مقاله در مورد سری فوریه

سری فوریه
ژان باپتیست ژوزف فوریه (متولد ۲۱ مارس ۱۷۶۸ در اوسر؛ درگذشتهٔ ۱۶ مه ۱۸۳۰ در پاریس)، ریاضی‌دان و فیزیک‌دان فرانسوی.
پدر فوریه به خیاطی اشتغال داشت و زمانی که وی هشت سال بیشتر نداشت، از دنیا رفت. فوریه در مدرسه نظامیِ زادگاه‌اش شروع به تحصیل کرد. او در ۱۸ سالگیش در همین دانشگاه به تدریس ریاضی مشغول شد و با به وقوع پیوستن انقلاب فرانسه از آن حمایت کرد. در دوران ترور مدتی به زندان افتاد، اما بعدا در سال ۱۷۹۵ آزاد شد و به استخدام اکول نرمال سوپریور درآمد. وی از سال ۱۷۹۷ به عنوان جانشین لاگرانژ در اکول پلی‌تکنیک به تدریس مشغول شد.
فوریه اواخر قرن هجدهم، ناپلئون بناپارت را در لشکرکشی به مصر همراهی می‌کرد . وی در مصر به عنوان فرماندار مصر سفلی و نیز دبیر بنیاد مصرشناسی مشغول بود. پس از بازگشت فوریه از مصر، در سال ۱۸۰۱ او به عنوان فرماندار ایزر (Isère) منصوب شد و در سال ۱۸۰۸ به لقب بارون دست یافت. از سال ۱۸۲۲ و تا پایان عمرش در سمت دبیر دائمی فرهنگستان علوم فرانسه قرار داشت.
فوریه در زمینه فیزیک بر روی انتقال گرما تحقیق می‌کرد و قانون فوریه در این زمینه از او به جای مانده‌است. فوریه همچنین کاربردهای سری فوریه در زمینه انتقال گرما و نیز ارتعاشات را معرفی کرد.
فوریه در سال ۱۸۳۰ و در ۶۲سالگی از دنیا رفت. جسد وی در گورستان پر-لاشز دفن شده است. فوریه یکی از ۷۲ نفر فرانسوی است که نام آنها بر روی برج ایفل حک شده است.
در ریاضیات، سری فوریه، تابعی است که با استفاده از آن می توان هر تابع متناوب را به صورت جمعی از توابع نوسانی ساده(سینوسی، کسینوسی و یا تابع نمایی مختلط ) نوشت.این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه های بسامدی آن تابع به دست می آید.
پیش گفتار
توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده است:

که در آن یک عدد صحیح مثبت، دامنه ، بسامد و فاز توابع کسینوسی می باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها ، دامنه‌ها و فازها تابع یه طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است..
نمایش‌های مختلف سری فوریه
[ویرایش] نمایش مثلثاتی
اگر یک تابع متناوب با دوره تناوب باشد (یا به عبارتی: ‎‎) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

که در آن هارمونیک nام سری فوریه به رادیان بوده و ضرایب ، و را می‌توان از فرمول‌های اولر بدست آورد.فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نمیباشد. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:
تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه دارد.
تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی دارد.
نمایش مختلط
سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

و در اینجا:

این رابطه با کمک ‎‎فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

نمایش کسینوس-با-فاز
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی ‏(به انگلیسی: ‏line spectra)‏ استفاده می‌شود.

محاسبه ضرایب فوریه
نمایش مثلثی
نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همانطور که گفته شد دوره تناوب و هارمونی nام تابع میباشد. در تبدیل فوریه سه ضریب و و ضریب ثابت مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

بازه [-] یا در کل بازه هایی که طول آنها است از مهمترین بازه هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده میشود. بدین ترتیب پس ضرایب عبارتند از:

