رياضي

مقدمه :
براي محاسبه اعداد y Betti را محاسبه كنيم، از هومولوژي (همگون سازي) ساده شده استفاده مي كنيم. يك بردار غيرمربع را براي يك بردار با مدخلش در {0,1} تعريف كنيد.
بگذاريد M يك ايدهآل تك جمله اي باشد و
{بردارهاي غيرمربعc مانند
اين مجموعه بالايي ساده شده كوزل M مثلا در (12) تعريف شده است. ما ميتوانيم اعداد بتي درجه Nn مربوط به M را با نسبت از (تئوري 34-1) محاسبه كنيم. جمع كردن تمام b هاي غيرمربع بادرجه j و Bij(M) را به دست ميدهد.
يا نشان مي دهيم كه ، كه ثابت مي كند J يك تجزيه خطي ندرد (وقتي . يگ بردار غيرمربع واحد ،مرتبط با درجه b=(1,…,1) , 2r+1 وجوددارد كه به حداقل مربوطند. در اينجا يك مجموعه زنجيره اي داريم
در زير ، ما بايد از نكته پايين استفاده كنيم: اگر يك بردار با مدخل هايي در {0,1} مربوط به صورتي در مجموعه ساده شده مان باشد،غالبا بايد صورت را به صورت
بنويسيم، كه در آن jt دقيقا مدخل هاي غيرصفر مربوط به مي باشد و
تمامي صورت هايي كه با آنها كار مي كنيم، حداكثر دو بعد دارند .ما صورت ها را به نحوي ميگردانيم كه اگر را در مسير مثبت و رادر جهت منفي قرار دهيم. به طور مشابه ما خطوط را به نحوي هدايت ميكنيم كه رفتن از xi0 به xi1 در جهت مثبت باشد.
براي يافتن ، ما نيازمند حساب كردن هستيم. اگر بتوانيم عنصري در ايجادكنيم كه در نباشد، نشان داده ايم.
كه . ما بايد به پوشش هاي رئوس وتك جمله اي مرتبط پايين به صورت متغير رجوع مي كرديم.
نخست فرض كنيد كه 2r+1>v ،ما حالت 2r+1=v را به طور جداگانه انجام مي دهيم. ما نخست ادعا مي كنيم كه . اگر بود ،پس بايد يك پوشش راس حداقل وجود داشته باشد كه آن را تقسيم كرده باشد. اما بعد را تقسيم مي كند چون وجود ندارند. براي پوشاندن خطوط9-27 باقي مانده اي كه پوشانده نشده اند حداقل به رئوس 4-r
نيازمنديم. اين يعني اينكه درجه ،اما همه پوشش هاي رئوس حداقل وبنابراين حداقل توليد كننده هاي j درجه r+1 دارند. (توجه كنيدكه وقتي 2r+1=9 ، حداقل توليد كننده هاي J درجه 5 دارند ، و درجه 6 دارند.بنابراين بعد نشان ميدهيم كه در J هستند.
براي اثبات اين امر بايد نشان بدهيم كه يك پوشش راس حداقل هر يك از اين تك جمله اي ها را تقسيم مي كند. درنخستين حالت از استفاده كنيد ؛ در دومي عمل مي كند. و در آخري از استفاده كنيد.
بنابراين خطوط هستند، اما صورتي از نيست. بنابرين در تصوير وجود ندارد.
البته ،
بنابراين f در قسمت است و سپس J يك تجزيه خطي ندارد.
وقتي 2r+1=7 مباحث كمي متفاوتي نياز داريم. يك فرد مي تواند حساب كند كه در اين حالت ،دوگانگي الكساندر به صورت زير است.
و تجزيه آزاد حداقل درجه را دارد:
بدليل جفت دوم دردرجه هفتم، يك تجزيه خطي ندارد. بنابراين G به ترتيب كوهن-مكوالي نيست.
نكته 2-4-قضيه 1-4 مستقل از خاصيت K است.توجه كنيد كه اگر k ويژگي اوليه داشته باشد،اعداد درجه بندي شده بتني R/J مانند حالت در صفر هستند يا بالا مي روند، به اين دليل است كه رفتار براي بعد گروه هاي هومولوژي كه ما حساب كرده ايم، يكسان است. ابعاد گروههاي هومولوژي در ويژگي p>0 با حالت صفر يكسان هستند يا ممكن است اگر يك قسمت پيچش p معرفي مي شود، افزايش يافند. براي نمونه ، قسمت پاياني بحث ضرايب جهاني را در فصل 9و13 ببينيد. بنابراين براي تمامي حالت هاي k داريم
حالت 5 دايره اي نشان ميدهد كه عكس فرضيه 2-3 نادرست است .گراف هاي غيروتري بسياري هستند كه به ترتيب كوهن-مكوالي مي باشند. ما اينجا دونمونه ساده مي آوريم تا نشان دهيم كه تغييرات كوچك در گرافي كه به ترتيب كوهن-مكوالي نيست ميتواند گرافي را به دست بدهد كه چنين ويژگي را داراست.
مثال 3-4-G را در 4-دايره در نظر بگيريد و H را گراف G با يك راس پنجم كه توسط يك خط واحد به G متصل شده است فرض كنيد.بنابراين ,
با توجه به قضيه 1-4-، G به ترتيب كوهن-مكوالي نيست.دوگانه الكساندر اينگونه است:

