مقاله کامل نظريه احتمال و مجموعه هاي فازي

نظريه احتمال و مجموعه هاي فازي
1ـ مقدمه
زمينه نظريه احتمال كلاسيك مبتني بر اصل مدل كلموگروف است بطوريكه پيشامدها به صورت زير مجموعه‌ي معمولي از يك مجموعه مرجع X مي‌باشند. اين پيشامد ها يك ـ جبر A را تشكيل مي‌دهند. احتمال P به عنوان يك تابع حقيقي روي A تعريف مي‌شود و شرايط مرزي و P(X)=1 در مورد آن صدق مي‌‌كند و براي هر ترتيب از پيشامدهاي دوبدو ناسازگار داراي خاصيت _ جمعي مي‌باشد و اگر شرط مرزي P(X)=1 را تغيير دهيم آن‌گاه به فهوم اندازه دست مي‌يابيم. يك شاخه مهم از نظريه‌ي فازي با استنباط ها از احتمال P ( و احياناً ـ جبر A ) تا زماني كه مفهوم زير مجموعه هاي معمولي باقي بماند و تغيير نكند در ارتباط است. اين عنوان موضوع اصلي اين مقاله نيست به هر حال به بعضي از اين استنباط ها در فصل 2 اشاره مي‌شود.
مجموعه‌هاي فازي توسط زاده ( Zadeh) در سال 1965 به عنوان تعميم مجموعه‌هاي معمولي معرفي شدند. ( توسط تابع مشخصه‌هاي آن ها ارائه داده شدند.) كه بصورت تابعي از مجموعه مرجع X به بازه واحد [0,1] هستند. ما تعميم‌ها و استنباط‌هاي ممكن ديگر را حذف خواهيم كرد. ( براي مرور عميق تر بر نظريه مجموعه فازي و كاربرد آن‌ها به مقاله ] 27[ توجه كنيد.) تعميم كاربرد
اشتراك، اجتماع و مكمل‌سازي در نظريه مجموعه هاي معمولي به مجموعه‌هاي فازي معمولاً بصورت نقطه به نقطة‌ صورت مي‌گيرد.
دو تابع دو متغيره

و يك تابع يك متغيره و تعميم آن ها از طريق معمولي است:
اگر A و B دو زير مجموعه‌ي فازي از X باشند آن‌گاه براي هر داريم:

در تحت بعضي‌ از شرايط طبيعي T به يک نرم مثلثي Sklar و Schweizer ] 30[ تغيير پيدا مي كند. بطور مشابه S نيز يك هم نرم مثلثي است. T و S در بخش 3 مورد بحث قرار خواهند گرفت. تابع مكمل C و روابط بين S , T در بخش 4 بحث خواهند شد. توجه كنيد كه اشتراك و اجتماع‌هائي كه وابسته عنصري هستند توسط Klement ] 12 [ موردمطالعه و طبقه بندي قرار گرفتند. بطور مشابه lowen ] 16 [ مكمل‌هايي را كه وابسته عنصري هستند مورد مطالعه قرار داد. بطور كلي مادراين مقاله با تعريف نقطه به نقطه رابطه هاي فازي سروكار داريم.
يك زوج (X,A ) كه A يك ـ جبر از زير مجموعه ي معمولي مجموعه‌ي مرجع X است، يك فضاي كلاسيك قابل اندازه‌گيري را تشكيل مي‌دهد. در بخش 5 بعضي از تعميم هاي فازي از فضاهاي اندازه پذير مثل جبر هاي فازي توليد شده ( دسته ها)، ـ جبرهاي فازي، T ـ دسته ها، g-T – دسته ها بحث خواهد شد. بعد از مرور كوتاه بر اين موضوع، ما بعضي از آخرين نتايج و مسائل باز
را ارائه مي‌دهيم. در بخش 6 به اندازه‌هاي پيشامدهاي فازي( اندازه‌هاي احتمال فازي، T ـ اندازه‌ها، اندازه‌هاي تجزيه پذير و غيره ) خواهيم پرداخت. اين بخش شامل سير تاريخي مطلب، بعضي از آخرين نتايج و مسائل باز نيز مي‌باشد.
2ـ اندازه‌‌‌هاي فازي
اندازه هاي فازي اولين بار توسط Sugeno ] 35[ در سال 1974 در پايان‌نامه‌ي دكتراي او معرفي شد. يك اندازه فازي يك تابع مجموعه اي است كه روي سيستم D از زير مجموعه هاي معمولي مجموعه‌ي مرجعX تعريف مي‌شود. ( براي X متناهي، D معمولاً بصورت مجموعه‌ي توان از مجموعه X گرفته مي‌شود، ). تنها شرط لازم براي D اين است كه مجموعه‌ي را شامل شود و . اغلب D به عنوان ـ جبر فرض مي‌شود. يك اندازه فازي ( R مجموعه‌ي اعداد حقيقي) در شرايط زير صدق مي كند:

