مقاله کامل تحقیق ریاضی عمومی

پيوستگــي
6 . 1 مفاهيم اوليه پيوستگي
توابع پيوستگي از لحاظ ديداري، توابعي هستند كه در هيچ نقطه‌اي پارگي نداشته باشند. مثلاً تابع رسم شده در شكل 6 . 1 . 1، در نقطه a و b و c پيوسته نيست و در بقيه نقاط پيوسته است.

(شكل 6. 1. 1)
6. 1 . 1 تعريف ـ تابع f را در نقطه a پيوسته مي‌گوئيم هرگاه، f(a) موجود باشد.

6. 1. 2 مثال ـ فرض كنيد تابع f به صورت زير تعريف شده است.

اگر

پس f در پيوسته است. اما،

بنابراين f در a=1 پيوسته نيست. نمودار تابع در شكل 6. 1. 2 رسم شده است.

(شكل 6. 1. 2)
6. 1. 3 مثال ـ در شكل نمودار تابع ، رسم شده است. شكل نشان مي‌دهد كه f‌ در پيوسته نيست.

(شكل 6. 1. 3)
6. 1. 4 تبصره ـ فرق عمده‌اي بين ناپيوستگي تابع f‌ در مثال 6. 1. 2 و تابع g‌ در مثال 6. 1. 3 وجود دارد. اگر مقدار f را در نقطه ، 5 تعريف كنيم، يعني قرار دهيم ، در اين صورت تايع پيوسته مي‌شود. ولي اگر را هر عددي اختيار كنيم، تابع نمي‌تواند پيوسته باشد.
اصطلاحاً ناپيوستگي f را رفع شدني و ناپيوستگي g را رفع نشدني مي‌گوئيم.
6. 1. 5 تعريف ـ اگر f تابعي باشد كه حول يك همسايگي از a تعريف شده باشد و در نقطه a ناپيوسته باشد. ناپيوستگي f‌ را در نقطه a را رفع شدني مي‌گوئيم هرگاه موجود و متناهي بوده ولي . در غير اين صورت ناپيوستگي را رفع نشدني مي‌گوئيم.
در حالت ناپيوستگي رفع نشدني، عدد را در صورت وجود جهش در نقطه مي‌گوئيم.
6. 1. 6 مثال ـ تعيين كنيد كدام يك از توابع زير در نقطه داده شده ناپيوستگي دارند و از چه نوع؟
در در نقطه
حل ـ براي f داريم:

در نتيجه f ناپيوستگي از نوع رفع شدني دارد.
در مورد g‌ مي‌توان نوشت:

داريم در نتيجه موجود نيست. بنابراين g‌ ناپيوستگي از نوع رفع نشدني دارد.
6. 1. 7 قضيه
الف) اگر f و g در نقطه a پيوسته باشند، آنگاه f+g ، f-g و fg نيز در نقطه a پيوسته هستند. و همينطور اگر نيز در a پيوسته است.
ب) اگر f در a پيوسته باشد و g‌ در f(a) پيوسته باشد آنگاه gof در a پيوسته است.
اثبات ـ (الف) با توجه به قضيه‌هاي 5. 2. 5 و 5. 2. 6 واضح است. (ب) با توجه به قضيه 5. 2. 7 واضح است.
6. 1. 8 قضيه ـ (پيوستگي توابع خاص)
1) توابع Sin x ، Cos x در هر نقطه پيوسته هستند.
2) توابع Cot x+ tan x در هر نقطه كه تعريف شده باشند، پيوسته‌اند.
3) توابع چند جمله‌اي همه جا پيوسته‌اند.
4) توابع كسري در هر نقطه كه تعريف شده باشند پيوسته هستند.
5) تابع ، اگر n فرد باشد همه جا پيوسته است ولي اگر n زوج باشد به ازاي هر ، در a پيوسته است.
اثبات ـ (1) و (2) از قضيه 5. 3. 5 نتيجه مي‌شود، (3) از قضيه 5. 3. 1 نتيجه مي‌شود، (4) با توجه به (3) و قضيه 6. 1. 7 اثبات مي‌شود و (5) با توجه به قضيه 5. 3. 3 ثابت مي‌شود.
6. 1. 9 مثال ـ توابع زير را در نظر بگيريد:
الف)
ب)
ج)
نقاط ناپيوستگي را در صورت وجود پيدا كنيد، نوع آنها را مشخص كنيد و جهش آنها را در نقاط ناپيوستگي، در صورت وجود بيابيد.
حل ـ (الف) تابع در فاصله‌هاي و پيوسته است. بنابراين، احتمالاً تابع در نقاط 3=x ، 1=x ناپيوستگي دارد. داريم:

و مقدار تابع در 1=x برابر است با
پس تابع در 1=x پيوسته است.
نقطه 3=x را در نظر بگيريد:

چون حد چپ و راست تابع در اين نقطه برابر نيست، پس تابع در نقطه 3=x ناپيوستگي نوع رفع نشدني دارد. جهش اين تابع در اين نقطه برابر است با:
(ب) داريم:

پس تابع در 3=x ناپيوستگي رفع نشدني با جهش دارد.
(ج) تابع در تمام نقاط به جز پيوسته است.

