تحقیق توزيع پوآسون و نرمال

توزيع پواسن

متغيرهاي تصادفي دو جمله اي و فراهندسي ،‌موفقيت ها را در يك نمونه گيري تعيين مي كند. ممكن است در پديده هايي با روندي از موفقيت ها رو به رو شويم و آگاهي از تعداد موفقيت ها مورد نظر باشد. به مثالهاي زير توجه كنيد.

در يك بازي بستكبال گلهايي را كه تيم مورد علاقه به ثمر مي رساند، روندي از موفقيت ها به دست مي دهد.

تعداد دفعه هايي كه قلاب ماهيگيري مورد حمله هاي ماهيان قرار مي گيرد،‌روندي از موفقيت ها است.

تعداد تصادف ها در جاده اي مورد نظر، روندي از موفقيتها است.

ترسم خطوط اضافي در پارچه بوسيله يك ماشين پارچه بافي، روندي از موفقيت ها را به دست مي دهد.

تعداد حبابهاي موجود در شيشه هاي توليدي يك كارخانه ساخت شيشه، روندي از موفقيت ها است.

مطالعه آماري تعداد موفقيت ها در بخشي از روند مورد نظر، اهميت دارد. تعداد گلهايي كه تيم مورد علاقه ما در نيمه اول به ثمر مي رساند،‌تعداد دفعه هايي كه به قلاب ماهيگيري در يك ساعت حمله مي شود، تعداد تصادف هاي در طول تابستان،‌تعداد خطوط اضافي كه در يك متر مربع ترسيم شده است و سرانجام، تعداد حبابهاي موجود در 5 متر مربع شيشه تعداد موفقيت ها در بخشي از روند مربوطه است. نمونه گيري در اينجا به معني گزينش آن بخش مورد نظر و شمارش تعداد موفقيت ها است. در مثال تعداد حبابها، هر قطعه شيشه 5 متر مربعي از توليد كارخانه يك نمونه به شمار مي آيد. در صورتي كه X را تعداد موفقيت ها تعريف كنيم، مجموعه مقادير X

X={و2و1و 0    …}

پيشامد (X=i) بيانگر قطعاتي است كه در هر يك از آنها تعداد i  حباب است،‌ P(X=i) درصد اين قطعات را تعيين مي كند. تعيين P(X=i) با روش نمونه گيري در عمل ناممكن است. از اين رو چگونه مي توان P(X=i) را تعيين كرد؟ (در قسمت 5 به اين پرسش پاسخ خواهيم داد) به هر حال تابع چگالي زير P(X=I) را ارائه مي دهد.

متغير تصادفي پوآسن

يك متغير تصادفي X با مجموعه مقادير} …و2و1و0 X={ و تابع چگالي

(1-3)

را متغير تصادفي پواسن با پارامتر  مي نامند و در اين صورت نمايش  بكار برده مي شود. در فرمول (1-3)  ، e عدد نپر است   و  ميانگين تعداد موفقيت ها است،‌ . اگر توزيع پواسن بر روندي از موفقيت ها دلالت كند، آنگاه تعداد موفقيت ها در هر بخش از روند از توزيع پواسن پيروي مي كند كه پارامتر آن،، مساوي ميانگين تعداد موفقيت ها در آن بخش است.

توزيع نرمال

متغير تصادفي نرمال

يك متغير تصادفي X ،‌متغير تصادفي نرمال است، اگر مجموعه مقادير آن  و تابع چگالي آن

مقادير  و  ثابت است و به ترتيب اميد رياضي و واريانس X است،    و  در اين صورت نمايش  را براي X بكار مي بريم.

هر متغير تصادفي نرمال X با ميانگين  و واريانس  خواص زير را دارد.

1-

2- اگر  به سرعت يك تابع نمايي.

خاصيت اول بيان مي كند كه پراكندگي در فاصله هاي  يكسان است.

خاصيت دوم بيان مي كند با دوري از ميانگين درصد مشاهده ها نسبتاً سريع كاهش مي يابد.

متغير تصادفي نرمال، نخستين بار به وسيله كارل كاوس بيان شد. اين متغير تصادفي مدل احتمال خوبي براي بسياري از پديده هاي طبيعي است، به اين دليل، آن را نرمال (طبيعي) ناميده اند. به مثالهاي زير توجه كنيد.

عموماً نمره هاي دانش آموزان يك كلاس، نزديك به ميانگين تجمع بيشتر دارد و هر چه از دو سو از ميانگين فاصله گرفته شود، تجمع نمره ها كاهش مي يابد (نسبتاً سريع).

ميزان قد افراد جامعه‌ي مورد نظر نيز پديده اي طبيعي است. تجمع، نزديك به ميانگين به گونه اي نسبتاً متقارن، زياد است. با دوري از ميانگين از دو سوي، پراكندگي بسرعت (تقريباً به طور متقارن) كاهش مي يابد.

درجه حرارت هوا را در نيمه شب بهمن ماه در منطقه‌ اي در نظر بگيريد. دوباره انتظار مي رود كه تجمع نزديك به ميانگين زياد باشد و با دور شدن از ميانگين مقدار آن سريع كاهش يابد.

دقت كنيد كه هر متغير تصادفي نرمال با آگاهي از دو مقدار  كاملاً مشخص مي شود. مقدار  را انحراف معيار (انحراف استاندارد) گويند.

– متغير نرمال استاندارد

چنانچه ديده شد هر توزيع نرمال به وسيله دو مقدار مشخص مي شود. يعني اگر جمعيتي آماري از توزيع نرمال پيروي كند با محاسبه  تمام يافته هاي آماري را مي توان براي آن جمعيت به دست آورد. اكنون اگر در يك توزيع نرمال،  باشد، توزيع نرمال استاندارد بوده و متغير تصادفي نرمال مربوط به آن، متغير تصادفي نرمال استاندارد است و آن را با Z نشان مي دهيم  متغير تصادفي Z در كاربرد اهميت ويژه اي دارد و بدين دليل جدول مربوط به مقادير عددي تابع توزيع آن در بخش جدولها داده شده است بحث زير اهميت Z را روشن تر مي كند.

توزيع پوآسون

در مواردي كه در توزيع دو جمله اي n بزرگ باشد محاسبة احتمالات كاري پيچيده و مشكل مي گردد. از طرفي توزيع دو جمله اي در مواردي صدق مي كند كه d=p-q كوچك باشد، و يا به عبارت ديگر q و p نزديك به  باشند. در مواردي كه شرايط فوق صدق نكنند. (n بزرگ و احتمال ها نزديك بهم نباشند) از توزيع هاي ديگري بجاي توزيع دو جمله اي استفاده مي گردد.

به طور كلي اگر احتمال وقوع پيشامدي (q) كوچك باشد و  باشد آن پيشامد را نادر گويند. و منحني توزيع دو جمله اي از حالت تقارن خارج بوده و مورب مي گردد. چون در عمل با چنين