‌كند كه شروع آن در شروع سال دوم است. اين تضمين شامل 27 درصد (در كل) است و اگر اين شخص موجودي‌اش را هر سال سرمايه‌گذاري كند، يك برنامه خطي ارائه دهيد تا به او نشان دهد چگونه بايد سرمايه‌گذاري كند تا در سال پنجم پول نقدش ماكزيمم گردد.
يك كارخانه فولادسازي تيرآهن به شكل I را در چهار اندازه كوچك، متوسط، بزرگ و خيلي بزرگ توليد مي‌كند. هر يك از ماشين‌هاي B, A و C مي‌تواند اين تيرآهن‌ها را توليد كند. طول تيرآهن‌هاي توليدي توسط ماشين‌ها در هر ساعت چنين خلاصه مي‌شود:
با فرض اينكه از هر ماشين تا 50 ساعت در هفته مي‌توان استفاده كرد و نيز هزينه هر ساعت كار اين ماشين‌ها، به ترتيب 30، 50 و 80 دلار است. علاوه بر
اين با فرض اينكه 10000، 8000، 6000 و 6000 فوت از اندازه‌هاي مختلف تير I در هر هفته لازم است. مساله زمان‌بندي ماشين را به صورت برنامه‌ريزي خطي فرمول‌بندي كند.
يك شركت دو نوع پنير توليد مي‌كند: پنير سوئيسي و پنير تند. شركت 60 كارگر مجرب دارد و مي‌خواهد تعداد نيروي كار خود را به 90 كارگر در طول 8 هفته آينده افزايش دهد. هر كارگر مجرب مي‌تواند سه كارگر تازه استخدام جديد را در يك دوره 2 هفته‌اي آموزش دهد كه در طول اين مدت كارگران آموزش دهنده چيزي توليد نمي‌كنند. توليد 10 پوند پنير سوئيسي يك ساعت و توليد 6 پوند پنير تند نيز يك ساعت وقت مي‌گيرد. يك هفته كاري چهل ساعت است. تقاضاي هفتگي (بر حسب 1000 پوند) چنين خلاصه مي‌شود:
فرض كنيد هر كارگر كارآموز همان حقوق كارگر مجرب را دريافت كند. علاوه بر اين، فرض كنيد تاريخ مصرف پنيرها يك هفته باشد. شركت چگونه بايد دستمزد بپردازد و نيروهاي جديد را آموزش دهد تا هزينه دستمزدها كمترين شود؟ مساله را به صورت برنامه خطي فرمول‌بندي كند.
يك ميله فولادي به طول 36 اينچ داريم و با كمك يك دستگاه برش مي‌خواهيم قطر آن را از 14 اينچ به 12 اينچ برسانيم. x1 سرعت دوراني (دور در دقيقه)، x2 سرعت عمقي (اينچ در دقيقه) و x3 سرعت طولي‌ (اينچ در دقيقه) كميت‌هاي موردنظر هستند كه بايد مشخص شوند. مدت زمان برش با رابطه داده مي‌شود. تراكم و فشار كنارز وارد بر دستگاه برش به ترتيب با رابطه 30×1+4000×2 و 40×1+6000×2+6000×3 پوند بر اينچ مربع است. درجه حرارت تيغه برش بر حسب فارنهايت (x2+x3)150+x15/0+200 است. ماكزيمم تراكم، فشار كناري و درجه حرارت مجاز به ترتيب 150000 و 100000 هر اينچ مربع و 800 درجه فارنهايت است. مي‌خواهيم سرعت (كه بايد در فاصله 600 تا 800 دور در هر دقيقه باشد)، عمق برش و طول برشرا تعيين كنيم، به طوري كه زمان برش مينيمم شود. براي بكارگيري يك مدل خطي تقريب زير ارائه مي‌شود. چون
مينيمم است، اگر و فقط اگر x2x3 ماكزيمم باشد، تابع هدف با ماكزيمم مينيمم x2 و x3 جايگزين مي‌كنيم. مساله را به صورت يك مدل خطي فرمول‌بندي كنيد و درستي تقريب بكار رفته در تابع هدف را بررسي كنيد.
