مقاله کامل جبر خطی و هندسه تحلیلی

فاطمه رضايي (محاسبات عددي)
فصل 1
جبر خطی و هندسه تحلیلی
ماتریس
یک ماتریس از مرتبه n×m جدول مستطیلی از اعداد شامل m سطر و n ستون است که به صورت زیر آن را نمایش می دهیم:

که عنصطر سطرi ام و ستون j ام است را درایه (مولفه ) I,j ام ماتریس A می نامیم.
دو ماتریس A و B را مساوی گوییم هرگاه مرتبه های آنها با هم برابر باشد (هم مرتبه باشند) و درایه های متناظر آنها با هم مساوی باشد.
1-1-1- معرفی برخی از ماتریس های خاص
1) ماتریس سطری: اگر ماتریس A دارای یک سطر یعنی از مرتبه باشد آن را سطری از مرتبه n می نامیم.
2) ماتریس ستونی: اگر ماتریس A دارای یک ستون یعنی از مرتبه باشد آن را ستونی از مرتبه m می نامیم.
3) ماتریس صفر: ماتریسی که همه درایه های آن صفر است یعنی را ماتریس صفر نامیده و اگر از مرتبه باشد آن را با نماد نمایش می دهیم.
4) ماتریس مربعی: ماتریسی که تعداد سطرها و ستون های آن با هم مساوی هستند را ماتریس مربعی می نامیم و اگر تعداد سطرهای آن nباشد به آن ماتریس مربعی از مرتبهn می گوییم.
5) قطر اصلی: دریک ماتریس مربعی درایه های که برای آنها i=j باشد را درایه های قطری می نامیم و قطری که شامل این درایه هاست، قطر اصلی نامیده می شود.
6) اثر (تریس) ماتریس : در هر ماتریس مربعی مجموع عناصر واقع بر قطر اصلی را اثر (تریس) A نامیده و با trA نمایش می دهیم یعنی در هر ماتریس مربعی از مرتبه n:

7) ماتریس بالا و پایین مثلثی : ماتریس مربعی که همه درایه های زیر قطر اصلی آن صفر هستند یعنی
:
را ماتریس بالا مثلثی و ماتریس مربعی که درایه های بالای قطر اصلی آن صفر هستند، یعنی
:
را ماتریس پایین مثلثی می نامند.
8) ماتریس قطری: ماتریس مربعی که هم بالا مثلثی و هم پایین مثلثی است یعنی درایه های خارج قطر اصلی آن صفر هستند ( : ( را ماتریس قطری می نامند.
9) ماتریس همانی (واحد): ماتریس مربعی که همه عناصر خارج قطر اصلی آن صفر و درایه های قطر اصلی همگی 1 باشند و به عبارتی

را ماتریس همانی می نامند و اگر از مرتبه n باشد آن را با نماد نمایش می دهند.
تذکر: معمولاً درایه های ماتریس را با نمایش می دهند.
1-1-2- اعمال جبری روی ماتریس
1) جمع: اگر A و B دو ماتریس از مرتبه باشند جمع آنها ماتریسی است که هر درایه آن از جمع درایه های متناظر در ماتریس های A و B بدست می آید به عبارتی اگر آنگاه
2) تفریق : اگر A و B دو ماتریس از مرتبه باشند، تفاضل آنها یعنی ماتریسی است و

3) ضرب عدد (اسکالر) در ماتریس : اگر A ماتریس و عددی دلخواه باشد و انگاه

یعنی اسکالر در تک تک مولفه های A ضرب می شود.
4) ضرب: اگر و (تعداد سطرهای B با ستون های A برابر باشد) ماتریس حاصل ضرب آنها یعنی یک ماتریس است و

به عبارت دیگر از ضرب سطر j ام A در ستون j ام Bبه صورت مولفه به مولفه بدست می آید.
نکته 1: اعمال جبری روی ماتریس ها تمامی خواص اعمال جبری روی اعداد (مانند جابه جایی، شرکت پذیری و … ) را دارند به جز آنکه ضرب ماتریس ها در حالت کلی خاصیت جابه جایی ندارد یعنی
نکته 2: ماتریس همانی در ضرب، مانند عدد 1 عضو خنثی است یعنی

