مسائل مقدار مرزي

1-1-مقدمه :
بطوركلي يك مسأله مقدار مرزي بصورت زير مي باشد :

(1-1)
كه در آن L يك عملگر ديفرانسيلي مرتبه m ام ، r يك تابع مفروض و شرايط مرزي مي باشند . فرض كنيد x يك متغير مستقل براي مسأله مقدار مرزي باشد و شرايط مرزي در دو نقطه (مرزها) باشد بنابراين رابطة (1-1) را مي توانيم به فرم خطي زير نيز بنويسيم :

(1-2)
براي ، k تا شرط مرزي مستقل خطي كه تنها شامل مشتقات تا مرتبه (q-1)ام مي باشند را شرايط مرزي essential (اساسي) مي گوئيم . و () شرط باقيمانده را شرايط مرزي Suppressible مي ناميم . ساده ترين مسأله مقدار مرزي كه با معادلة ديفرانسيل مرتبه دوم مي باشد بصورت زير است :
(1-3)
با يكي از سه نوع شرايط مرزي كه در زير داده شده اند :
شرايط مرزي نوع اول
شرايط مرزي نوع دوم
شرايط مرزي نوع سوم كه گاهي شرايط مرزي Sturm’s ناميده مي شود :

بطوريكه و و و ثابتهاي مثبت مي باشند .
اگر در رابطه (1-1) ، معادلة ديفرانسيل همگن ناميده مي شود و همچنين بطور مشابه اگر در رابطه (1-2) ها آنگاه شرايط مرزي همگن ناميده مي شوند .
بنابراين مسأله مقدار مرزي همگن ناميده مي شود اگر معادلة ديفرانسيل و شرايط مرزي همگن باشند يك مسأله مقدار مرزي همگن ( و ) تنها داراي جواب بديهي مي باشد .
بنابراين ما آن دسته از مسائل مقدار مرزي را در نظر مي گيريم كه اگر يك پارامتر را در معادلة ديفرانسيل يا در شرايط مرزي اثر دهيم بتوانيم آن را مشخص كنيم (به اين ‌ها مقادير ويژه گفته مي شود) در اين صورت مسأله مقدار مرزي جواب غيربديهي دارد و به اين جوابها توابع ويژه مي گوئيم .
در مسائل مقدار مرزي ثابتهاي دلخواه در جواب از روي شرايط مرزي كه در بيشتر از يك نقطه باشند بدست مي آيد . بنابراين امكان دارد كه بيشتر از يك جواب داشته باشيم يا هيچ جوابي نداشته باشيم .
قضيه (1-1-1) : مسأله مقدار مرزي زير را در نظر بگيريد :
و فرض كنيد كه f در ناحيه R پيوسته مي باشد .
,
همچنين f در شرط ليپ شيتز صدق مي كند يعني :

براي هر
در مجموع فرض كنيد f در ناحيه R در شرايط زير صدق مي كند :

( ثابت) و همچنين براي شرايط مرزي مسأله فرض كنيد :

آنگاه مسأله مقدار مرزي (BVP) داده شده يك جواب منحصر بفرد دارد . [2]
1-2-وجود و يكتايي جواب مسائل مقدار مرزي :
مسأله مقدار مرزي زير را در نظر بگيريد :
(1-4)
(1-5)
پارامترهاي k و 2 يا ثابت مي باشند .
فرض كنيد :

رابطة(1-4)را با عملگر ديفرانسيلي بالا به صورت مي‌توان‌نوشت.
نتايج و قضايايي كه در زير مي آوريم اساسي ترين نتايج مي باشند :
قضيه (1-2-1) : فرض كنيد هر گاه ثابت k درنامساويهاي زير صدق كند :
اگر
اگر
بطوريكه كوچكترين صفر مثبت توابع بسل مي باشد .
آنگاه مسأله مقدار مرزي (1-4) و (1-5) داراي يك جواب منحصر بفرد u(x) است . [12]
نتيجه (1-2-2) : فرض كنيد و و و . آنگاه براي هر داريم .
معادلة غيرخطي مربوطه را به اين ترتيب در نظر بگيريد :
(1-7)
فرض كنيد :
(1-8)

