انتگرال

« به نام خداوند بخشنده و مهربان »
(( هر گونه معرفت انساني، از تفكر و تأمل آغاز مي شود. از آنجا به مفهوم‌ها مي‌رسد و سرانجام به انديشه ها ختم مي‌شود. ))
« كانت »
روش‌هاي تدريس رياضي كه عموماً مبتني بر تلقين و تحميل نظريات است و در سايه تمرين و تكرار به بالاترين سطوح محفوظات دانش‌آموزان مي پردازد منسوخ است زيرا با اين روش ها ممكن نيست انديشه رياضي را در دانش‌آموزان پرورش داد.
ميان قواعدگوناگون و وادار كردن دانش‌آموزان به تمرين و تكرار، علاقه و دلبستگي آنان را به رياضيات مي خشكاند و مانع رشد و تكامل عقل آنان مي‌شود.
به گفته پوليا، حل مسئله شامل چهار مرحله‌ي فهم مسئله، طراحي نقشه، اجراي نقشه و دوباره‌نگري است.
دانش‌آموزان درك مفهومي را از طريق تفسير اصول رياضي در يك مسئله و ترجمه‌ي اين ايده‌ها به يك بازنمايي منسجم رياضي با استفاده از حقايق مهم مسأله به نمايش مي‌گذارند.
دانش‌آموزان زماني درك مفهومي خوبي از رياضي را در يك مسئله نشان مي‌دهند كه بازنمايي مناسب را انتخاب كرده و از اطلاعات مرتبط استفاده كنند، اصطلاحات
رياضي را با دقت به كار برند و رويه هاي رياضي قابل كاربرد را انتخاب نمايند. اما دانش‌آموزاني كه به حفظ كردن روي مي‌آورند، فاقد فهم و درك بوده و احتمالاً احساس رضايت اندكي خواهند داشت و شايد به طور كامل از يادگيري دست بكشند. در حقيقت شواهد نشان مي‌دهند كه اگر دانش‌آموزان، با تكرار و به شكل طوطي وار به حفظ كردن و تمرين كردن رويه ها بپردازند، برايشان مشكل خواهد بود كه در آينده دوباره به اين مفاهيم برگشته و درك عميق‌تري از مفاهيم رياضي كه در پس آن رويه ها قرار دارد، پيدا كند. در اين مقاله سعي كردم انتگرال را به صورت مفهومي بيان كنم. اكثر دانش آموزان قواعد انتگرال‌گيري را به خوبي مي‌دانند و بسياري از مسائل را مي‌توانند حل كنند ولي اگر از آنها پرسيده شود انتگرال چيست؟ اكثر آنها نمي دانند انتگرال چيست و چرا انتگرال مي گيريم.
انتگرال چيست؟
انتگرال چيست؟ انتگرال يعني مجموع يا مجتمع. در الكترونيك به واژه IC برخورد مي‌كنيم كه مخفف كلمه Integrated Circuit و به مفهوم مجتمع تعدادي مقاومت الكتريكي، خاذن ها، ترانزيستورها ديودها و غيره مي‌باشد.
از واژه انتگرال ( Integral) در رياضي نيز به همين معني ولي به طور اخص مجموع بي‌نهايت كوچك‌ها مفهوم مي شود. مثلاً مي‌گوئيم مجموع نقاط يك خط است. به عبارت ديگر از انتگرال نقطه ها يعني جمع نقطه هايي كه كنار هم قرار گيرند، خط حاصل مي‌شود. پس به صورت دستوري، مي توانيم بنويسيم :
( نقطه ها ) مجموع = خط
اگر نخواهيم به صورت انشائي بنويسيم يا براي سهولت نوشتن، از علائمي استفاده مي‌كنيم.
از آنجا كه خط يك طول است، و طول را معمولاً به x‌ نمايش مي دهيم، مي توان از اين حرف استفاده كرد. البته هر حرف ديگري را هم مي‌توان بكار برد، حتي خودكلمه را، ولي اگر از كلمه خط استفاده شود فقط خود ما يا فارسي زبان ها به معني آن واقف خواهند بود. براي تفهيم بين المللي است كه از حرف x يا اين قبيل حروف بهره گرفته مي شود. پس مي‌توان نوشت :
( نقطه ها ) مجموع = x
علامت جمع در لاتين و در انگليسي S است. اين حرف Sum و به معني جمع است و معمول شده است كه آنرا كمي طويل بنويسند تا بر محتويات بعدي محاط باشد لذا به صورت ( ) نمايش مي‌دهند. پس رابطه فوق به شكل زير جلوه مي كند.
( نقطه ها ) = x
ولي نقطه چيست؟ آنطور كه در دبستان آموخته‌ايم نقطه هيچ بعد يا اندازه اي ندارد ولي اين تعريف نمي تواند صحت داشته باشد چه مجموع هيچ باز هم هيچ است نه خط.
تعريف درست آنست كه نقطه نيز داراري سه بعد يا سه اندازه طول، عرض و عمق يا ارتفاع است. ولي اين ابعاد به قدري كوچك هستند كه تقريباً صفرند ولي به هر حال وجود دارند.
اندازه هاي خيلي كوچك را به d نمايش مي‌دهيم. بنابراين طول، عرض و ارتفاع نقطه را به ترتيب به dx و dy و dz مي‌نمايانيم. استدلال مي‌كنيم كه چون نقاط با طول‌هاي بسيار كوچك dx كنار هم چيده شوند، خطي به طول x تشكيل مي‌شود.
اين استدلال به زبان رياضي به صورت زير نمايش داده مي شود :
(1)
dx را ديفرانسيل x مي خوانيم و از رابطه 1 مي‌گوئيم كه انتگرال dx يا انتگرال
ديفرانسيل x‌ برابر x است.
ضرب المثل « قطره قطره جمع گردد وانگهي دريا شود » مي تواند مفهوم ادبي انتگرال باشد.
رابطه (1) را يك انتگرال نامعين مي‌نامند. چون طول خط را مشخص نمي كند. ولي اگر ابتداء و انتهاي خط مشخص شود آنگاه طول خط نيز معين شده و انتگرال را انتگرال معين مي‌ناميم. پس اگر ابتداي خط را 0 و انتهاي آن را 20 بگيريم رابطه فوق به صورت زير درمي‌آيد.
(2) = x
بصورتي ديگر نيز مي‌توان نوشت :
x = = طول خط
اعداد 0 و 20 در اين رابطه را حدود انتگرال مي‌خوانيم. 20 حد بالا و 0 حد پائين است. براي يافتن جواب عددي رابطه، ابتدا حد بالا و سپس حد پائين را به جاي x قرار داده و آنگاه دومي را از اولي كم مي‌كنيم. پس :
20 = 0 – 20 = x =
تصوير زير نمايش هندسي مطلب را مي نماياند. توجه داشته باشيد كه ما طول نقطه را نداريم فقط مي‌دانيم كه اين طول وجود دارد ولي مقدار آن بسيار ناچيز و تقريباً صفر است.

