كاربرد كامپيوتري بردارهاي رتيز وابسته به بار، خصوصيات همگرايي و بسط آن به حالتهاي عمومي تر بارگذاري

فصل اول

مقدمه

توسعه و رشد سريع سرعت كامپيوترها و روشهاي اجزاي محدود در طي سي سال گذشته محدوده و پيچيدگي مسائل سازه اي قابل حل را افزايش داده است. روش اجزاي محدود روش تحليلي را فراهم كرده است كه امكان تحليل هندسه، شرايط مرزي و بارگذاري دلخواه را به وجود آورده است و قابل اعمال بر سازه‌هاي يك بعدي، دو بعدي و سه بعدي مي‌باشد. در كاربرد اين روش براي ديناميك سازه‌ها ويژگي غالب روش اجزاي محدود آن است كه سيستم پيوسته واقعي را كه از نظر تئوري بينهايت درجة آزادي دارد، با يك سيستم تقريبي چند درجه آزادي جايگزين نمايد. هنگامي كه با سازه‌هاي مهندسي كار مي‌كنيم غير معمول نمي‌باشد كه تعداد درجات آزادي كه در آناليز باقي مي‌مانند بسيار بزرگ باشد. بنابراين تأكيد بسياري در ديناميك سازه براي توسعة روشهاي كارآمدي صورت مي‌گيرد كه بتوان پاسخ سيستم‌هاي بزرگ را تحت انواع گوناگون بارگذاري بدست آورد.

هر چند اساس روشهاي معمولي جبر ماتريس تحت تأثير درجات آزادي قرار نمي‌گيرند، شامل محاسباتي و قيمت به سرعت با افزايش تعداد درجات آزادي افزايش مي‌يابند. بنابراين بسيار مهم است كه قيمت محاسبات در حد معقول نگهداشته شوند تا امكان تحليل مجدد سازه بوجود آيد. هزينه پايين محاسبات كامپيوتري براي يك تحليل امكان اتخاذ يك سري تصميمات اساسي در انتخاب و تغيير مدل و بارگذاري را براي مطالعة حساسيت نتايج، بهبود طراحي اوليه و رهنمون شدن به سمت قابليت اعتماد برآوردها فراهم مي‌آورد. بنابراين، بهينه سازي در روشهاي عددي و متدهاي حل كه باعث كاهش زمان انجام محاسبات براي مسائل بزرگ گردند بسيار مفيد خواهند بود.

استفاده از بردارهاي ويژه، براي كاهش اندازة سيستمهاي سازه‌اي يا ارائه رفتار سازه به وسيلة تعداد كمي از مختصاتهاي عمومي (تعميم يافته) – در فرمول بندي سنتي – احتياج به حل بسيار گرانقيمت مقدار ويژه دارد.

يك روش جديد از تحليل ديناميكي كه نياز به برآورد دقيق فركانس ارتعاش آزاد و اشكال مدي ندارد اخيراً توسط ويلسون Wilson يوان (Yuan) و ديكنز (Dickens) (1.17) ارائه شده است.

روش كاهش، بردارهاي رتيز وابسته به بار Wyo Rity racter) كه O, Y, W (حروف اختصاري نويسندگان) بر مبناي برهم نهي مستقيم بردارهاي رتيز حاصل از توزيع مكاني و … بارهاي تشخيص ديناميكي مي‌باشد. اين بردارها در كسري از زمان لازم براي محاسبة اشكال دقيق مدي، توسط يك الگوريتم بازگشتي ساده بدست مي‌آيند. ارزيابي‌هاي اوليه و كاربرد الگوريتم در تحليل تاريخچه زماني زلزله نشان داده است كه استفاده از بردارهاي رتيز وابسته به بار منجر به نتايج قابل مقايسه يا حتي بهتري نسبت به حل دقيق مقدار ويژه شده است.