در حالت غيرتكين با فرض مناسبي روي مي توانيم يك و را بطريقي انتخاب كنيم بطوريكه دنباله تكراري تعريف شده در مسئله خطي زير:
(1-9)
(1-10)
همگرايي يكنواخت به جواب مسأله (1-5) و (1-7) داشته باشد .
ساختار وجود جواب قضيه كه اين چنين بنا مي كنيم اساس روندهاي مختلف عددي است .
قضيه (1-2-3) : فرض كنيد كه توابع باشند بطوريكه و
(1-11)
(1-12)
(1-13)
(1-14)
هر گاه تابعي پيوسته باشد و اگر يك ثابت موجود باشد بطوريكه :
(1-15) براي
در ناحيه برقرار باشد .
آنگاه مسأله (1-5) و (1-7) حداقل داراي يك جواب در ناحيه S مي باشند .
در حقيقت هنگاميكه يك انتخاب شود بطوريكه در فرض (1-15) صدق كند دنبالة تكراري توليد شده بوسيله (1-9) و (1-10) با مقدار اوليه داراي همگرايي يكنواخت نزولي به جواب u(x) از مسأله هاي (1-5) و (1-7) مي‌باشد .
لذا بطورمشابه از بعنوان يك مقدار اوليه كه منجر به يك دنبالة صعودي مي شود كه همگرا به جواب مي باشد و هر جواب Z(x) در S درشرط زير صدق مي كند :
(1-16)
اثبات : با شرط نمودن K مي توان F(x,u) را به يك تابع يكنوا از u تبديل نمود آنگاه از روابط (1-11) و (1-12) و نتيجه (1-2-2) مي توان نتيجه گرفت كه
بطور مشابه از (1-13) و (1-14) داريم :
براي هر K
در حقيقت (با استفاده از قضيه همگرايي Dini) اين بيانگر همگرايي است .
در نمايش توابع گرين و با تعويض حدود انتگرال گيري مي توان نشان داد كه حد توابع u(x) و V(x) جوابهاي كلاسيك را تشكيل مي دهند . يك جواب Z(x) در S مي تواند همان نقش را بازي كند .
بنابراين با فرض و بطور مشابه مي توان نتيجه گرفت كه در شرايط معين مي توان و كه در قضيه مورد نياز است را ساخت .
نتيجه (1-2-4) : فرض كنيد علاوه بر فرضيات قضيه (1-2-3) ، براي همة u‌ها شرط نيز برقرار باشد . اگر و جوابهاي معادله هاي زير باشند :

آنگاه حكم قضيه (1-2-3) برقرار است .
نتيجه (1-2-5) : فرض پيوسته در ، و در شرط (1-15) صدق كند اگر سپس مسائل (1-5) و (1-7) يك جواب غيرمنفي u(x) دارد . اگر و تنها اگر دنباله تكراري تعريف شده در روابط (1-9)
و (1-10) با انتخاب بطور يكنواخت كراندار مي باشد . اگر يك جواب غيرمنفي بهينه u(x) وجود داشته باشد آنگاه دنباله اي يكنواخت صعودي و همگرا به آن است .
اثبات : در فرضيات قضيه (1-2-3) صدق مي كند . اگر يك جواب بهينه غيرمنفي وجود داشته باشد همان نقش در قضيه را داراست . برعكس به آساني ديده مي شود كه يك جواب وجود دارد . اگر دنباله بطور يكنواخت كراندار باشد قضيه (1-2-3) پيوستگي و وجود جواب را بدست مي‌دهد .
در برخي از شرايط يكتايي موضعي از جوابهاي مسأله هاي (1-5) و (1-7) را مي‌توان استدلال كرد كه اگر موضعاً در شرط صدق نمايد . شرط Lipschitz را به اين فرم در نظر مي گيريم :
براي هر يك ثابت وجود دارد بطوريكه :
(1-17) اگر
ثابت وجود دارد بطوريكه :
(1-18) اگر
با اين شرايط ممكن است شرايط مرزي را به شرايط مرزي همگن تبديل سازيم :
(1-19)
بدون اينكه به كليت خللي وارد شود .
قضيه (1-2-6) : فرض كنيد پيوسته است و در شرايط (1-17) و (1-18) صدق كند و همچنين () در شرايط (1-6) صدق كند .
آنگاه (1-19) و (1-7) يك جواب منحصر به فرد u(x) دارد اگر
براي ،
و جواب منحصر بفرد

آنگاه . همچنين اگر براي
آنگاه براي هر و دنباله تكراري در (1-9) و (1-10) هنگاميكه با شروع اوليه همگراي نزولي (به همين ترتيب با تقريب اوليه همگراي صعودي) به است .
اثبات : ابتدا نشان مي دهيم كه يك جواب (1-19) و (1-7) منحصر بفرد است . فرض كنيد كه جواب و وجود دارد و برقرار است . يك مقدار ثابت C وجود دارد بطوريكه و بطوريكه در بازه و باشد . فرض كنيد باشد . بنابراين داريم :

نتيجه (1-2-2) نشان مي دهد كه كه اين يك تناقض است .
از قضيه (1-2-1) و (1-2-3) داريم خوش تعريف و غيرمنفي است . بنابراين شرط (1-18) بيان مي كند كه

