روش گراديان

خلاصه :
در گذشته تعداد زيادي مدلهاي مختلف با استفاده از مطالب مشاهده شده در جهت برآورد يا تنظيم ماتريسهاي OD پيشنهاد شده بود . در حاليكه اين مدلها از نظر فرمولاسيون رياضي متفاوت بودند و از نظر تفسير نيز متفاوت بودند . تمامي آنها در اين حقيقت كه استفاده از آنها براي شبكه هاي در اندازه واقعي مشكل است مشترك بودند . اين ناشي از پيچيدگي محاسبات كه در آنها درگير است و احتياج براي نرم افزار خيلي تخصصي براي انجام دادن آنها است .
در اين مقاله ما يك مدل بر پايه گراديان كه قابل اعمال در شبكه هاي در بعد بزرگ است ارائه مي كنيم . از نظر زياضي مدل به شكل يك مسئله حداقل سازي محدب در جائيكه توسط دنبال
كردن جهت نزولي ترين شيب ما مي توانيم تضمين كنيم كه ماتريس OD اصلي بيش از حد لازم تغيير پيدا نكرده است ، فرموله شده است .
ما نمايش مي دهيم كه چگونه اين تنظيم مدل درخواستي مي تواند بدون احتياج به گسترش هيچگونه نرم افزار جديد اجرا شود . بلكه تنها توسط استفاده از اقلام موجود از يك بسته برنامه ريزي حمل و نقل قابل اجرا خواهد بود . از آنجائيكه يك قلم از مراحل تنظيم اساساً در دو انتخاب تعادلي در شبكه م.ورد نظر وجود دارند ، اين روش حتي در شبكه ها و ماتريس ها در مقياس بزرگ قابل اعمال است . تا به اينجا ، مدلها بطور موفقي در چندين پروژه ملي و شهري در سوئيس ، سوئد و فنلاند با استفاده از شبكه هايي تا حد 522 منطقه ترافيكي و 12460
سفر اعمال شده است . برخي از نتايج اين مطالعه نشان داده خواهد شد .
كلمات كليدي : برآورد ماتريس O-D ، انتخاب تعادلي ، روش گراديان .
مقدمه :
تقريباً در تمامي كاربردهاي برنامه ريزي حمل و نقل ، اطلاعات ورودي كه بدست مي آيد نشان از همه چيز مشكل تر و گران تر است . ماتريس درخواست مبدا – مقصد است . از آنجائيكه اطلاعات درخواستي بطور مستقيم قابل مشاهده نيست ، بايد توسط تحقيقات دقيق و گران قيمت جمع آوري شود كه درگير با مصاحبه هاي در منزل و در جاده ها يا روشهاي پيچيده علامت گذاري يا نشانه گذاري است . برعكس حج سفرهاي مشاهده شده به آساني و با دقت قابل قبولي
توسط شمارش در نقاط خاصي از سفر يا دستي يا اتوماتيك با استفاده از دستگاههاي شمارنده مكانيكي يا القايي قابل بدست آمدن است . بنابراين تعجب آور نيست كه مقدار چشم گيري از تحقيقات در جهت بررسي احتمال برآورد يا بهبود يك ماتريس درخواست مبدا – مقصد با حجم هاي مشاهده شده روي سفرهايي در شبكه مورد نظر انجام مي شود .
تعداد زيادي از مدلها در گذشته پيشنهاد شده است . Vanvilet – (1980) willumsen , vanzuylen و (1981)willumsen – (1982)Nguyen – Vanzuylen و Branston (1982) – (1987)spiess . اين مدلها در حاليكه خيلي از لحاظ تئوريكي جالب هستند ، تاكنون از لحاظ عملي ارتباط كمي داشته اند . اين ناشي از زمان زيادي است كه صرف محاسبات مي شود و كاربرد در مسائل در بعد كوچك است . آنچه كه
ما خيلي خوب مي دانيم اين است كه هيچكدام از اين روشها بطور موفق به شبكه هاي در ابعاد وسيع و بزرگ با صدها منطقه ترافيكي و هزاران سفر شبكه اي اعمال نشده است . اكثر اين روشهاي سنتي به شكل مسائل اپتيمم سازي كه در آنها تابع هدف هماهنگ با برخي توابع فاصله بين يك ماتريس درخواست اوليه و درخواست نتيجه شده g قابل فرموله شدن هستند . سپس مسائل محدود كننده در جهت نزديك كردن حجم هاي انتخاب شده به حجم هاي مشاهده شده در نقاط شمارش استفاده مي شوند . (توجه داشته باشيد كه برخي فرمولاسيون ها VanZuylen و (1982)Branston مسائل محدود كننده در آنها دخيل مي شوند و بنابراين بعنوان اصطلاحات اضافي در توابع هدف ظاهر مي شوند . )
در بخشهاي زير ما يك مدل جديد كه مناسب براي كاربردهاي در مقياس بزرگ است را تشريح مي كنيم . ما نشان مي دهيم كه چگونه اين مدل بدون احتياج به گسترش هيچگونه برنامه جديدي قابل اجرا است ، اما به جاي آن با استفاده از نسخه استاندارد از بسته برنامه ريزي حمل و نقل EMME/2 استفاده مي شود . در نهايت ما نتايج برخي كاربردهاي در مقياس شهري و ملي را كه در آنها مدل جديد ما اخيراً استفاده شده را خلاصه مي كنيم .