در اينجا هدف ما تحقيق در جنبه‌هاي عملي كاربرد كامپيوتري بردارهاي رتيز وابسته به بار، خصوصيات همگرايي و بسط آن به حالتهاي عمومي تر بارگذاري مي‌باشد. به علاوه، استراتژي‌هاي توسطعه براي تحليل ديناميكي زير سازه‌هاي چند طبقه و سيستمهاي غير خطي ارائه خواهد شد. نيز راهنمايي‌هايي براي توسعه الگوريتمهاي چند منظورة Fortran براي ايجاد بردارهاي رتيز تهيه شده است و براي بررسي صحت به چند سازة واقعي اعمال شده اند.

فصل اول الگوريتمهاي پايه را بر اساس كارهاي ويلسون و همكاران و نيز مقداري از اصول اساسي كاربرد بردارهاي رتيز در ديناميك سازه‌ها را توصيف مي كند. همچنين تأثير مدلسازي رياضي اجزاي محدود كه به وسيلة مشخصات معين جرم، سختي و بارگذاري تعريف مي‌شود. بر روي ايجاد بردارهاي رتيز وابسته به بار، ارائه مي شود.

فصل دوم رابطه اي بين روش Lanczol و بردارهاي رتيز وابسته به بار ايجاد مي كند. نشان داده مي شود كه الگوريتم ايجاد بردارهاي رتيز وابسته به بار مشابه الگوريتم ايجاد بردارهاي Lanczo مي باشد. هر چند هدف از بكارگيري بردارهاي رتيز وابسته به بار بدست آوردن روش حال مقدار ويژة صحيح نيست بلكه به كارگيري اصول برداري به منظور كاهش اندازه و عرض باند سيستمهاي سازه‌اي براي حل معادلات مي باشد. روش بردارهاي رتيز وابسته بار گسسته سازي كامل معادلات تعادل را انجام نمي دهد اما ثابت شده كه بسيار كارآمدتر از روش سنتي حل مقدار ويژه است و اين در حالتيكه در چه صحت بسيار مناسبي هم دارد.

فصل سوم توسعه اي براي تخمين خطا به منظور به كارگيري مقدار مناسب بردارهاي رتيز براي همگرايي رضايت بخش پاسخ ديناميكي و نيز ايجاد رابطه بين بردارهاي رتيز وابسته به بار سيستمهاي كاهش يافته و حل مقدار ويژة سيستمهاي اصلي، ارائه مي نمايد. تأثير روندهاي مختلف جمع برداري مانند شتابهاي مودي و تصحيح استاتيكي نيز با رفتار بردارهاي رتيز وابسته به بار مقايسه مي شوند.

فصل 4 توسعة الگوريتمي جديد – الگوريتم بردارهاي رتيز وابسته به بار LWYO براي ايجاد بردارهاي وابسته به بار را ارائه مي نمايد كه نشان داده مي شود كار الگوريتم بردارهاي رتيز LWYO نتايج پايدارتري نسبت به بردارهاي رتيز WYD ارائه مي نمايد. كاربرد بردارهاي رتيز LWYO همچنين اجازة كنترل بهتري بر تأثير صحيح استاتيكي نسبت به بردارهاي رتيز WYD فراهم مي كند.

فصل پنجم كاربرد عملي بردارهاي رتيز در مهندسي زلزله را بررسي مي كند. روش تحليل طيف پاسخ براي دو مدل سازه اي با تقريبا 150 درجه آزادي ديناميكي به كار گرفته شده است. كارايي محاسباتي بردارهاي رتيز و حل مقدار ويژه مقايسه شده اند.

فصل ششم روش فرمول بندي براي توسعة روش كاهش رتيز به ازاي انواع الگوهاي بارگذاري عمومي كه بار تابعي از زمان و مكان است را ارائه مي نمايد.

فصل 7 به كاربرد بردارهاي رتيز وابسته به بار در زير سازه‌هاي چند طبقه مي پردازد كه دو رهيافت بررسي مي شوند.

فصل 8 بر روي استفاده از بردارهاي رتيز براي سيستمهاي غير خطي ديناميكي تمركز مي كند كه چندين استراتژي حل هنگام استفاده از بردارهاي رتيز وابسته به بار مانند روش كاهش مختصات ارائه مي شود. سپس بر روي سازه‌هايي كه دچار غير خطي شدن محلي مي گردند تمركز مي شود.

