مقاله کامل ریاضی کاربردی

ـ فرض كنيد تحقيقي در مورد گروهي از مريض‌ها انجام مي‌شود، به طوري كه احتياج به يك رژيم غذايي دارند كه بايستي حداقل 2000 كالري و حداقل 600 واحد ويتامين D مورد لزوم از دو خوراك I و II كسب شود. هر واحد از خوراك I داراي 40 كالري و 8 واحد ويتامين D است و هر واحد از خوراك II داراي 20 كالري و 12 واحد ويتامين D است در ضمن هزينه هر واحد خوراك I برابر 4 تومان و هزينه هر واحد خوراك II برابر 5 تومان مي‌باشد. مسئله را به صورت يك برنامه‌ريزي خطي مدل‌بندي نماييد به طوري كه ضمن كسب حداقل كالري و ويتامين D مورد لزوم مقدار هزينه مينيمم شود.
حل. تعريف مي‌كنيم:
تعداد واحد خوراك نوع I كه فرد خريداري مي‌كند براي
اطلاعات مسئله را مي‌توانيم به صورت يكي از جدولهاي زير خلاصه نماييم:
با استفاده از هر كدام از دو جدول فوق، مدل مسئله به صورت زير قابل بيان است:
ـ در يك كارگاه بشقاب‌سازي بشقاب در دو اندازه كوچك و بزرگ ساخته مي‌شود براي ساخت يك بشقاب كوچك، يك دسيمتر مربع ورق استيل 5/1 نفر ساعت كار مورد نياز است. در صورتي كه براي ساخت يك بشقاب بزرگ دو دسيمتر مربع ورق استيل و 3 نفر كار مورد نياز است. فروش هر بشقاب كوچك 30 تومان و فروش هر بشقاب بزرگ 50 تومان سود دارد. اگر در هفته 400 دسيمتر مربع ورق استيل و 500 نفر ساعت نيروي انساني در اختيار داشته باشيم و هر تعداد بشقاب از هر نوع كه توليد شود به فروش برسد يك مدل رياضي براي مسئله بنويسيد كه تعيين كند در هر هفته از هر نوع بشقاب چه تعداد توليد مي‌شود تا ضمن رعايت محدوديتهاي منابع، سود حاصل از توليد ماكزيمم شود.
حل. تعريف مي‌كنيم:
تعداد توليد هفتگي بشقاب نوع كوچك: x1
تعداد توليد هفتگي بشقاب نوع بزرگ: x2