پالايشگاهي مي‌تواند دو نوع نفت خريداري كند: نفت خام سفيد و نفت خام سنگين. هزينه هر بشكه به ترتيب 11 و 9 دلار است. محصول گازوئيل، نفت سفيد و سوخهت هواپيماي توليدي از هر بشكه مطابق جدول زير است:
قابل توجه است كه در هنگام فرآيند پالايش به ترتيب 5 و 8 درصد آنها هدر مي‌رود. پالايشگاه براي تحويل 1 ميليون بشكه گازوئيل، 400000 بشكه نفت سفيد و 250000 بشكه سوخت هواپيما قراردادي امضا كرده است. مساله يافتن تعداد بشكه‌هاي دو نوع نفت خاك را براي برآوردن تقاضا و مينيمم‌سازي كل هزينه به صورت يك مدل خطي فرمول‌بندي كنيد.
شركتي مونتاژ محصولي را برعهده دارد كه شامل قاب، ميله فلزي و بلبرينگ است. شركت ميله فلزي و قاب را خود توليد مي‌كند، اما بلبرينگ را از توليد كننده ديگري خريداري مي‌كند. هر ميله فلزي بايد مراحل ماشين‌ سندان، ماشين تراش و ماشين تيزكن را بگذارند. اين مراحل به ترتيب 5/0، 2/0 و
3/0 ساعت براي هر ميله فلزي وقت‌ مي‌گيرد. هر قاب 8/0 ساعت در ماشين سندان، 1/0 ساعت در ماشين تيزكن، 20 ماشين سندان، 3 ماشين سوراخ‌كن و 6 آسياب دارد. با فرض اينكه هر ماشين ماكزيمم 2400 ساعت در هر سال كار مي‌كند، مساله يافتن ماكزيمم تعداد مولفه‌هاي محصول توليدي مونتاژ را به صورت يك مدل خطي فرمول‌بندي كنيد .
يك شركت توليد كننده تلويزيون تصميم دارد تلويزيون‌هاي سياه و سفيد رنگي توليد كند. ارزيابي بازار نشان مي‌دهد كه حداكثر مي‌توان 1000 تلويزيون رنگي و 4000 تلويزيون سياه و سفيد در ماه فروش داشت. ماكزيمم تعداد نفر ـ‌ ساعت موجود در هر ماه 50000 است. يك تلويزيون رنگي 20 نفر ـ ساعت و يك تلويزيون سياه و سفيد 15 نفر ـ ساعت وقت مي‌گيرد. سود حاصل از تلويزيون‌هاي رنگي و سياه و سفيد به ترتيب 60 و 30 دلار است. مي‌خواهيم تعداد تلويزيون‌هايي را پيدا كنيم كه شركت بايد از هر نوع توليد كند تا سود آن ماكزيمم شود. مساله را فرمول‌بندي كنيد.
يك توليد كننده محصولات پلاستيكي محصول جديدي را با تركيب چهار ماده شيميايي طراحي كرده است. اين مواد عمدتاً حاصل تركيب سه عنصر است: C, B, A. درصد تركيبي و
هزينه هر واحد از اين مواد شيميايي در جدول زير آمده است:
محصول جديد شامل 20 درصد از عنصر A، حداقل 30 درصد از عنصر B و حداقل 20 درصد از عنصر C است. با توجه به تاثير مواد شيميايي 1 و 2، اين مواد از 30 و 40 درصد محصول جديد بيشتر نيست. مساله يافتن حداقل هزينه تركيبي را به صورت برنامه خطي فرمول‌بندي كنيد.
يك مدير توليد زمان‌بندي سه محصول روي چهار ماشين را برنامه‌ريزي مي‌كند. هر محصول مي‌تواند با هر ماشين توليد شود. هزينه توليد هر واحد (بر حسب دلار) چنين است:
زمان لازم (بر حسب ساعت) براي توليد هر واحد محصول در هر ماشين در جدول زير آمده است.
فرض كنيد كه 4000، 5000 و 3000 واحد از محصولات مورد نياز است و نيز ماشين ـ ساعت موجود به ترتيب 1500، 1200، 1500 و 2000 باشد. مساله زمان‌بندي را به صورت يك برنامه خطي فرمول‌بندي كنيد.