و ماتریس صفر در جمع (مانند عدد 0) عضو خنثی است یعنی
A+0=0+A=A
5) توان های یک ماتریس: اگر A ماتریس مربعی و از مرتبه n باشد توان های مختلف آن قابل تعریف هستند به این صورت که و به طور کلی از ضرب A در به دست می آید.
نکته 3: اگرA و B جابه جا شونده باشند یعنی اتحادهای جبری در مورد A و B برقرار خواهند بود مثلاً
و
نکته 4: حاصل ضرب دو ماتریس بالا(پایین) مثلثی یک ماتریس بالا(پایین) مثلثی است که درایه های قطر اصلی آن از ضرب درایه های متناظر روی قطر بدست می آید.
نکته 5: با توجه به نکته بالا اگر یک چندجمله ای و A ماتریس بالا (پایین) مثلثی باشد ماتریسی بالا (پایین) مثلثی است و درایه واقع بر قطر آن است.
نکته 6: برای محاسبه سطر iام ماتریس AB کافی است سطر iام A را در ماتریس B ضرب کنیم و
برای محاسبه ستون j ام ماتریس AB کافی است ماتریس A را در ستون j ام B ضرب کنیم.
مثال1) اگراثر ماتریس را بدست آورید.
اگر آنگاه و چون A بالامثلثی است. B نیز پایین مثلثی و درایه های واقع بر قطر اصلی آن از جایگذاری درایه های قطر اصلی A در بدست می آیند پس

تست 1: اگر باشد، حاصل ضرب AB برابر است با: (صنایع 72)

1) 2) 3) 4)
حل : گزینه 3 درست است چون پس : و و لذا

پس گزینه (3) با انتخاب u=v=0 درست است.
تست 2: اگر حاصل ضرب عناصر واقع بر قطر اصلی ماتریس برابر است با :
1)2 2) 3) 4)
حل: گزینه 2 درست است چون A قطری است پس نیز قطری است و

و بنابراین B نیز قطری و عناصر واقع بر قطر اصلی آن و
و است و حاصل ضرب آنها خواهد بود.
تست 3: اگر مجموع عضوهای سطر اول از ماتریس کدام است؟
1) 5 2) 2 3) 3 4) 4
حل : گزینه 2 درست است با توجه به نکته 6 در صفحه 16 برای محاسبه سطر اول کافی است سطر اول A را در A ضرب کنیم:
= سطر اول
تست 4: اگر مجموع درایه های ستون اول ماتریس برابر است با:
1) 4 2) 6 3) 8 4) 2
حل : گزینه 3 درست است با توجه به نکته 6 ستون اول از ضرب A در ستون اول بدست می آید و برای محاسبه ستون اول کافی است A را در ستون اول A ضرب کنیم.
= ستون اول = ستون اول
تست 5: اگر مجموع درایه های ستون دوم کدام است؟
1) 54 2) 24 3) 72 4) 216
حل: گزینه 4 درست است توجه کنید که ستون های A با هم مساوی اند پس اگر آنگاه مشابه تست قبل ابتدا ستون دوم را محاسبه می کنیم:
= ستون دوم = ستون دوم
و چون جمع درایه های B برابر 6 است پس حاصل 216=6×36 خواهد بود.
تست 6: اگر ماتریس برابر است با:
1) I 2) A 3) -A 4) –I
حل: گزینه 3 درست است چون پس
تست 7: اگر باشد، ماتریس عبارت است از :
(مکانیک : ساخت و تولیدـ آزاد 80)
1) 2) 3) 4)
حل : گزینه 2 درست است. چون A بالامثلثی است، نیز بالامثلثی است و درایه های روی قطر برابر هستند از طرفی

تست 8: اگر باشد، در این صورت ماتریس کدام است؟
(مکانیک 79، سیستم 80)
1) 2) 3) 4)
حل: گزینه 3 درست است.

فایل : 26 صفحه

فرمت : Word