,
براي پيشامدهاي يکنواي نتيجه مي دهد .
شرط (3) نسبتاً قوي است. بطور مثال بسياري از اندازه هاي احتمال با پيوستگي از بالا هماهنگ نيستند، به همين دليل است كه در صفحات بعدي شرط پيوستگي حذف مي‌شود. به مقاله هاي ] 24 و 23 و 21 [ توجه كنيد. از اين رو اندازه فازي يك تابع مجموعه اي يكنوا روي D است كه در مجموعه تهي برابر صفر مي‌شود. بدين معني كه اندازه فازي شرط (1) ، (2) را محقق مي‌سازد. اگر
علاوه بر اين دو شرط، شرط (3) نيز صادق باشد m اندازه فازي پيوسته ناميده مي‌شود.

بطوريكه f يك تابع قابل اندازه گيري نا منفي است و سمت راست انتگرال يك انتگرال لبگ معمولي مي‌باشد. توجه كنيد كه در سال 1978، Sipos ] 32 [ يك روش انتگرال‌گيري را باتوجه به پيش اندازه معرفي كرد بطوريكه از انتگرال لبگ و انتگرال choquet مستقل بود. يك پيش‌اندازه بر يك اندازه فازي منطبق است و انتگرال Sipos يك تعميم از انتگرال choquet است. ( اين موضوع بر روي هر تابع قابل اندازه‌گيري تحت بعضي از محدوديت ها و شرط هاي طبيعي تعريف شده است.) براي جزئيات بيشتر به مقالات ] 34 و 33 و 32 [ مراجعه كنيد.
يك طبقه بزرگ بسياري از اندازه هاي فازي خاصيت شبه جمعي را دارا هستند بطور مثال، شبه جمع براي پيشامدهاي مجزا بدين صورت است:

اغلب فرض مي‌شود كه m در شرط پيوستگي از پائين صدق مي‌کند بطور مثال بصورت در نظر گرفته مي‌شود كه در اين حالت اندازه امكان را بدست مي‌آوريم . اندازه شبه جمع در يك قالب عمومي توسط Murofushi و Sugeno ] 23 [ در سال 1987 مورد مطالعه قرار گرفت. انتگرال آن ها نيز بطور مشابه با انتگرال لبگ ساخته شد. بطوريكه از تابع‌هاي ساده شروع مي‌كنيم و از روش هاي حد معمولي استفاده مي‌كنيم. نتايج قابل توجهي در ارتباط با اين موضوع مي‌توان بدست آورد. مثلاً در مقاله ] 14 [ .
اگر شبه جمع توسط مولد جمعي g توليد شود، آن گاه آن را با علامت نشان خواهيم داد.( همچنين به بخش 4 و 6 توجه كنيد.) و اندازه‌هاي شبه جمعي مربوط نيز اندازه‌هاي -غير قابل تجزيه ناميده مي‌شوند. آن ها يك زير خانواده از اندازه هاي شبه جمعي را تشكيل مي دهند كه توسط weber ] 38[ در سال 1984 معرفي شدند. انتگرال وبر ( Weber) نسبت به يك اندازه – تجزيه ناپذير بر پايه انتگرال لبگ با توجه به gom ساخته مي‌شود. اگرترکيب m,g يعني gom يك اندازه جمعي متناهي و معمولي باشد آن گاه نتايج وبر (weber ) با نتايج Murofushi و Sugeno مطابقت مي كند. بعضي از جزئيات در مقاله ] 22 [ ديده مي‌شوند. همچنين ديدگاه مشابهي، البته با اندکي اصلاح ، توسط Pap ]28[بکار گرفته شده است.
در پايان قابل ذكر است كه بيشتر انتگرال‌هاي كلي با توجه به اندازه‌هاي فازي توسط Murofushi و Suegeno در سال 1991 ] 26[ معرفي شدندو تحت بعضي از محدوديت‌ها بر روي برد تابع ها و اندازه‌ها، اين انتگرال شامل دو انتگرال Choquet و Sugeno ] 35[ مي‌شود.
3ـ نرم ها و هم نرم هاي مثلثي
مسئله يافتن راه‌هاي مناسب براي اجتماع و اشتراك مجموعه هاي فازي در نهايت منجر به توليد نتايج مهمي از ديدگاه‌هاي مختلف شده است. در قدم اول براي اينكه بتوان يك پايه و اساس منطقي براي تئوري مجموعه فازي تهيه كرد بايد اين مسئله حل شود. انتخاب يك نشانگر تابعي براي يك عملگر در نظريه مجموعه‌ها نه تنها به لحاظ تجربي بلكه از نظر اصل موضوعي بايد قابل توجيه باشد. در واقع اكثر نتايج بدست آمده در مورد
عملگرهاي مجموعه‌هاي نظري فازي نتايج خاصي نيستند به جزء تفسير مجدد نتايجي كه از معادلات تابعي آن‌ها حاصل مي‌شود. ( بخصوص تساوي‌هاي شركت پذيري)
فرض كنيد كه اشتراك و اجتماع مجموعه هاي فازي بصورت نقطه به نقطه توسط عملگرهاي دوتايي S,T روي بازه [0,1] تعريف شوند نياز به خاصيت جابه جايي، شركت پذيري و يكنوايي (غير نزولي بودن) براي هر دو اجتماع و اشتراك ، همچنينT و S طبيعي است. T(a,1)=a ( اين با AnX=A در تئوري مجموعه‌هاي معمولي تطابق دارد) و S(0,a)=a (از ) براي هر] 0,1 [ a. اما T يك نرم مثلثي كه به اختصار با t -نرم نشان داده مي‌شود، S يك هم نرم مثلثي است كه با t ـ هم نرم نشان داده مي‌شود توجه كنيد كه مفهوم نرم مثلثي به سال 1942 و به Menger ] 17[ مربوط مي‌شود، و توسط Schweizer و Sklar در سال 1960 ] 30[ بصورت امروزي معرفي شد.
اگر T‌توسط t – نرم داده شود آنگاه

t- هم نرم را تعريف مي‌كند. بطور مشابه، هر t‌- هم نرم S موجب يك t – نرم مي‌شود.
و به همين ترتيب و . بنابراين يك تناظر يك به يك بين t – نرم و t – هم نرم وجود دارد. يك زوج ( T,S ) جايي كه ( يا تساوي ) يك زوج دو گان t – نرم و t – هم نرم ناميده مي‌شود. خاصيت شركت‌پذيري t- نرم T و دوگانش t – هم نرم S قابل تعميم به عملگرهاي n مولفه‌اي روي بازه‌ي واحداست. يعني براي هر ترتيب در بازه [0,1] ترتيب غير نزولي است. دوباره
دوگاني S,T حفظ مي‌شود. اگر هيچ اغتشاي ممكن نباشد از علامت اختصار استفاده خواهيم كرد.
در ادامه ما فقط با t – نرم‌هاي قابل اندازه‌گيري ( Borel-) و t – هم نرم ها سروكار داريم. يك t -نرم T اگر پيوسته و اكيداً صعودي باشد محض ناميده مي‌شود . يعني T(a,b)0 همان T را نتيجه مي‌دهد كه نتيجه مي‌دهد. اگر تابع f را به صورت در نظر بگيريم، آن‌گاه هر tـ نرم محض T مي‌تواند در رابطه زير جايگزين شود:

اگر ( پيوسته، اكيداً نزولي، و ) آنگاه يك مولد جمعي T ناميده مي‌شود. بطور مشابه هر t – نرم محض S‌ توسط يك مولد جمعي توليد مي‌شود ( پيوسته ، اكيداً صعودي و )،

اگر S,T يك زوج دوگان را تشكيل دهند و اگر F يك مولد جمعي از T باشد آنگاه h(x)=f(1-x) يك مولد جمعي از S است. توجه كنيد كه مولدهاي جمعي منحصراً توسط T(S) تا حد يک مضرب ثابت تعيين مي‌شوند.

فایل : 28 صفحه

فرمت : Word