چك كردن اين كه خطي و هم جهت مولفه است راحت است چون عملگر واحدي در درجه 2 ونظم 3 دارد. بنابراين H به ترتيب كوهن-مكوالي است.
مثال 4-4- به عنوان يك مسئله كمي پيچيده تر، فرض كنيد كه G يك 6 دايره است و ماگراف H را با اضافه كردن يك راس هفتم واتصال آن به دو راس مجاور G به دست مي آوريم.
بنابراين :
وهمچنين:
يك فرد مي تواند در ملكوالي 2 چك كند كه خطي و به جهت مولفه است ،پس H به ترتيب كوهن-ملكوالي بودن خارج قسمت ها توسط ايده آل هاي تك جمله اي با تو جه به Daral [2] سود مي برد.
به خاطر بياوريد كه يك عنصر و جايي كه يك مجموعه ساده شده است، يك صورت ناميده مي شود. بعد صورت F ، است. بعد در
نتيجه مي باشد. ما مي نويسيم ،تا زير مجموعه كه صورت هاي بيشينه اش (صفحات ) تمامي صورت هايي بعد I هستند را نشان دهيم.
فرضيه 5-4 ] 2، فرضيه 3-3[ .I را يك ايده آل تك جمله اي غيرمربع فرض كنيد و را مجموعه ساده شده تعريف شده توسط I از طريق تناظر استنلي، رسيند در نظر بگيريد. تا را زير مجموعه I بعدي خالص در نظر بگيريد. پس R/I به ترتيب كوهن-مكوالي است اگر وتنها اگر هر كوهن –مكوالي باشد.
ما همچنين به تعريف زير نيازمنديم:
تعريف 6-4- اگر مجموعه ساده شده اي از بعد d-1 باشد پس بردار f در جايي كه fi تعداد صورت هاي بعد I است (جايي كه .
اگر
سري هاي هيلبرت –پوينكر باشد، در نتيجه بردار به صورت است.
تكميل يك گراف G كه با نشان داده شده است. گرافي است با مجموعه رئوسي يكساني چون G ، اما با مجموعه خط
فرضيه 7-4-G را به عنوان يك گراف ساده در نظر بگيريد. H2 را مجموعه رئوس جداي Gc و در نظر بگيريد (پس ،اتحاد غير متصل است).
اگر در نتيجه به ترتيب كوهن-مكوالي نيست.
اثبات. چون يك ايده آل تك جمله اي غرمربع است، همچنين با يك مجموعه ساده شده از طريق تناظر استنلي – رسيند مرتبط است. به ويژه ، است جايي كه يك مجموعه گروه مرتبط با است.بگذاريد زير مجموعه 1بعدي خالص را نشان دهد.حالا به سادگي اسكلت است كه يعني اين يك گراف مي باشد. به طور مشخص، چون يك گراف است، بردار f به صورت است.
با استفاده از نسبت بين بردارهاي F و h همان طور كه در صفحه 56 كتاب استنلي داده شده است داريم:

اگر ، در نتيجه يك ترتيب نيست (تمام مقادير بايد مثبت باشند).پس توسط (نتيجه پيامد 2-3) كوهن –مكوالي نيست چون بردار h يك حلقه كوهن-مكوالي استني

فایل : 8 صفحه

فرمت : Word