مقاله کامل دايره

دايره
معادله يك دايره
فرض كنيم C(a,b) مركز و r شعاع دايره باشد . فرض كنيم P(x,y) نقطة دلخواهي روي محيط دايره باشد. در اين صورت CP=r بنابراين

با مراجعه به معادلة ، كه عبارتي براي فاصله بين دو نقطه ارائه مي دهد، داريم

كه معادله مطلوب است.
اگر فرض كنيم a=b=0 يعني مركز دايره در مبدا باشد، در اين صورت معادله به صورت زير درمي آيد.

معادله (1.19) مي تواند چنين نوشته شود.

بنابراين معادله يك دايره به صورت زير است
كه در آن g ، f ، c اعداد ثابتي هستند. بالعكس معادله (3.19) را مي توان چنين بازنويسي كرد.

با مقايسه اين معادله با (1.19) مي بينيم كه
(3.19) دايرهاي به مركز (-g-f) و با شعاع را نمايش مي دهد(4.19)
در حالت كلي معادله يك دايره چنان است كه
(يكم) ضرايب و مساويند (دوم) جمله xy وجود ندارد.
مثال 1. معادله دايره اي با مركز (4.3-) و به شعاع 7 را بيابيد.
معادله عبارتست از

مثال 2. مركز و شعاع دايره را بيابيد.
با قرار دادن معادله مفروض به صورت استاندة (19.1) ابتدا لازم است طرفين را بر 4 تقسيم كنيم ، بنابراين
يعني .

يا

بنابراين دايره داراي مركز ( 0،2/3) و شعاع 1 است .
مثال 3، معادله دايره اي را بيابيد كه مركزش (7-،4) بوده و بر خط
3x+4y-9=0
مماس باشد.
چون خط مماس بر دايره است . بنابراين شعاع دايره برابر با فاصله عمودي مركز تا خط مي باشد . پس
شعاع
بنابراين معادله دايره چنين است

يعني ،
مثال ، معادله دايره اي را بنويسيد كه AB قطر آن باشد، در اينجا ، B,A نقاط و مي باشند.
فرض كنيم P(x,y) نقطه ديگري از محيط دايره باشد (شكل 2.19 را ببنيد)
شيبيهاي AP و BP به ترتيب عبارتند از
و
چون AB قطر دايره است ، ؛ بنابراين AP و PB عمودند؛ پس بنابر (15.18) حاصلضرب شيبهاي آنها برابر 1- است . يعني

يا

كه شرطي است كه بايستي مختصات هر نقطه دلخواه دايره در آن صدق كند و بنابراين معادله مطلوب مي باشد.
2.19 معادلة دايره اي كه از سه نقطه غير واقع بر يك استقامت مي گذرد.
فرض كنيم كه معادله دايره باشد و سه نقطه باشند. چون دايره ازهر سه نقطه مي گذرد بايستي مختصات آنها درمعادله دايره صدق كنند. بنابراين

دستگاهي از سه معادلهاست كه مي توان ان را بر حسب مجهولات g ، f و c حل كرد.
مثال 1. معادله دايره اي را بيابيد كه ازنقاط (6.1)،(3.2)،(2.3) مي گذرد.
فرض كنيم معادله دايره باشد. در اين صورت چون (6.1) روي دايره قرار دارد داريم.

با حل دستگاه معادلات داريم . بنابراين معادله مطلوب عبارتست از

3.19 معادله مماس بر دايره

درنقطه با ديفرانسيلگيري از معادله نسبت به x داريم

بنابراين شيب مماس در نقطه عبارتست از . پس بنابر
(6.18) معادله مماس چنين است.

يا

يعني ،

مقدار را به هر دو طرف مي افزاييم به دست مي آيد.

زيرا روي دايره قرار دارد. بنابراين معادله مطلوب چنين است.

سهمي ، بيضي ، هذلولي و سهمي نيمه مكعبي
مقدمه
مكان هندسي نقطه P(x,y) كه طوري حركت مي كند كه نسبت فاصله اش از يك نقطه ثابت S (كانون ) ، و از يك خط ثابت ZQ (هادي) عددي ثابت است (e ، كه به عنوان خروج از مركز شناخته شده است)، مطابق با اينكه e كوچكتر ، مساوي يا بزرگتر از واحد باشد اشكال متفاوتي دارد. اين مكان مهمي است وقتي كه e=1 ، بيضي است وقتي كه e0 ) ابتدامشاهده مي كنيم كه x منفي باشد y تعريف نشده است ، بنابراين منحني تماماً درطرف راست مبدأ قرار دارد. چون مي توانيم معادله سهمي را به صورت بنويسيم، منحني نسبت به Ox متقارن است وگاهي از اين خط به عنوان محور ياد مي شود. اگر x صفر باشد ، نشان مي دهد كه محور y ها منحني را در دو نقطه منطبق بر هم در نقطه (0.0) قطع مي كند ، اين نقطه راس سهمي ناميده مي شود. بنابراين منحني بر محورy ها در راس مماس است. شكل عمومي در شكل 2.25 نشان داده شده است.
طول پاره خط ماربر كانون و موازي خط هادي سهمي را وتركانوني موازي خط هادي نامند. چون طول نقطه L x=a است، با جايگذاري در معادله (25.1) مي بينيم كه عرض LS داراي طول 2a است. بنابراين

مثال 1، معادله سهمي با كانون (5.4) و خط هادي x=3 را بيابيد.
با مراجعه به شكل 25.2 فرض كنيم P(X,Y) نقطه دلخواهي از سهمي باشد، در اين صورت P از كانون و خط هادي به يك فاصله است. بنابراين
SP=PM=PN-MN
يعني

و اين معادله را ميتوان به صورت زير بازنويسي كرد.

با مراجعه به شكل (2.25) مي بينيم كه راس V نقطه (4.4) مي باشد. اگر مبدا مختصات را به اين نقطه منتقل كنيم معادله به صورت در مي آيد كه همان معادله (1.25) با a=1 است.
مثال 2، معادله سهمي را بنويسيد كه كانونش (2،3-) و خط هادي ان x-y+1=0 باشد.

فایل : 64 صفحه

فرمت : Word