1-1- روش جداسازي دو مرحله اي در تحليل سازه‌ها

گام اول در تحليل سازه‌ها با استفاده از اجزاي محدود جداسازي سازه به منظور بدست آوردن مشخصات سختي، جرم ميرايي سازه براي استفاده در معادلات تعادل ديناميكي (حركت) مي باشد. سپس جداسازي جديدي با استفاده از تركيب توابع شكل مستقل عمومي و خطي، كه از مدلسازي قبلي بدست آمده اند، براي مشخص كردن پاسخ سازه، قابل انجام مي باشد.

روش كاهش دوم براي تحليل استاتيكي خطي جالب توجه نمي باشد زيرا براي اين تحليل تنها يك گام لازم مي باشد. هر چند اين كاهش دوم براي تحليل غير خطي استاتيكي و نيز خطي و غير خطي ديناميكي كه چندين گام بايد انجام شود و در هر گام سيستمي از معادلات خطي و غير خطي حل شود، مناسب مي باشد.

1-1-1- جدسازي مسائل خطي ديناميكي به وسيلة برهم زدن مستقيم برداري

مطالعة مشخصات تغيير شكل بر اثر بارهاي استاتيكي و تاريخچة زماني پاسخ تعدادي سازة پيچيده تعداد زيادي از درجات آزادي باقي مانده در تحليل غالباً توسط توپولوژي ساختمان ديكته مي شود تا توسط پيچيدگي رفتار مورد انتظار. معمولاً هندسة سازه اجازة جداسازي به تعداد كمي المان نمي دهد اما مي توان رفتار را به وسيلة تعداد كمي درجات آزادي مشخص نمود.

اين مطلب به طور كلي در مورد مسائل ديناميك سازه مانند تحليل زلزله – كه مطالعات آناليز مودال بر روي محتواي فركانس توزيع مكاني تحريك نشان داده اند، پاسخ، با تعداد نسبتا كمي از مودهاي فركانس پايين كنترل مي شود درست مي باشد. در مورد تحليل تحريكات ارتعاشي، فقط تعداد كمي از فركانسهاي متوسط ممكن است تحريك شوند. هر چند در مورد سيستمهاي تحريك شدة چند گانه (multi shock excited systems) اندر كنش مودهاي مربوط به فركانس‌هاي متوسط و بالا ممكن در طي بازدة زماني مورد بررسي اهميت خود را حفظ نمايند. تغير مبدأ از سيستم مختصات اصلي به سيستمهاي مختصات مووال عمومي. كه در فرمول بندي سنتي حل مسائل بزرگ مقدار ويژه مورد نياز است، هنگامي جالب توجه است كه تعداد مودهاي داراي اندركنش نسبت به درجات آزادي اصلي كم باشند.

در حالت كلي روش تحليل اجزاي محدود، كمترين فركانسهاي دقيق را بسيار خوب تخمين مي زند در حاليكه وقت كم يا عدم دقت و صحت براي تقريب شكل مودهاي بالاتر و فركانس‌هاي بالاتر مورد انتظار مي باشد. اين به علت اين حقيقت مي باشد كه مودهاي بالاتر طبيعت بسيار مغتششي دارند كه ارائه آنها توسط اندازة مش بندي عملي انجام شده براي محاسبات مهندسي مشكل مي باشد. بنابراين توجيه كمي براي بكارگيري پاسخ ديناميكي اشكال مودهاي با فركانس بالا، در تحليل وجود دارد. به طور ايده‌آل مش‌هاي اجزاي محدود بايد به گونه‌اي انتخاب شود كه اشكال مودي مربوط به فركانسهاي مهم ارتعاش به بهترين صورت تخمين زده شوند و سپس راه حل را مي توان با در نظر گرفتن پاسخ اين مودها بدست آورد. اين مطلب با تحليل برهم نهي برداري، با توجه به مودهاي مهم اجزاي محدود، قابل انجام مي‌باشد.