يك توليد كننده مبلمان خانگي سه كارخانه دارد كه در هر هفته، 500، 700 و 600 تن الوار احتياج دارد. توليد كننده الوارهاي مورد نيازش را از سه شركت مي‌تواند خريداري كند. دو شركت اول در تحويل الوارها واقعاً محدوديتي ندارند، ولي شركت سوم به دليل ساير تعهداتش حداكثر در هر
هفته مي‌تواند 500 تن الوار را تحويل دهد. شركت اول از راه‌آهن استفاده مي‌كند و محدوديتي در توناژ باري كه به توليد كننده تحويل مي‌دهد ندارد. از طرف ديگر، دو شركت ديگر از كاميون براي حمل الوارها استفاده مي‌كنند و ماكزيمم باري كه مي‌توانند به هر توليد كننده تحويل دهند، 200 تن است. جدول زير هزينه حمل و نقل از شركت‌هاي الوار به كارخانه‌هاي مبلمان‌سازي را (بر حسب هر تن دلار) ارائه مي‌دهد:
مساله را به صورت يك برنامه‌ريزي خطي فرمول‌بندي كنيد.
يك شركت تعاوني مي‌خواهد در سال آينده به 3 شركت اقماري‌اش سي ميليون دلار اعتبار تخصيص دهد. به علت تعهداتش به كاركنان ثابت شركت و به دلايل ديگر، شركت تعاوني يك حداقل تخصيصي براي هر يك از شركت‌ها درنظر گرفته است. اين مبالغ به ترتيب 3، 5 و 8 ميليون دلار است. شركت اقماري 2 به خاطر ماهيت عملياتي‌اش بدون افزايش سرمايه اوليه‌اش نمي‌تواند بيش از 17 ميليون دلار به كار اندازد. شركت تعاوني در حال حاضر تمايلي به افزايش سرمايه ندارد. هر شركت با پولي كه دريافت مي‌كند، فرصت اجراي پروژه‌هاي مختلفي را دارد. نرخ بهره (به صورت درصدي از سرمايه‌گذاري) به ازاي هر پروژه تدوين شده است. به علاوه، در بعضي
از پروژه‌ها در جذب سرمايه سقفي وجود دارد. داده‌هاي هر پروژه در زير آمده است:
اين مساله را به صورت يك برنامه خطي فرمول‌بندي كنيد.
قرار است 10 جريب زمين براي بهره‌برداري در شهر نيويورك آماده شود. مقامات شهر بايد روي طرح توسعه تصميم‌گيري كنند. دو نوع طرح خانه‌سازي قرار است بررسي شود: خانه‌هاي كم‌درآمد و خانه‌هاي با درآمد متوسط. در هر جريب زمين 20 واحد كم‌درآمد و 15 واحد با درآمد متوسط مي‌توان خانه‌سازي كرد. هزينه هر واحد از خانه‌هاي كم‌درآمد 13000 دلار هزينه هر واحد از خانه‌هاي با درآمد متوسط 18000 دلار است. حداقل و حداكثر تعداد خانه‌هاي با درآمد كم كه بايد توسط مقامات شهري احداث شود، 60 و 100 است. به طريق مشابه حداقل و حداكثر تعداد خانه‌هاي با درآمد متوسط 30 و 70 است. ماكزيمم تعداد تقاضا بالقوه هر دو نوع طرح 150 برآورد مي‌شود (كه اين رقم به دليل وجود متقاضي يا متقاضيان همزمان دو نوع طرح از مجموع سقف‌هاي دو طرح كمتر است). كل مبلغ رهن تعهد شده طرح جديد از دو ميليون دلار كمتر است. سرانجام، مهندس مشاور تعداد خانه‌هاي كم‌درآمد را از يك و
نيم برابر تعداد خانه‌هاي با درآمد متوسط 50 واحد بيشتر پيشنهاد كرده است.
الف) مينيمم هزينه مساله طرح‌ريزي جديد را به صورت برنامه‌ خطي فرمول‌بندي كنيد و آن را به طور نموداري حل كنيد.