سری بسط تیلور
V{maketoc}در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک ((دنباله)).به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.
|| …+5+4+3+2+1||سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده ((جبر|جبری)) محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از ((آنالیز)) کمک گرفت.به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.{TEX()} {sum_{a=1}^N a^n} {TEX}سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.به این سری توجه نمایید:{TEX()} {frac{1}{1}+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}}+… {TEX} این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن ((سری هندسی)) میگویند.{TEX()} {sum_{k=0}^N ak^n } {TEX}a را جمله اول و q را قدر نسبت سری می نامند.مجموع n جمله اول یک سری رابا {TEX()} {s_n} {TEX} نشان میدهنددر صورتی که {TEX()} {s_n} {TEX} به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن ((تابع|توابعی)) از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را ((میدان همگرایی)) سری گویند.
هر سری تابعی به شکل {TEX()} {sum_{n=0}^infty a_n (x-c)^n } {TEX} را یک سری توانی بر حسب {TEX()} { ( x-c) right ) {TEX} میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:||{TEX()} {a_0 + a_1(x-c)+ ldots +a_n(x-c)^n+ldots } {TEX}||حال به قضیه مهمی به نام قضیه ((تیلور)) میرسیم؛طبق این قضیه میتوان هر تابعی را که در یک بازه بینهایت بار مشتق پذیر باشد میتوان در این بازه به صورت یک سری توانی نامتناهی که به سری تیلور معروف است نشان داد.به عنوان مثال تابعی مانند{TEX()} {sin x} {TEX} را میتوان به صورت جمع توابعی بر حسب {TEX()} {x} {TEX}نوشت.قبل از اینکه به توضیح کامل درباره این سریها بپردازیم.مثالی را در مورد این سریها بیان میکنیم.تابع sinx را در نظر بگیرید.این تابع را میتوان به صورت سری زیر بیان کرد:{TEX()} {sum_{n=0}^infty (-1)^n frac{x^(2n+1)}{(2n+1)!} } {TEX}
{picture file=img/daneshnameh_up/3/3d//Sintay.png}”sin(x) و تخمین تیلور(Taylor)، چند جمله‌ای های از درجه 1، 3، 5، 7، 9، 11 و 13.”
در(( ریاضیات))، __سری‌های تیلور__ از یک تابع ”f” حقیقی (یا مختلط) که معمولا بطور نامحدود (( مشتق پذیر)) بوده و در یک ((فاصله«ریاضی»|فاصله باز )) (”a”-”r” و ”a”+”r” ) تعریف شده، بصورت (( سریهای توانی)) زیر میباشد::{TEX()}{sum_{n=0}^{infin} frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}}{TEX}که در آن !”n” (( فاکتوریل)) ”n” و (”f” (”n”)(”a” به معنی مشتق ”n”ام ”f” در نقطه ”a” میباشد.اگر این سریها برای هر مقدار ”x” در فاصله (”a”-”r”, ”a”+”r”) همگرا بوده و مجموع آن برابر (”f”(”x” باشد، آنگاه تابع (”f”(”x” __تحلیلی__ نامیده میشود. برای اطمینان از همگرایی سریها به (”f”(”x”، معمولا از تخمین برای جمله باقیمانده ((قضیه تیلور)) استفاده میشود. یک تابع تحلیلی است، اگر و فقط اگر بتوان آنرا بصورت یک ((سریهای توانی)) نمایش داد؛ ضرایب در سریهای توانی لزوما همان ضرایبی است که در فرمول سریهای تیلور داده شده است.اگر ”a” = 0 باشد، این سریها به نام__سریهای مک‌لارین(Maclaurin)__ نامیده میشود.اهمیت یک چنین سریهای توانی سه جانبه است. اول، مشتق گیری و انتگرال گیری سریهای توانی میتواند جمله به جمله انجام شود لذا بطور خاصی ساده است. دوم، یک تابع تحلیلی میتواند بطرز یکتایی به ((تابع هولومورفیک))(holomorphic) تعریف شده روی یک صفحه باز در روی (( عدد مختلط | سطح مختلط))، امتداد داده شود، که مکانیزم کامل ((تحلیل مختلط)) را فراهم مینماید. سوم، سریهای (کوتاه شده) میتواند برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع استفاده شود.
{picture file=img/daneshnameh_up/b/b1//Expinvsq.png}.”تابع e-1/x² تحلیلی نیست، مقدار سریهای تیلور 0 است، درحلیکه مقدار تابع غیر صفر است.”
توجه داشته باشید که مثالهایی برای توابع (”f”(”x” که دارای مشتقات محدود بوده و سریهای تیلور آنها همگرا بوده ولی برابر (”f”(”x” نیست، وجود دارد. برای مثال، برای تابع تعریف شده مقطع بصورت (”f”(”x”) = exp(−1/”x”² اگر ”x” ≠ 0 و”f”(0) = 0،تمام مشتفات در نقطه ”x” = 0 صفر میباشند، بنابراین سریهای تیلور (”f”(”x” صفر بوده، و شعاع همگرایی آن محدود است، اگر چه تابع بطور یقین صفر نمی باشد. این آسیب، توابع ارزشمند-(( عدد مختلط| مختلط)) برای یک متغیر مختلط را مخدوش نمی نماید. توجه اینکه با نزدیک شدن ”z” به سمت 0 در طول محور فرضی (exp(−1/”z”² به 0 نزدیک نمی شود.بعضی از توابع را نمیتوان بصورت سریهای تیلور نوشت زیرا آنها دارای ((حالت استثنایی «ریاضی»|حالت استثنایی)) می باشند؛ در این حالتها، اغلب نیز میتوان به بست سریهایی دست یافت اگر بتوان از توانهای منفی متغیر ”x” استفاده نمود؛ رجوع شود به ((سریهای لارنت«Laurent))). برای مثال، (”f”(”x”) = exp(−1/”x”² را میتوان بر حسب سریهای لارنت نوشت.[http://www.math.jmu.edu/~jim/picard.html|قضیه|پارکر-سوکاکی(|Parker-Sockacki)] پیشرفت اخیر برای یافتن سریهای تیلوری است که بتواند راهکاری برای ((معادلات دیفرانسیل)) باشد. این قضیه توسعه ((تکرار پیکارد«Picard))) میباشد.