روش گراديان :
در اين مقاله يك نوع جديد از مدلها پيشنهاد شده است . همچنين بعنوان يك مسئله اپتيمم سازي فرموله شده است . اما در اينجا تابع هدف براي اينكه حداقل سازي شود آنرا در فاصله بين
حجمهي مشاهده شده و انتخاب شده در نظر گرفته ايم . آسان ترين تابع از اين نوع جذر جمع اختلاف ها ، كه به مسئله حداقل سازي هدايتمان مي كند مي باشد .

(2)
در جائيكه تابع assign(g) براي نشان دادن حجمهاي نتيجه شده از يك انتخاب از ناتريس درخواست g است . البته مدل خاص استفاده شده بايستي هماهنگ با يك مسئله اپتيمم سازي باشد تا فرمول «1» مهدب (Conver x) باشد . به خاطر اين مقاله ما بايد فرض كنيم كه اصطلاح «انتخاب» همان انتخاب تعادل است . در جائي كه يك سري از توبع هزينه سفر غير كاهش يابنده در تمامي سفرهاي شبكه محدب بودن مدل راتضمين نمايد . اين نوع از مسائل انتخاب
تعادلي بطور گسترده اي مورد مطالعه قرار گرفته است و بطور بهره وري قابل حل هستند يا با تقريب خيلي پشت سرهم و يا با روش pARTAN كه روش جديدي است .
از آنجائيكه مسئله برآورد ماتريس همانطوريكه در شماره 10 فرمولارائه شده است خيلي زير حد واقعي بدست مي آيد . معمولاً تعداد محدودي حدهاي اپتيمم وجود دارد بعنوان مثال ماتريسهاي درخواست امكان پذير كه تمامي آنها حجمهاي مشاهده شده را به مساوات منعكس مي كنند . البته در برنامه ريزي هاي واقعي از ماتريس نتيجه شده انتظار داريم هر چقدر ممكن است به ماتريس اوليه نزديك باشد ، آنجائيكه شامل اطلاعات ساختاري مهمي در حركات مبدا – مقصد است . بنابراين تنها پيدا كردن يك راه حل براي مسئله«1» به وضوح كافي نيست .
مدلهاي سنتي (حداقل بطور قسمتي) اين مسئله راتوسط استفاده از يك تابع هدف كه هماهنگ با يك ميزاني از فاصله و اجرا كننده تساوي بين مقادير مشاهده شده و انتخاب شده از مواد محدود كننده است را حذف مي كنند . در حاليكه اين روش يك متوسطي را براي انتخاب بهترين ماتريس درخواست ايجاد مي كند (برطبق برخي از شرايط) . اين روش همچنين بطور چشمگيري پيچيدگي مسئله اي را كه بايد حل شود افزايش مي دهد و بنابراين دخالت زيادي در اين حقيقت را دارد كه اين مدلها خيلي مشكل براي اعمال بر اساس مقادير بزرگ هستند .
اگر ما يك الگوريتم راه حل داشتيم كه بطور پيوسته يك راه حل نزديك به نقطه اول را پيدا مي كرد ما مي توانستيم تابع هدف را همانطوريكه هست ترك مي كنيم . خوشبختانه روش
گراديان كه به نام روش تندترين شيب نيز شناخته مي شود ، كاملاً اين خاصيت را كه ما بدنبال آن هستيم دارد . اين روش هميشه جهت بالاترين وبزرگترين نتيجه را دنبال مي كند و در جهت حداقل كردن تابع هدف مي باشد بنابراين تضمين مي كند كه از راه حل آغازين بيش از حد لازم انحراف پيدا نكند .