ب) مساله را وقتي تابع هدف ماكزيمم تعداد خانه‌هايي بگيريم كه قرار است ساخته شود، دوباره فرمول‌بندي كنيد
يك منطقه به نام m ناحيه مسكوني و تجاري تقسيم مي‌شود. هر ناحيه با يك گره نشان داده مي‌شود و گره‌ها با خطوطي كه نمايانگر مسيرهاي اصلي هستند، به هم وصل مي‌شود. ساكنين نواحي مختلف مي‌توانند به نواحي تجاري ناحيه خودشان يا نواحي ديگر بروند، به طوري كه به هر گره تعدادي سفر ختم مي‌شود يا مبداء تعدادي سفر است. به ويژه، فرض كنيد aij تعداد سفرهاي به مبداء I و به مقصد j باشد و فرض كنيد bij زمان سفر از گروه i به گره j باشد. مي‌خواهيم مسيرهاي انتخابي توسط ساكنين را مشخص كنيم:
الف) مساله را با يك شبكه مناسب شرح دهيد.
ب) بعضي از عوامل موثر در اين مساله تخصيص ترافيك را توسعه دهيد و به ازاي هر يك از آنها مدل مناسب را توصيه كنيد.
مساله زمان‌بندي رسيدگي به دعاوي در يك دوره زماني شامل n دوره را درنظر بگيريد. فرض كنيد bj ساعت‌هاي حضور قاضي در دادگاه
در دوره jام، hij تعداد دعاوي نوع iام كه در دوره jام طرح مي‌شود، باشد. ai تعداد ساعت‌هاي لازمي باشد كه براي دعواي نوع iام بايد صرف قضاوت كرد. تعيين تعداد دعاوي نوع iام كه بايد در دوره jام رسيدگي شود، مدنظر است:
الف) مساله را به صورت مدل خطي فرمول‌بندي كنيد.
ب) مدل قسمت (الف) را به طريقي اصلاح كنيد كه رسيدگي به دعاوي براي يك مدت طولاني به تاخير نيافتد.
فرض كنيد m منبع توليد زباله و n مكان دفع آن وجود دارد. مقدار زباله توليدي در منبع iام ai و ظرفيت مكان jام و bj است. مي‌خواهيم از بين k ايستگاه كمكي كه جهت انتقال زباله‌ها درنظر گرفته شده است، ايستگاه كمكي مناسب را انتخاب كنيم. ايستگاه كمكي بالقوه kام داراي هزينه ثابت fK و ظرفيت qk و هزينه پردازش ak به ازاي هر تن زباله است. فرض كنيد cik و ckj به ترتيب هزينه‌هاي حمل از منبع iام به ايستگاهع انتقال kام و از ايستگاه انتقال به مكان دفع زباله jام باشد. مساله انتخاب ايستگاه انتقال و الگوي حمل و نقل مناسب است، به طوري كه كل سرمايه و هزينه عملياتي ايستگاه به علاوه هزينه حمل و نقل مينيمم شود. اين مساله را فرمول‌بندي كنيد
(راهنمايي: فرض كنيد اگر ايستگاه انتقال kام انتخاب شود yk مساوي 1 است و ساير موارد صفر است).
يك بنگاه برنامه‌ريزي دولتي مي‌خواهد مقادير خريد نفت سفيد مورد استفاده در n انبار را در m مزايده مشخص كنيد. فرض كنيد ماكزيمم كميت پيشنهادي در مزايده iام، ai گالن و نيز تقاضا انبار jام bj گالن باشد، فرض كنيد cij هزينه هر واحد حمل و نقل از محل مزايده iام به انبار jام باشد.
الف) مساله مينيمم كردن كل هزينه خريد را به صورت برنامه خطي فرمول‌بندي كنيد.
ب) فرض كنيد وقتي كميت سفارشي از سطح ai بيشتر شود، مزايده iام در هزينه هر واحد حمل و نقل تخفيفي پيشنهاد كند. چگونه اين تغيير را در مدل قسمت الف ايجاد مي‌كنيد.
كيفيت هوا در يك ناحيه صنعتي به طور بسيار زيادي به انتشار گازهاي خروجي n كارخانه مستقر در آن ناحيه بستگي دارد. هر كارخانه مي‌تواند m نوع سوخت مختلف مصرف كند. فرض كنيد كل انرژي مورد نياز كارخانه jام در هر روز bj واحد انگليسي ترمال و نيز cij مقدار گاز خروجي به ازاي هر تن سوخت مصرفي نوع iام در كارخانه jام است. به علاوه، فرض كنيد هر تن سوخت نوع iام، ci دلار هزينه دربر مي‌دارد و نيز هر

فایل : 23 صفحه

فرمت : Word