ـ در كارخانه‌اي دو نوع كالا توليد مي‌شود. براي توليد هر واحد از نوع اول، 3 ساعت زمان و براي توليد هر واحد از نوع دوم، 2 ساعت زمان لازم است. كارخانه در 24 ساعت شبانه‌روز كار مي‌كند و از طرفي ماده اوليه براي توليد حداكثر 10 واحد كالا از هر نوع داريم. هرگاه سود كالاي نوع اول 400 تومان و سود كالاي نوع
دوم 300 تومان براي هر واحد باشد. از هر كالا چه تعدادي در شبانه روز توليد كنيم تا سود حاصل ماكزيمم شود. يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد.
حل. تعريف مي‌كنيم:
تعداد كالاي نوع i براي
ـ يك كارخانه توليدي 5 ماشين رنگ‌كاري و يك ماشين پرس دارد. اين ماشينها براي ساخت دو نوع محصول I و II به كار گرفته مي‌شوند. با تركيب يك واحد از I و يك واحد از II، يك محصول جديد به نام III‌ به دست مي‌آيد. ميزان به‌كارگيري هر كدام از اين ماشينها براي محصولات I و II در جدول زير داده شده است.
مدت زمان مورد نياز (دقيقه)
براي هر واحد
چگونگي تقسيم كار روي ماشين‌ها را تعيين كنيد به طوريكه در مدت 8 ساعت كار، تعداد محصولات نهايي III ماكزيمم گردد. يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد.
حل. تعريف مي‌كنيم:
تعداد محصولات نوع I: x1
تعداد محصولات نوع II: x2
چون هر واحد از III از تركيب يك واحد از I و يك واحد از II ساخته مي‌شود بنابراين III به اندازه مي‌تواند توليد شود كه بايستي اين مقدار را ماكزيمم نماييم.
ـ چهار فرآورده به طور متوالي روي دو ماشين پردازش مي‌شوند. مدت زمان براي پردازش هر واحد از فرآورده‌ها روي دو ماشين (بر حسب ساعت) در جدول زير داده شده است:
زمان براي هر واحد (ساعت)
هزينه كل توليد يك واحد از هر فرآورده مستقيماً با زمان مورد استفاده از ماشين متناسب مي‌باشد. فرض كنيد هزينه هر ساعت استفاده از ماشين‌هاي 1 و 2 به ترتيب برابر 10 و 15 تومان باشد. كل زمان در نظر گرفته شده براي تمام فرآورده‌ها روي ماشين‌هاي 1 و 2 برابر 500 و 300 ساعت است. اگر بهاي فروش هر واحد از فرآورده‌هاي 1 و 2 و 3 و 4 به ترتيب برابر 65، 70، 55 و 45 تومان باشد، براي بيشينه ساختن سود خالص كل، يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد.
حل. تعريف مي‌كنيم:
ميزان توليد فرآورده i‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ام براي
ـ توليد كننده‌اي سه مدل (I، II و III) از فرآورده معيني را توليد مي‌كند. او از دو نوع ماده خام (A و B ) كه از آنها به ترتيب 2000 و 3000 واحد در دسترس دارد استفاده مي‌نمايد. مواد خام مورد نياز براي هر واحد از سه مدل در زير داده شده‌اند.
مقدار لازم براي هر واحد از مدل داده شده
زمان كار مورد نياز براي هر واحد از مدل I دو برابر زمان كار مدل II و سه برابر زمان كار مدل III
مي‌باشد. تمام نيروي كار كارخانه مي‌تواند معادل 700 واحد از مدل I توليد كند برآوردي از بازار نشان مي‌دهد كه كمينه تقاضا براي سه مدل به ترتيب 200 و 200 و 150 واحد مي‌باشد با وجود اين نسبتهاي تعداد واحد توليد شده بايد به نسبت 5: 2: 3 باشند. فرض كنيد كه سود هر واحد از مدلها به ترتيب برابر با 30 و 20 و 50 تومان باشد. يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد تا بتوانيد تعداد توليد واحدهايي از هر فرآورده را كه سود كل را بهينه مي‌سازد به دست آوريد.
حل. تعريف مي‌كنيم:
ميزان توليد محصول مدل نوع I براي

توجه داشته باشيد كه مجموع نسبتهاي داده شده برابر 10 است كه متغيرهاي اول تا سوم به ترتيب نسبتهاي 3، 2 و 5 از آن را به خود نسبت مي‌دهند. لذا، مثلاً براي محصول نوع I داريم:

به همين نحو براي محصولهاي دوم و سوم يك رابطه مشابه وجود دارد.
ـ فرض كنيد مقدار خوراك مورد نياز در يك مرغداري 100 كيلوگرم در روز باشد. غذاي ويژه بايد شامل موارد زير باشد:
1) كلسيم، حداقل 8/0 درصد و حداكثر 2/1 درصد
2) پروتئين، حداقل 22 درصد
3) الياف خام، حداكثر 5 درصد
فرض كنيد كه اجزاي تركيبي مواد غذايي كه مورد استفاده قرار مي‌گيرند، عبارتند از سنگ آهك، ذرت و آرد سويا. محتواي غذايي اين اجزاي تركيبي در جدول زير داده شده‌اند.
يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد به طوري كه مشخص كند از هر جزء تركيبي چه مقدار در بسته غذايي استفاده گردد تا ماده غذايي مورد نظر با حداقل هزينه تهيه شود، ضمن اينكه احتياجات غذايي مورد نظر نيز برآورده گردد.
حل. تعريف مي‌كنيم:
مقدار سنگ آهك مورد استفاده در بسته صد كيلويي: x1
مقدار ذرت مورد استفاده در بسته صد كيلويي: x2
مقدار آرد سويا مورد استفاده در بسته صد كيلويي: x3
بنابراين مدل برنامه‌ريزي خطي به صورت زير خواهد بود:

ـ براي كنترل كيفيت حداقل 2500 واحد از يك كالا در مدت 7 ساعت قرار است از تعدادي بازرس از دو گروه A و B استفاده شود. يك بازرس گروه A در هر ساعت 25 عدد كالا را با دقت 97 درصد كنترل مي‌كند و هزينه بازرسي در هر ساعت 400 تومان است. يك بازرس گروه B در هر ساعت 8 عدد كالا را با دقت 95 درصد كنترل مي‌كند و هزينه بازرسي در هر ساعت 350 تومان است. براي هر واحد كالا كه ناقص باشد و از زير دست بازرسان خارج گردد كارخانه بايد 200 تومان جريمه بپردازد. با فرض آنكه از بازرسيهاي گروه A حداكثر 10 نفر و از بازرسهاي گروه B حداكثر 11 نفر در دسترس هستند، معين كنيد كه از هر كدام از بازرسها چه تعدادي به خدمت گرفته شوند تا ضمن مينيمم كردن هزينه پرداختي، كارخانه به هدف مطلوب برسد. يك مدل رياضي براي بيان مسئله بنويسيد.
حل. تعريف مي كنيم:
تعداد بازرساني كه از گروه A‌ به خدمت گرفته مي‌شوند: x1
تعداد بازرساني كه از گروه B به خدمت گرفته مي‌شوند: x2
هزينه در اين مسئله عبارت است از:
هزينه جريمه + هزينه ساعتي هر بازرسي
هزينه كارخانه براي يك ساعت از بازرس گروه A عبارت است از:

به طور مشابه هزينه كارخانه براي يك ساعت از بازرس گروه B‌ عبارت است از:

بنابراين مدل مسئله عبارت است از:

ـ شركتي سه محصول شيميايي توليد مي‌كند. براي اين كه محصولي به توليد برسد، مي‌بايست از چهار مرحله توليدي عبور كند. جدول زير زمان مورد نياز هر محصول جهت مرحله‌هاي مختلف و ظرفيت زماني هر مرحله را بر حسب دقيق در روز نشان مي‌دهد. چنانچه حداقل تقاضا براي هر محصول به ترتيب 50، 80 و 70 واحد بوده و سود خالص هر واحد محصول به ترتيب 3، 2، 5 باشد، به منظور حداكثر كردن سود كل توليدات اين شركت، مسئله را به شكل يك مدل برنامه‌ريزي خطي فرموله كنيد تا معين كند از هر محصول چه تعدادي توليد شود.
حل.
ابتدا مي‌بايست متغيرهاي تصميم را تعريف نماييم. در اينجا مي‌خواهيم بدانيم از هر محصول چقدر بايد توليد كنيم. لذا متغيرهاي تصميم به شكل زير تعريف مي‌گردند:
X1= تعداد توليد محصول 1
X2= تعداد توليد محصول 2
X3= تعداد توليد محصول 3
و يا به طور خلاصه مي‌نويسيم:
Xj= ميزان (مقدار) توليد از محصول j براي
حال با اين تعريف تابع هدف ما چنين خواهد بود:

كه دراينجا z معرف سود كل شركت مي‌باشد.
براي ظرفيت زماني چهار پروسه توليدي، چهار محدوديت زير را خواهيم داشت:

براي هر محصول، يك محدوديت حداقل تقاضا وجود دارد لذا خواهيم داشت:

نهايتاً چون مقدار منفي براي متغيرهاي ما بي‌مفهوم است داريم:

فایل : 297 صفحه

فرمت : Word