برآورد فركانسهاي طبيعي اشكال مودي براي سيستم‌هاي سازه اي بزرگ احتياج به مقدار قابل توجهي عمليات عددي دارد. هر چند همانطور كه توسط ويلسون و همكاران (1-17) اشاره شده است، ممكن است اهميت مستقيم اين اطلاعات در مهندسي ارزش محدودي داشته باشد. مقادير فركانسي بيانگر وضعيتهاي محتمل تشديد و اشكال مدي وابسته به فركانسهاي كم نشانگر اين مطلب مي باشند كه كدام قسمتهاي سازه انعطاف پذيرترين قسمتها مي باشند. در اكثر موارد مقادير تقريبي هم مي توانند اين اطلاعات را فراهم كند. در انجام اغلب تحليلها، تنها دليل برآورد بردارهاي ويژة كامل و دقيق به علت استفادة جايگزين آنها براي كاهش اندازة سيستم در يك تحليل بر هم نهي مي باشد.

2-1- استفاده از بردارهاي رتيز در ديناميك سازه‌ها

1-2-1- روش ريلي براي سيستمهاي تك درجة‌ آزادي

ايدة اساسي در روش ريلي كه براي تقريب فركانس ارتعاش يك سيستم تك درجه آزادي استفاده مي شود اصل ثبات انرژي (نگهداري) مي باشد. انرژي در يك سيستم با ارتعاش آزاد اگر نيروي ميرايي براي جذب آن وجود نداشته باشد بايد ثابت بماند. بنابراين ماكزيمم انرژي كرنشي در سازة الاستيك بايد برابر ماكزيمم انرژي جنبشي جرم باشد. اين روش قابل اعمال به هر سيستم چند درجه آزادي كه قابل بيان به صورت سيستم تك درجه آزادي توسط استفاده از اشكال تغيير مكاني فرضي رتيز {x} باشد، مي باشد.

(1.1)

كه در اينجا

K*= سختي كلي (عمومي):

M* = جرم كلي (عمومي):

= فركانس تقريبي ارتعاش

مي باشند.

2-2-1- تحليل ريلي – رتيز براي سيستمهاي چند درجة‌ آزادي

بسط رتيز از روش ريلي كه به عنوان تحليل ريلي – رتيز شناخته مي شود به طور گسترده اي براي پيدا كردن تقريبي از كوچكترين مقادير ويژه و بردارهاي ويژة متناظر يك مسأله ارتعاش آزاد استفاده شده است.

(1.2)

كه در اين رابطه [M],[K] ماتريس‌هاي سختي و جرم و بردارهاي ويژه  و مقادير ويژه يا مجذور فركانسهاي سيستم مي باشند.

بردارهاي ويژه  را مي توان توسط تعدادي تابعهاي سعي مجزاي{Xi} تقريب زد بگونه اي كه

[1.3]

كه {xi}‌ها توابع شكلي عمومي از قبل تعريف شده سيستم مختصات اصلي مي باشند كه بردارهاي رتيز ناميده مي شوند و Yi‌ها دسته اي از پارمترها مي باشند. مختصاتهاي رتيز كه مشخص كنندة سهم مشاركت هر بردار رتيز در حل مي باشند.

بردارهاي رتيز در (كسترمم) فرم اساس خارج قسمت رايلي جايگزين مي شوند و دسته از Yiها، كه مقادير ثابتي بدست مي دهد، جستجو مي گردند. (روند اين كار را مي توان در منابع 1.2 و 1.7 يافت) باقي مانده رايلي را مي توان به صورت زير نوشت.

[1.4]

[K]* = [X]^T[K][X]

[M]* = [X]^T[M][X]

وضعيت پايدار منجر به حل مسأله مقدار ويژه زير مي گردد.

[1.5]

بنابراين تقريب بردارهاي ويژه  به صورت  مي گردد.

مسأله مقدار ويژة كاهش يافته ]معادلة [(1.5) باعث رسيدن به r فركانس تقريبي، ، و اشكال مدي متناظر آنها مي گردد، مي توان نشان داد. r  مقدار ويژة حاصل از تقريب ريلي رتيز حد بالاي مقادير ويژة ناشي از حل دقيق مي باشند.