در آسانترين مورد وقتي كه گراديان را مستقيماً نسبت به متغيرهاي g اعمال مي كنيم روش گراديان به شكل زير قابل فرموله شدن است :
(3)
در جائيكه بايد به قدر كافي كوچك اختيار شود تا تضمين كند مسير دنبال شده توسط بطور چشمگيري به مسير اصلي گراديان نزديك است . توجه داشته باشيد كه ما انديس i را براي
نشان دادن يك جفت مبدا – مقصد (O-D) استفاده مي كنيم و اينكه سري تمام جفت O-D هاي فعال I است .
بهرحال اگرگراديان بر پايه متغيرهاي g همانطوريكه در فرمول (3) آمده است باشد اين نشانگر اين مسئله است كه تغييرات در ماتريس درخواست از راه مطلق اندازه گيري مي شود . بعنوان مثال تعداد مسافرت ها گذشته از تغيير مرتبط با اين معنا خواهد بود كه همان ماتريس اوليه است . بخصوص اين نشان خواهد داد كه جفت هاي O-D با توسط تنظيم هم به خوبي تحت تاثير قرار مي گيرد . براي بدست آوردن يك روش واقع گرايانه تر ، گراديان بايد بر پايه تغيير نسبي درخواست كه مي توان آنرا به شكل زير نوشت باشد :
(4)
توجه داشته باشيد وقتي گراديان نسبي استفاده مي شود الگوريتم در قابل ضرب مي شود . بنابراين يك تغيير در درخواست متناسب بادرخواست در ماتريس اوليه است و بخصوص صفرها توسط فرآيند حفظ مي شوند .
قبل از اينكه توجهمان را بر برآورد گراديان معطوف مي داريم ، اجازه دهيد اول به تجزيه و تحليل حجم سفرها در مسير در حال جريان نگاه مي كنيم . اجازه دهيد سري مسيرهاي استفاده شده براي هر جفت را با i و و نشان دهيم . حجم سفرها قابل بيان شدن به شكل زير خواهد بود :
(5) و
در جائيكه :
(6)
با استفاده از احتمالات مسير به جاي جريان مسير داريم :
(7) و ،
تساوي (5) ، قابل دوباره نويسي به شكل زير است :
(8) ،
حالا ما مي توانيم به جلو برويم و گراديان را محاسبه كنيم . با گرفتن مشتق از فرمول (1) بدست مي آوريم :
(9) ،
با فرض اينكه احتمالات مسير بطور محلي ثابت هستند ما از فرمول (8) بدست مي آوريم :
(10) و و
كه در فرمول (9) جايگزين شده و مي دهد :
(11) ،
براي اجراي روش گراديان (4) ما همچنين نياز به ايجاد مقاديري براي طولهاي مرحله اي خواهيم داشت . با انتخاب مقادير بسيار كوچك براي طول مرحله اين فرصت را خواهيم داشت كه مسير گراديان دقيق تري داشته باشيم ، اما داراي اين ضعف خواهيم بود كه مراحل بيشتري مورد نياز خواهد بود . از طرف ديگر وقتي كه مقادير بيش از اندازه بزرگ براي طول مرحله انتخاب مي كنيم ، تابع هدف در واقع مي تواند افزايش يابد و هماهنگي الگوريتم از دست مي رود . بنابراين طول مرحله بهينه در درخواست داده شده g توسط حل كردن يك مسئله جانبي يك بعدي قابل پيدا شدن است .
for all with ،
از آنجائيكه تابع سفر Z در اصطلاح حجم سفرها بيان مي شود ، ما نياز داريم بدانيم چگونه اينها در طول جهت گراديان تغيير مي كنند . اين كار توسط اعمال قانون زنجيره ها بر فرمول زير قابل انجام است :

حل كردن مسئله حداقل سازي (12) قابل انجام توسط پيدا كردن صفر در مشتق است. با اعمال مجدد قانون زنجيره ها مشتق را به شكل زير بدست مي آوريم :

اين ما را به طرف طول مرحله اپتيمم هدايت مي كند :
(16)
براي اينكه دقيق باشد بايد چك شده و به تدريج به فرمول B متصل شود .
با تساويهاي 11 ، 15 و 16 ما تمامي نتايج لازم براي حل مسئله ماتريس(1) با استفاده از روش گراديان نسبي را خواهيم داشت .