سطح
حال كه تعريف خط و روش بدست آوردن آنرا فهميديم به يافتن سطح به روش انتگرال مي‌پردازيم.
سطح يك مستطيل را در هندسه چگونه حساب مي‌كنيم؟ حاصلضرب طول در عرض.
اگر طول سطح x‌ و عرض آن مقدار بسيار كوچك dy باشد، مساحت نيز مقدار خيلي كم dA خواهد بود.
پس dA = x dy dy =
از كنار هم گذاشتن اين سطوح كوچك، سطح بزرگ A حاصل مي‌شود. به عبارت ديگر، سطح بزرگ از مجموع سطوح بي‌نهايت كوچك dA حاصل مي شود. باز هم به جمله مجموع رسيديم و لذا مي‌گوئيم، هر سطح از انتگرال سطوح كوچك بدست مي‌آيد و به صورت رابطه رياضي زير نشان داده مي شود :
(2)
x در اينجا طول سطح كوچك ما و عددي ثابت است. ( طبق قواعد انتگرال گيري ) اعداد ثابت را مي‌توان از زير علامت انتگرال بيرون آورد. لذا رابطه (2) به صورت زير در مي‌آيد.
(3)
همانگونه كه انتگرال dx برابر x شده انتگرال dy نيز y‌ است. لذا A = xy
اگر طول سطح، x را برابر طول همان خطي بگيريم كه در بالا بدست آورديم مساحت مساوي y 20 A = مي شود، ولي y چقدر است؟ در اينجا نيز همانند خط، بايد نقطه ابتدا و انتهاي y را بدانيم. اگر اين دو نقطه را به ترتيب 0 و 10 بگيريم، حدود انتگرال dy مشخص مي‌شود. در اين صورت به رابطه (3) برگشته و آنرا به شكل زير مي نويسيم :

