مثلثات

مثلثات
واژه مثلثات «Trigonomently» در زبان يوناني از دو كلمه «Tplypuoo» و «μεtpov» كه به ترتيب «مثلث» و«اندازه‌گيري» هستند، مشتق شده است.
موضوع اين رشته از رياضيات، بررسي روابط اضلاع و زاويه‌هاي مثلث مي‌باشد.
نمونه زاويه:
زاويه توسط دوران يك خط مستقيم حول يك نقطه ثابت روي آن خط، مرسوم به راس بدست مي‌آيد.
در اين مرحله سه واحد كه براي اندازه‌گيري زاويه بكار مي‌روند، مي‌پردازيم.
الف) درجه ب) گراد ج) راديان
الف) درجه: يك درجه، زاويه‌اي است كه از دوران نيم‌خطي مانند OA حول نقطه O به اندازه 1:360 يك دوران كامل بدست مي‌آيد. براي نشان دادن اندازه يك زاويه از علامت o استفاده مي‌كنيم.
ب) گراد: ‌يك گراد،‌ زاويه‌اي است كه توسط دوران نيم‌خطي مانند OA حول نقطه O به اندازه 1:400 يك دوران كامل بدست مي‌آيد. براي نشان دادن اندازه يك زاويه به گراد از علامت gr استفاده مي‌كنيم.
ج) راديان: فرض كنيد كه در دايره‌اي به مركز O، OB از دوران حول نقطه O از شعاع OA بدست مي‌آيد. به طوري كه طول كمان AB برابر با شعاع دايره گردد. زاويه <AOB كه بدين ترتيب بدست مي‌آيد يك راديان مي‌باشد.
دليل اينكه راديان ناميده مي‌شود، اين است كه اين واحد مستقل از شعاع است، زيرا چنانچه كه مي‌دانيد نسبت محيط دايره به قطر آن، مقداري است ثابت و اين مقدار ثابت را به «» نشان مي‌دهند. اگر شعاع دايره L فرض شود، (L بر حسب يكي از واحدهاي
اندازه‌گيري طول مثلاً متر مي‌باشد)، خواهيم داشت:
محيط دايره =
بنابراين محيط در دايره راديان مي‌باشد و يا هر راديان محيط دايره است. براي نوشتن اندازه زاويه بر حسب راديان از علامت اختصاري rad استفاده مي‌شود.
تبديل واحدهاي اندازه‌گيري به يكديگر:

نسبت‌هاي مثلثاتي يك زاويه:
در دايره مثلثاتي داريم:

در مثلث قائم‌الزاويه OHM داريم:

يادآوري: در مثلق قائم‌الزاويه ABC داريم:
جدول زير تغييرات نسبت‌هاي مثلثاتي يك كمان (زاويه) را وقتي از تا تغيير كند، نشان مي‌دهد.
روابط بين نسبت‌هاي مثلثاتي
در مثلث قائم‌الزاويه OHM داريم:
با توجه به تشابه دو مثلث قائم‌الزاويه OAC, OHM داريم:

با توجه به تشابه دو مثلث قائم‌الزاويه OBD, OH'M داريم:

با توجه به روابط (1)، (2) و(3) داريم:

با فرض اينكه sina≠0 دو طرف رابطه sin2a + cos2a=1 را بر sin2a و با فرض cosa≠0 دو طرف رابطه را بر cos2a تقسيم مي‌كنيم. داريم:

همچنين مي‌توان tan و cot يك زاويه را بر حسب sin و cos يك زاويه نوشت:

نحوه محاسبه مقادير 30o, 45o, 60o

زواياي قرينه:

زواياي مكمل:

زواياي به تفاضل راديان:

زواي متمم:

زواويه‌هاي به تفاضل راديان:

زاويه به تفاضل رايان:

محاسبه نسبت‌هاي مثلثاتي مجموع دو زاويه:
براي مثال (sin(a+b))

محاسبه نسبت‌هاي تفاضل دو زاويه:
اگر در اتحاد بالا بجاي b، -b قرار دهيم، داريم:

محاسبه مقادير نسبت‌هاي مثلثاتي زاويه 2a بر حسب مقادير نسبت‌هاي مثلثاتي زاويه a:

از فرمول‌هاي مي‌توان نتيجه گرفت كه:

مي‌توان tan2a را بر حسب cos2a نوشت:

با توجه به sin2a مي‌توان نتيجه گرفت كه:

محاسبه مقادير نسبت‌هاي مثلثاتي زاويه 35 بر حسب مقادير نسبت‌هاي مثلثاتي a

تبديل مجموع يا تفاضل دو sin يا دو cos به حاصل ضرب:

حال اگر فرض كنيم a-b=q, a+b=p، داريم:

تبديل مجموع tan و cot به حاصل‌ضرب:

تبديل حاصلضرب دو نسبت مثلثاتي به مجموع يا تفاضل:

رسم شكل توابع مثلثاتي و معكوس توابع مثلثاتي
ويژگي‌هاي Arc

فایل : 10 صفحه

فرمت : Word