اجرا :
يك مشكل اصلي عملي براي اعمال برآورد ماتريسي مدلها در عمل ناشي از اين حقيقت است كه اكثر مدلها تنها مي توانند در برنامه هاي خيلي تخصصي كامپيوتري اجرا شوند كه بدست آوردن‌ آنها و عمليات با آنها مشكل است . اين در صورتي است كه اصلاً اين برنامه ها وجود داشته باشند .
در اين بخش ما نشان مي دهيم كه روش گراديان با استفاده از نسخه استاندارد نرم افزار برنامه ريزي حمل و نقل كه بطور گسترده مورد استفاده است يعني EMME/2 قابل اجرا است .از انتشار نسخه 3.0 از EMME/2 كه در اكتبر 1987 منتشر شد . تا كنون يك مورد از مدل انتخاب تعادل خودرو كه شناخته شده بنام انتخاب موارد اضافي است در دسترس قرار گرفته است . هدف اين مورد ايجاد يك چارچوب كاري براي محاسبات مشابه سازي از مسيرهاي مختلف وابسته به اطلاعاتي است كه ممكن است علاوه بر نتايج انتخاب هاي معمول مورد احتياج باشد .
اجازه دهيد بطور خلاصه به تعبيرهاي رياضي در اين مورد از EMME/2 نگاه كنيم . (اصطلاحاتي كه
به آنها تكيه شده ، نشان دهنده اسم گذاري استفاده شده در EMME/2 مي باشد . )
براي هر مسير توليد شده در طول انتخاب تعادل نرمال يك اصطلاح سير اضافي توسط متحد كردن اصطلاحات سفرهاي اضافي از كل مسير تا نشانگر محاسبه شده است .(كه البته مي توان با علائم ديگر همچون و ، مي نيمم يا ماكزيمم آن را نشان داد ) .
(17) ، ،
با چك كردن اصطلاح مسير در برابر مقطع آستانه اي مسير خاص ( و ) بدست مي آيد كه آيا مسير در انتخاب بعدي از درخواست اضافي شامل هست يا نه؟ از اين راه سري مسيرهاي فعال تعريف مي شود .
نتايج انتخابهاي اضافي حجم هاي اضافي هستند :
(18)
و ماتريس اصطلاح اضافي كه مي تواند يكي از موارد زير باشد :
(19) (path attributes)
(20) (active path attributes)
(21) (active addle . demand)
(22) (active path attribute weighted by addle . demand)
به محض اينكه مورد انتخابهاي اضافي از EMME/2 را در اصطلاحات رياضي بيان كرديم روشن مي شود كه چارچوب كاري نه تنها براي كاربردهاي معمولي مورد استفاده دارد همچون تجزيه و
تحليل انتخاب سفر انتخابهاي قسمتي يا جزئي يا محاسبه هزينه يا فاصله ماتريس بلكه همچنين قابل اتفاده همانطوريكه هست براي اجراي روش گراديان براي مسئله تنظيم ماتريس همانطوريكه در بخشهاي آينده تشريح شده ، مي باشد . پاراگرافهاي زير يك خط مشي از چگونگي انجام اينكار را مي دهند .
در آغاز هر نامگذاري L از روش گراديان يك انتخاب تعادل خالص با درخواست فعلي انجام مي شود و اينكار براي محاسبه حجم سفرها ، انجام مي گيرد . با اين حجم ها اصطلاح سفر اضافي با استفاده از محاسبه گر شبكه مانند زير محاسبه مي شود :
(23)
ماتريس گراديان تعريف شده در (11) سپس با (22) بعنوان يك ماتريس اضافي محاسبه مي
شود . اين ماتريس سپس بعنوان ماتريس درخواست اضافي استفاده مي شود و متغيرهاي از (14) بر طبق (18) محاسبه مي شوند . طول مرحله بهينه (16) دوباره با محاسبه گر شبكه برآورد مي شود . در نهايت ماتريس درخواست با استفاده از محاسبه گر ماتريس بر طبق (4) اصلاح مي شود .
بااستفاده از مدلهاي ماكرو از EMME/2 كه اجازه مي دهد مدلهاي مختلف از EMME/2 به مراحل پيچيده تر متحد شوند كل الگوريتم قابل بسته بندي به داخل يك فرمان ماكرو مي شود كه تمامي جزئيات اجرايي را از استفاده كننده پنهان مي كند .