و چون x‌را 20 گرفته بوديم، پس مساحت مستطيل مورد نظر 200 = (20) 10 خواهد شد.
dy =
dy =
dy =
dy =
مي توانيم به جاي x ، مقدار انتگرالي آن را از رابطه (1) در دستور (3) قرار داده و بدينسان سطح را با انتگرال دوگانه محاسبه نمائيم :
(4)
و يا
اگر عرض سطح y و ابتدا و انتهاي طول را مشخص مي كردند، همين عمليات را با پس و پيش كردن x‌ و y مي‌توانستيم براي محاسبه مساحت تكرار نمائيم.
حـجــم
حجم را نيز به همين سياق مي‌توان با انتگرال‌گيري بدست آورد.
حجم از روي هم قرار دادن تعدادي سطح يا صفحه حاصل مي گردد. يك سطح داراي دو بعد يا دو اندازه طول و عرض است.
سطح همچنان داراي ضخامت يا عمق است ولي آنقدر كم و ناچيز كه عملاً مي‌توان صفر گرفت. اين ضخامت ناچيز را به dz نشان مي‌دهيم. مساحت سطح xy‌است كه چون در dz‌ ضرب شود حجم بسيار كوچك آن dv حاصل مي‌شود چون مي‌دانيم كه حجم حاصلضرب سه اندازه طول، عرض و عمق يا ارتفاع است. پس :
(5)dv = xydz
مجموع اين حجم هاي كوچك، حجم بزرگ را به وجود مي‌آورد. لذا :
(6)
ولي xy يعني مساحت، ثابت است يا اگر اين سطح ثابت باشد، مي‌توان آنرا از داخل
علامت انتگرال بيرون آورد :
(7)
كه يك انتگرال نامعين است يعني مقدار عددي آن مشخص نيست. اگر ابتداء و انتهاي ضخامت يا ارتفاع معلوم و مثلاً 0 و 5 باشد آنگاه مي‌توان مقداري عددي حجم را محاسبه نمود. ولي مجموع dz‌ها همانطور كه براي dx و dy گفته شد برابر z است. پس :

و چون مقدار x و y به ترتيب برابر 20 و 10 بود پس حجم مكعب مستطيلي كه بدينسان محاسبه شده است برابر :
1000 = 5 × 10 × 20 = v
واحد حجم مي شود. واحد حجم بستگي به واحد x و y دارد. اگر اين واحدها سانتي متر باشند حجم به سانتي‌متر مكعب و اگر متر باشد به متر مكعب و غيره حساب مي‌شود.
1000 = 5 × 10 × 20 = xyz = v
در اينجا حجم را با يك انتگرال حساب كرديم چون فرض بر اين بود كه x و y مقادير

فایل : 11 صفحه

فرمت : Word