بنابراين :

از آنجائيكه در نامساوي معكوس صدق مي كند . نتيجه اي بدنبال از نتيجه (1-2-2) حاصل مي شود .
1-3-تفاضلات متناهي :
در اين بخش يك روش تفاضلي سه نقطه اي را بكار مي گيريم .
براي عدد صحيح N فرض كنيد كه و عملگر

در نظر مي گيريم و با روش سه نقطه اي تفاضل متناهي ذيل تقريب مي زنيم :
(1-20)
بطوريكه : تنها براي در نظر مي‌گيريم .
عملگر (1-20) براي و همة h ها از نوع مثبت است .
تقريب بطور يكنواخت با تقريب L سازگار است در فاصله با به اين معني كه براي هر داريم :
براي
مسأله مقدار مرزي غيرخطي :
(1-21)

با تقريب مي زنيم .
كه فرم‌برداري معادلات آن بصورت زير مي باشد :
(1-22)
(1-23)
مسأله گسسته (1-22) و (1-23) در شرايطي كه مسأله پيوسته (1-21) جواب دارد . مشكل در استدلال كردن همگرايي جواب آن به جواب مسأله پيوسته است .
براي مسائل خطي روش تكرار كردن است بجز اينكه
با ثابت
براي مسائل غيرخطي بطور مستقيم بصورت يك كلاس كوچكتر از عملگرهاي خطي Lu رفتار مي كنيم .
1-4-يادآوري خواص ماتريس ها :
در اين قسمت بعضي از ويژگيهاي ماتريسها را يادآوري مي كنيم كه از آنها در بررسي پايداري و همگرايي روشهاي تفاضلي براي حل مسائل مقدار مرزي استفاده مي كنيم .
تعريف (1-4-1) : فرض كنيد A و B دو ماتريس مربعي و هم مرتبه باشند . مي‌گوئيم ماتريس A متشابه است با ماتريس B اگر ماتريس غيرمنفرد P وجود داشته باشد بطوريكه :

توجه داشته باشيد كه اين يك رابطه متقارن است يعني :

تعريف (1-4-2) : ماتريس A را تحويل پذير (reducible) گوئيم اگر و تنها اگربا ماتريس قطعه اي به فرم زير متشابه باشد :

بطوريكه و مربعي هستند و P يك ماتريس جايگشت مي باشد.
بعلاوه ماتريس سه قطري A تحويل پذير است اگر و تنها اگر :

تعريف (1-4-3) : ماتريس را قطر غالب گوئيم اگر

و مي گوئيم اكيداً قطر غالب اگر در رابطة بالا براي همة i ها نامساوي به فرم اكيد باشد .
اگر ماتريس A تحويل ناپذير و قطر غالب باشد آنگاه حداقل براي يك I نامساوي بالا به فرم اكيد مي باشد.
– از نماد (چه بردار چه ماتريس باشد) اين را استنباط مي كنيم كه همة عناصر غيرمنفي مي باشند بنابراين تعريف مي كنيم :
تعريف (1-4-4) : ماتريس A يكنواخت (monotone) است اگر بنابراين در نتيجه هر ماتريس يكنواخت يك ماتريس غيرمنفرد مي باشد .
تعريف (1-4-5) : ماتريس A يكنواخت است اگر و تنها اگر
تعريف (1-4-6) : اگر ماتريس A تحويل ناپذير و قطر غالب باشد و بجز عناصر روي قطر آن غيرمنفي باشد آنگاه A يك ماتريس يكنواخت مي باشد .
تعريف (1-4-7) : اگر A و B دو ماتريس يكنواخت باشند و آنگاه
1-5-حل سيستمهاي سه قطري :
در بعضي مواقع براي حل معادله هاي ديفرانسيل با شرايط مرزي به حل يك سيستم سه قطري با N مجهول مواجه مي شويم كه در اين قسمت روش حل اين سيستم را بيان مي كنيم .
فرض كنيد مسأله مقدار مرزي داراي شرايط مرزي و باشد وسيستم سه قطري به فرم زير باشد :
(1-24)
اگر و و و براي
بنابراين ما مي توانيم الگوريتم مناسبي براي حل سيستم سه قطري بسازيم .
رابطه تفاضلي زير را در نظر بگيريد :
(1-25)
و همچنين
(1-26)
از رابطه (1-24) بنا به رابطه (1-26) را حذف مي كنيم. بنابراين :
(1-27)
از مقايسه رابطه (1-25) با (1-27) داريم :

بنا به شرايط مرزي بنابراين و .

فایل : 16 صفحه

فرمت : Word