پس تابع در ناپيوستگي رفع نشدني با جهش دارد.
6. 1. 10 تعريف ـ اگر يا يا هر دو موجود نباشد، مي‌گوئيم تابع در ناپيوستگي اساسي دارد.
6. 1. 11 مثال ـ در پيوستگي توابع زير بحث كنيد:
و و
حل ـ با توجه به 5. 1. 13، وجود ندارد، لذا g‌ در 0=x ناپيوستگي اساسي دارد و در بقيه نقاط پيوسته است.
و چون و ، لذا f(x) همه جا پيوسته است و h(x) فقط در نقطه 0=x ناپيوستگي از نوع رفع شدني دارد. (شكل 6. 1. 4)

(شكل 6. 1. 4)
6. 1. 11 مثال ـ فرض كنيد . b را طوري بيابيد كه f‌ در 0=x پيوسته باشد.
حل ـ بايستي داشته باشيم . اما

بنابراين
مجموعه مسائل 6. 1
1. تابع را در نظر بگيريد. اولاً تابع در چه نقاطي پيوسته است. ثانياً آيا مي‌توان تابع را در نقطه 0=x طوري تعريف كرد كه پيوسته گردد؟
2. نقاط ناپيوستگي و نوع آنها را براي تابع f تعيين كنيد:

3. آيا a را مي‌توان طوري انتخاب كرد كه تابع ، در 0=x پيوسته شود.
4. آيا تابع در هر نقطه از بازه پيوسته است؟ تابع چطور؟
5. ثابت كنيد:
الف) تابع D(x) در تمام نقاط ناپيوستگي اساسي دارد.
ب) تابع xD(x) در تمام نقاط بجز 0=x ناپيوستگي اساسي دارد و در 0=x پيوسته است.
ج) تابع در تمام نقاط بجز 1، 0=x ناپيوستگي اساسي دارد و در 1 ، 0=x پيوسته است.
6. آيا مي‌توانيد تابعي بسازيد كه در نقاط پيوسته باشد و در نقاط ديگر ناپيوستگي اساسي داشته باشد.
*7. ثابت كنيد تابع در هر عدد گنگ پيوسته است و در اعداد گويا ناپيوستگي رفع شدني دارد.
*8. ثابت كنيد تابعي وجود ندارد كه در هر عدد گنگ پيوسته باشد و در اعداد گويا ناپيوستگي اساسي داشته باشد.
9. فرض كنيد f و g همه جا پيوسته باشد ثابت كنيد و نيز چنين هستند.
توضيح: و به صورت زير تعريف مي‌شوند.

راهنمايي ـ براي هر ، a داريم:

10. پيوستگي توابع مركب و را بررسي كنيد:
(الف) و (ب) و
(ج) و
در پيوستگي توابع 11 تا 22 بحث كنيد. نوع نقاط ناپيوستگي را مشخص كنيد.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
در تمرينهاي 23 تا 27 را طوري پيدات كنيد كه تابع پيوسته باشد.
23.
24.
25.
26.
27.
28. ثابت كنيد تابع پيوسته است و در هيچ همسايگي از 0=x، تابع يكنوا نيست.
29. فرض كنيد f در يك همسايگي از يكنوا باشد و تابع معكوس f در آن همسايگي باشد. ثابت كنيد اگر f در پيوسته باشد، نيز در پيوسته است.
6. 2 قضاياي وجودي (مقدار مياني و مقدار اكسترمم)
در اين بخش به دو قضيه مهم در مبحث پيوستگي مي‌پردازيم كه به قضاياي مقدار مياني و مقدار اسكترمم معروف هستند.
6. 2. 1 قضيه ـ (قضيه مقدار مياني) ـ فرض كنيم f تابعي باشد كه روي بازه بسته تعريف شده باشد و در هر نقطه از اين بازه پيوسته باشد. و همچنين داشته باشيم . در اين صورت Cاي هست كه و .
قبل از اثبات اين قضيه به تعبير ساده و جالب آن مي‌پردازيم:
تعبير هندسي قضيه مقدار مياني
فرض كنيم شكل 6. 2. 1، نمودار تابع در بازه باشد كه پيوسته است، و فرض كنيم f(a) زير محور xها و f(b) بالاي محور xهاست. در واقع نمودار يك مسير پيوسته‌اي است كه از زير خط افق شروع شده و به نقطه‌اي در بالاي خط افق مي‌رسد.
اين مسير در نقطه‌اي، خط افق را قطع مي‌كند كه در شكل 6. 2. 1، نقاط چنين‌اند.

فایل : 55 صفحه

فرمت : Word