!! فهرست سریهای تیلور چندین بست سریهای تیلور مهم بشرح ذیل میباشد. تمام این بستها نیز برای متغیرهای مختلط ”x” صادق می باشد.((توابع اکسپتانسیلی)) و ((لگاریتم طبیعی))::{TEX()}{e^{x} = sum^{infin}_{n=0} frac{x^n}{n!}quadmbox{ for all } x}{TEX}:{TEX()}{ln(1+x) = sum^{infin}_{n=1} frac{(-1)^{n+1}}n x^nquadmbox{ for } left| x right| < 1}{TEX}((سریهای هندسی))::{TEX()}{frac{1}{1-x} = sum^{infin}_{n=0} x^nquadmbox{ for } left| x right| < 1}{TEX}((قضیه فرعی-جزیی«Binomial» ))::{TEX()}{(1+x)^alpha = sum^{infin}_{n=0} C(alpha,n) x^nquadmbox{ for all } left| x right| < 1quadmbox{ and all complex } alpha}{TEX}((توابع مثلثاتی))::{TEX()}{sin x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n+1)!}
x^{2n+1}quadmbox{ for all } x}{TEX}:{TEX()}{cos x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}quadmbox{ for all } x}{TEX}:{TEX()}{tan x = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}quadmbox{ for } left| x right| < frac{pi}{2}}{TEX}:{TEX()}{sec x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}quadmbox{ for } left| x right| < frac{pi}{2}}{TEX}:{TEX()}{arcsin x = sum^{infin}_{n=0} frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}quadmbox{ for } left| x right| < 1}{TEX}:{TEX()}{arctan x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}quadmbox{ for } left| x right| < 1}{TEX}((توابع هایپربولیک))::{TEX()}{sinh x = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}quadmbox{ for all } x}{TEX}:{TEX()}{cosh x = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{(2n)!} x^{2n}quadmbox{ for all } x}{TEX}
:{TEX()}{tanh x = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}quadmbox{ for } left| x right| < frac{pi}{2}}{TEX}:{TEX()}{sinh^{-1} x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}quadmbox{ for } left| x right| < 1}{TEX}:{TEX()}{tanh^{-1} x = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{2n+1} x^{2n+1}quadmbox{ for } left| x right| < 1}{TEX}
((توابع لامبرت«Lambert's W)))::{TEX()}{W_0(x) = sum^{infin}_{n=1} frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^nquadmbox{ for } left| x right| < frac{1}{e}}{TEX}اعداد ''B''''k'' که در بستهای (tan(''x'' و (tanh(''x'' ظاهر می شوند همان ((اعداد برنولی)) ، (C(α,''n'' در بستهای فرعی-جزیی ((ضریب فرعی-جزیی| ضرایب فرعی-جزیی)) بوده و ''E''''k'' در بستهای (sec(''x'' همان ((اعداد اولر)) می باشند.!!چند بعدیسریهای تیلور را به توابع با چند متغیر نیز تعمیم داد.:{TEX()}{
sum_{n_1=0}^{infin} cdots sum_{n_d=0}^{infin}frac{partial^{n_1}}{partial x^{n_1}} cdots frac{partial^{n_d}}{partial x^{n_d}}frac{f(a_1,cdots,a_d)}{n_1!cdots n_d!}(x_1-a_1)^{n_1}cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{TEX}
به وسیلهٔ بسط تیلور (به انگلیسی: Taylor series)‏، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.
تعریف: اگر در همسایگی و بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر باشد، آنگاه را می‌توان به صورت توان‌هایی از نوشت.

که در اینجا، مشتق n-اُم تابع است. این بسط به نام ریاضی‌دان انگلیسی بروک تیلور اسم‌گذاری شده است. این بسط برای همهٔ توابع حقیقی انجام‌پذیر نیست.
[ویرایش] نمونه

در همسایگی ۱- بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.
می‌توان گفت:

همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد .
حالت خاص سری تیلور که در پیرامون نقطه ۰ می‌باشد را سری مکلورن می‌گویند.
[ویرایش] موارد پر کاربرد
تابع نمایی

لگاریتم

دنبالهٔ هندسی متناهی

دنبالهٔ هندسی نامتناهی

متغیرهای دنبالهٔ هندسی نامتناهی

ریشهٔ مربع

بسط دو جمله‌ای

توابع مثلثاتی

توابع هذلولی

سری مک لورن
سری مکلورن (به انگلیسی: Maclaurin Series)‏ به بسط تابع توسط سری تیلور حول نقطهٔ صفر گفته می‌شود. این سری به نام کالین مکلورن ریاضیدان اسکاتلندی نامگذاری شده‌است.
این سری بصورت زیر بیان می‌شود:

مثال‌ها

فایل : 16 صفحه

فرمت : Word