در اصطلاح زمانهاي محاسبه هر مورد از روش گراديان هماهنگ با يك انتخاب تعادل بدون انتخابهاي اضافي و دو انتخاب تعادل با انتخاب
هاي اضافي بعلاوه مقدار كمي از محاسبات ماتريس و شبكه است . در حاليكه اين تلاش نهايي براي هر مورد گراديان است هنوز اين مسئله براي بزرگترين سايز از شبكه ها كه قابل انجام در EMME/2 هستند مي باشد . بعنوان مثال شبكه هايي تا حد 1600 منطقه ترافيكي (جفتO-D 2560000 ) و 32000 سفر .
كاربردها :
در طول سالهاي 1988 و 1989 ما فرصت آزمايش كردن روش گراديان پيشنهادي و اعمال آن در عمل در مطالعات بسياري را داشتيم . مثال آزمايش استفاده شده بر پايه استاندارد EMME/2 بوده است كه در مركز مطالعات wonnipeg اينكار انجام شده است . كاربردها شامل 2 كاربرد شهري براي شهرهاي برن و باسل و 2 شبكه جاده اي ملي از
سوئد و فنلاند بوده است . جدول زير خصوصياتي براي كاربردها را ارائه مي دهد : تعداد مناطق ترافيكي – تعداد سفرهاي شبكه اي – تعداد سفرها با حجم هاي مشاهده شده – مقدار بين حجم هاي مشاهده شده و انتخاب شده بااستفاده از درخواست اوليه مقدار بعد از تنظيمودر نهايت تعداد موارد گراديان كه براي تنظيمات انجام شده است .
«رجوع شود به table 1 از اصل مقاله»
بعنوان يك مثال گرافهاي شكست از حجم هاي مشاهده شده در برابر انتخاب شده قبل و بعد از تنظيم در شكلهاي 1 و 2 در زير براي كاربرد شبكه جاده اي ملي سوئد نشان داده شده است . در شكل 3 مقدار تابع هدف براي تمامي 20 مورد نشان داده شده است . محاسبات روي يك
كامپيوتر Sun Sparc Station انجام شده است . روي اين دستگاه هر مورد از روش گراديان25 دقيقه از زمان محاسبه را گرفته است .
«رجوع شود به (3 و 2 و 1) Figure از اصل مقاله »
در تمامي كاربردهايي كه تاكنون انجام گرفته فهيمده شده كه روش گراديان بهتر عمل مي كند . به هر حال نكات عملي مهمي وجود دارند كه قبل از اعمال الگوريتم بايستي در نظر گرفته شود .
اين مدل ماتريس درخواست را تنظيم مي كند بطوريكه حجمهاي مشاهده شده بهتر منعكس شوند . اين مدل بايستي تنها وقتي اعمال شود كه تمامي اطلاعات ديگر كه براي انتخاب استفاده مي شوند مورد تاييد گسترده قرار گرفته باشند . مراحل تنظيم تلاش خواهد كرد تا هر گونه خطاي باقيمانده در كدبندي شبكه توابع تاخير حجم يا
حجم هاي مشاهده شده را توسط تنظيم ماتريس درخواست رفع كند . اين البته خطا را تصحيح نخواهد كرد اما فقط در بالاي آن يك خطاي ديگر رااضافه خواهد كرد .
انتخاب شمارنده پست هاي سفر خيلي مهم است . قبل از اعمال مراحل تنظيم خوب است يك تجزيه و تحليل دقيق پست شمارش داشته باشيم . (اين مي تواند همچنين با استفاده از موضوع انتخاب اضافي از EMME/2 انجام شود) . پست هاي شمارنده سفرها بايستي كل شبكه را بطور مناسبي تحت پوشش قرار دهند بطوريكه اكثر مسافرت ها حداقل يكبار شمرده شوند . همچنين پست هاي شمارنده سفرها نبايستي تعداد زيادي از سفرهاي محلي را تحت پوشش قرار دهند چون اينها در انتخاب دخيل نخواهند بود . در نهايت مراقبت زيادي بايد انجام شود در موقعيكه پست هاي
شمارنده سفرها به سفرهاي اتصال دهنده مهم نزديك هستند زيرا اينها انتهاي يك سفر محسوب شده كه مقصد نهايي واقعي را منعكس نخواهند كرد .
انتظار نداشته باشيد كه حجم هاي مشاهده شده لزوماً يك سري پايدار را تشكيل بدهند . عدم وجود پايداري مي تواند ناشي از شمارش هاي غير دقيق باشد . اما گذشته از عدم دقت شمارش واقعي عدم پايداري ها مي تواند همچنين از سفرهاي منطقه اي به خودي خود باشد كه تمامي انتهاي سفرها را مجبور به تمركز درايستگاههاي شمارنده مي كند . حجم هاي شمارش شده بهرحال بر پايه مبدا واقعي و مقصد واقعي هر سفر هستند . بنابراين شخصي نبايد انتظار داشته باشد كه تابع هدف Z لزوماً به سمت صفر ميل نمايد .
به محض اينكه تنظيم انجام شد خيلي جدي خواهد بود كه نتايج به دقت تجزيه و تحليل شود . ما انتظار داريم تغيير در درخواست كوچك و غير سيستماتيك باشد . تغييرات بزرگ و سيستماتيك هميشه نشانگر يك مسئله در اطلاعات ورودي است . همچنين مقايسه هيستوگرامهاي طول سفر قبل و بعد از تنظيم ثابت كرده است كه خيلي ارزشمند است . در تمامي كاربردها تاكنون تجزيه و تحليل اولين انجام و راه اندازي روش گراديان به اين كشف منجر شده كه مسايل كدبندي در شبكه وجود دارد، اگرچه بعضي از شبكه ها براي سالها مورد استفاده بوده اند .
هر زمان تصحيحات بر اطلاعات ورودي انجام مي شود روش گراديان بايد با ماتريس درخواست اوليه دوباره شروع شود . از نظر فني و تكنيكي احتمال آن وجود دارد كه تغييراتي در شبكه يا
حجم هاي مشاهده شده بين مواردي از روش گراديان انجام مي شود و سپس ادامه كار انجام شود . اما اين امر خاصيت كليدي روش گراديان را كه پيدا كردن راه حل با حداقل تغيير در درخواست اوليه است از بين مي برد .
نتايج :
ما يك نوع جديد از مدل تنظيم ماتريس راكه در آن خاصيت بزرگترين شيب از روش گراديان استفاده شده تا بر مشكلات غلبه شود را فرموله كرديم ايم . از آنجائيكه اين روش بطور نزديكي يك راه حل كه نزديك با نقطه آغاز است را پيدا مي كند لازم نيست كه بطور دقيق تجزيه و خراب شدن راه حل ها را در تابع هدف در نظر گرفت.
آسان بودن روش پيشنهاد شده آنرا قابل كاربرد حتي در مسايل با مقياس بزرگ كرده است .
در اين مدل احتمالات مسير لازم نيست كه بطور دقيق نگهداري شود از آنجائيكه ماتريس گراديان بطور مستقيم قابل ساخت بعنوان يك محصول جانبي انتخاب است بنابراين مدل گراديان محدود به مدلهاي انتخابي متناسب نيست بلكه بطور مساوي با انتخاب تعادل داراي كاربرد است .
روش بدون احتياج به هرگونه نرم افزار تخصصي قابل اجراست اما فقط توسط استفاده از نسخه استاندارد سيستم برنامه ريزي حمل و نقل EMME/2 قابل اجرا است . بنابراين روش گراديان ارائه شده در اينجا بيشتر از نظر تئوري مورد توجه است تا اينكه اهميت عملي داشته باشد . زيرا يك راه چاره تجزيه وتحليل ساده در مورد
كاليبراسيون ماتريس درخواست دستي كه هنوز از نظر عملي كاربرد بسيار دارد ارائه مي كند .
اگرچه تمامي كاربردها تا كنون از انتخاب تعادل در شبكه هاي اتوباني استفاده كرده است ، روش گراديان كه در اينجا گسترش داده ايم بطور كلي كافي براي اعمال بر مدلهاي انتخابي مختلف است . بخصوص مي تواند در موضوع شبكه هاي حمل و نقل مورد استفاده باشد . در اين مورد به جاي انتخاب تعادلي شبكه اتوبان ، انتخاب حمل و نقل بر پايه استراتژيهاي بهينه مورد استفاده قرار خواهد گرفت . فرمولاسيون رياضي براي مورد حمل و نقل به خوبي برخي آزمايشات با كاربردهاي واقعي موضوع تحقيقات بيشتر خواهد بود .
در نهايت مهم است كه توجه كنيم تابع هدف (1) استفاده شده در اين مقاله تنها ساده ترين از

فایل : 32 صفحه

فرمت : Word